北师大版八年级下册数学[三角形的中位线 知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

三角形中位线定理

【学习目标】

1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】

要点一、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个

小三角形的周长为原三角形周长的面积的

1，每个小三角形的面积为原三角形21. 4（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状

顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 【典型例题】

类型一、三角形的中位线

1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）

A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐变小 C．线段EF的长不变 D．无法确定 【答案】C；

【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则EF1AR，而2AR长不变，故EF大小不变.

【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．

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举一反三：

【变式】（2015秋•青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．

【答案】5；

解：四边形MNEF是平行四边形．

理由如下：∵BE、CF是中线， ∴E、F分别是AC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF=BC， ∵M、N分别是BO、CO中点， ∴MN是△OBC的中位线， ∴MN∥BC且MN=BC， ∴EF∥MN且EF=MN，

∴四边形MNEF是平行四边形．

2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ） A．2 B．3 C.

5 D．4 2

【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长． 【答案解析】

解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点

∴DE∥AB

∴∠EDC＝∠ABC ∵BF平分∠ABC ∴∠EDC＝2∠FBD

在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD

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∴∠DBF＝∠DFB ∴FD＝BD＝

11BC＝×6＝3． 22【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰

三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．

【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度． 【答案与解析】

解：延长BD交AC于点N．

∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN， ∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，

在△ABD和△AND中，

BAD＝NAD AD =ADADB＝ADN∴ △ABD≌△AND(ASA) ∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．

∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6， ∵ D、M分别为BN、BC的中点， ∴ DM＝

11CN＝6＝3．

22【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：

【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF

于M，求证：MN∥BC．

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【答案】

证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．

∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG， ∴∠BAG=∠BGA，

∴△ABG为等腰三角形，

∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN． 同理AM=DM，

∴MN为△ADG的中位线， ∴MN∥BC．

4、（鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

【思路点拨】

（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；

（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．

【答案与解析】

（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．

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∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD， ∵∠BME=∠CNE， ∴HE=HF， ∴AB=CD；

（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，

∵AB=CD， ∴HO=HE，

∴∠HOE=∠HEO， ∵∠OEC=60°，

∴∠HEO=∠AGO=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5，

∴OE=．

【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度． 举一反三：

【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D；

解：连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，

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∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE， ∵E是AC中点， ∴AE=CE，

∴△DCE≌△HAE， ∴DE=HE，DC=AH， ∵F是BD中点，

∴EF是△DHB的中位线， ∴EF=

1BH， 2∴BH=AB-AH=AB-DC=2， ∴EF=1．

类型二、中点四边形

5、（2016春•高邮市校级期末）如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．

【答案与解析】 解：（1）四边形DEFG是平行四边形，

理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G， ∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，

∴EF∥DG，EF=DG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠BOC=180°﹣90°=90°， ∵M为EF的中点，OM=2， ∴EF=2OA=4， ∵EF=DG， ∴DG=4． 【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.

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