维普资讯 http://www.cqvip.com 第２６卷第４期 长春师范学院学报（自然科学版） ２０Ｃｒ７年８月 Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．４ Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ａｕｇ．２０Ｃｒ７ 奇异二阶边值问题的正解 赵虹 （长春师范学院数学学院，吉林长春１３００３２） ［摘要］利用一个普通的锥不动点定理研究了二阶奇异非共振边值问题正解的存在性。 ［关键词】奇异微分方程；正解；边值问题；锥不动点定理；Ｇｒｅｅｎ＇ｓ函数 ［中圈分类号】Ｏ１７５ ［文献标识码】Ａ ［文章编号】１００８—１７８Ｘ（２００７）０４—０００１—０４ １引言 由于常微分方程的背景来源非常丰富，从微积分的诞生之日起，微分方程的理论也日益发展起来。随着 ＳｔＩｌ Ｕｏｕｖｉｉｌｅ定理的建立，对边值问题的研究也逐渐成熟起来，先是对线性，后是对非线性。在非线性项 中，有奇异的情形随着力学等学科提出的问题也出现了，虽然奇异常微分方程很早就从应用中产生，但由于 奇异方程本身带来的困难，奇异边值的讨论却相对较晚。早期大多数研究都局限于特殊形式的初值问题和边 值问题，其系统的研究只有约四十年的历史。实际上２０世纪７０年代中期，在研究边界层理论、气体动力 学、非Ｎｅｗｔｏｎ流体力学等时才开始大量讨论起来。１９７９至１９９０年期间，一些普通的奇异性问题才被许多研 究者关注，奇异问题多个正解在１９９９年被Ｒ．Ｐ．Ａｇａｔｗａｌ ａｎｄ Ｄ．０’Ｒｅｇａｎ讨论。本文结合文献ｕＩ４ 利用一个普通 的锥不动点定理，给出方程在非线性项关于相变量有奇性时边值问题正解的存在性问题的证明。 ２主要结果 ｒ ＋ ｔ，Ｙ）＝０，ｔ∈（０，１） 对二阶方程的边值问题：｛ｙ（０）＝０ （２．１） ０Ｙ（１）＝０ 其中 ｆ，ｙ）满足如下条件： 日 ：厂（ｔ，Ｙ）：［０，１］×（０，∞）一（０，∞）是连续的，ｆ（ｔ，ｙ）在Ｙ：０处可以有奇性； Ｈ２：存在ｅｏ＞０，使０＜ｙｓｅｏ时， ｔ，ｙ）关于Ｙ不增对ｔＥ［０，１］一致成立； 日，：对任意 ∈（０，ｅ。），Ｊ ｓ，ｓ（１一ｓ）０） ＜∞； ／／４：ｌｉｍｓｕｐ ｍ ａｘ ＜ ｒ。Ｉｔ【这里 是边值问题：一 （ ）＝ （ｔ），声（０）＝０，声（１）＝０的第一特征值，即 ＝ 。 定理１假设日 一日４成立，则方２（２．１）至少存在一个解Ｙ（ｔ）Ｅ Ｃ ［０，１］，且ｔＥ（０，１）时，Ｙ（ｔ）＞０；更进 一步，存在０ ＞０，使得ｔＥ［０，１］时，Ｙ（ｔ） ｔ（１一ｔ）０ 。 ［收稿日期］２Ｏ０７—０４—１０ ［作者简介］赵虹（１９ｒ７１一），男，河南方城人，长春师范学院数学学院讲师，硕士，从事应用数学研究。 ・ １ ・ 维普资讯 http://www.cqvip.com 为证明这个定理，要用到如下的锥不动点定理： 引理１ 令Ｅ＝（Ｅ，ｌｌ・ｌ１）是一个Ｂａｎａｃｈ空间，并令ＫＥ Ｅ是 上一个锥，且ｌｌ・ｆｆ关于 不减，ｒ，尺是满 足０＜ｒ＜Ｒ的常数。 假设／ｌ：（ｎ 一ｎ ）ｎ Ｋ— 是连续且紧的映射，并且有 ∈ａ ，ｎ 时，ｌ ｌｌＪ＞ｆＪ ｌｌ， ∈ａｎ ｎ 且１１ ∈（０，１）时， ≠，上 。其中ｎ ＝｛ ： ∈Ｅ，ｆ ｌｆＩ＜Ｒ｝，ｎ，＝｛ ： ∈Ｅ，ｌ Ｉ１】＜ｒ｝，则Ａ在（ —ｎ，）ｎ 上至 少有一个不动点。引理证明见文献“Ｊ。 ３定理的证明 令Ｅ＝｛ （ｔ）： （ｔ）∈ｃ［ｏ，１］，Ｕ（１）＝Ｕ（０）＝０｝。 定义其范数，１１ Ｕ １１：＝ｓｕｐ｛Ｉ （ｔ）Ｉ：ｔ∈【０，１］｝，则 是一个Ｂａｎａｃｈ空间，令 是 上的一个如下定义的 锥：Ｋ＝｛ ：“（￡）Ｅ Ｅ，ｕ（￡） ￡（１一￡）ｌｌ ｕ ｉ１，￡∈［０，１］｝，选取ｒ使０＜ｒ＜ｍｉｎ｛ｅ。， Ｇ（ ，ｓ）厂（ｓ，ｅ。） ｝，其 中Ｇ（￡， ）为边值问题ｆ一Ｌ，’，＝ Ｏ’ 的Ｇｒｅｅｎ＇ｓ函数，即Ｇ（￡， ）：ｆ 一 ０ ｓ ｓ￡ 。 ｙ（０）：Ｙ（１）＝０ 【（１一ｓ）ｔ，０ ｔ ｓ １。 对Ｇ（ｔ，ｓ）显然有性质：ｔ（１一ｔ）ｓ（１一ｓ） Ｇ（ｔ，ｓ） Ｇ（ｓ，ｓ） １。 设Ｒ＞ｒ，且ｎ 、ｎ，如引理１中所定义， 定义算子Ａ：（ 月一ｎ，）ｎ ：（ ｙ）（￡）＝Ｊ Ｇ（ｔ，ｓ）厂（ｓ，ｙ（ｓ）） 。 首先证明算子Ａ的定义是有意义的。 对任意ｙＥ（ Ｒ—ｎ，）ｎ ，则ｒ ｌＩ Ｙ ｌ Ｒ时，Ｉ），（￡） ｔ（１一ｔ）ｌ ＩＹ Ｉ１ ￡（１一￡）ｒ， 当０ Ｙｓ ｒ时，ｆ（ｔ，Ｙ（ｔ）） 厂（ｔ，ｔ（１一ｔ）ｒ）； 当ｒ ｙｓ Ｒ时，／ （￡，ｙ（￡）） Ｃ： ａｘｍ］ｌｆｌ∈ｌａ［ｘ０＿（￡，ｙ）。 ｒ．Ｈｌ 则 Ｇ（￡， ）厂（ ，ｙ（ ）） （ｃ＋ （８，８（１一 ｒ））Ｇ（￡， ） ｓ （Ｃ＋厂（８，８（１一 ｒ）） 。 由条件 保证算子Ａ的定义是有意义的。 现在证明Ａ：（ｎ 一ｎ，）ｎ 。 对任意， ∈（历 一ｎ，）ｎ 时，有ｒ ｌ ｌＹ ｌ Ｒ，Ｙ（ｔ）ｌ ｔ（１一ｔ）ｒ，则 （ ｙ）（ ）＝Ｊ ｃ（ｆ， ） ，ｙ（ ）） Ｊ ｔ（１一￡） （１一 ） ，ｙ（ ））ｄｓ ＝￡（１一￡）Ｊ ｓ（１一ｓ）ｆ（ｓ，ｙ（ｓ））ａｓ ｔ（１一￡）Ｊ Ｇ（￡，ｓ）ｆ（ｓ，），（ｓ）） 所以（Ａｙ）（￡）≥￡（１一￡） ｆ ＬＵ』Ｇ（￡，ｓ），（ｓ，ｙ（ｓ））ｄｓ：￡（１一￡）Ｉ Ｊ．１ｌ Ｕ 、ｌＪ， 即Ａ：（ 一力 ）ｎ ｒ— 。 下面证明Ａ：（历 一ｎ，）ｎ Ｋ— 是全连续的。 先证明／ｌ是连续的。 令 ，Ｙ。∈（ｎＲ—ｎ ）ｎ ，且满足ＩＩ Ｙ ～Ｙ。ＩＩ一０，（ｎ一∞）， 贝０有ｒ ｌ ｌｙ ｆｆ Ｒ，ｒ≤ｌＩ Ｙ０ ｌ Ｒ，Ｙｎ（ｔ）Ｉ ｔ（１一ｔ）ｒ，Ｙ０（ｔ） ｔ（１一ｔ）ｒ， （ｔ）＝Ｉｆ（ｔ，Ｙｎ（ｔ））一ｆ（ｔ，），０（ｔ））Ｊ一０，（ｎ一∞）（因为 ｔ， ）关于 连续）。 又ｌ０ （ｔ）≤厂（ｔ，， （ｔ））＋ｌ厂（ｔ，Ｙ。（ｔ）） ２ ｔ，ｔ（１一ｔ）ｒ）＋２ｃ。 ．由条件 及 （ｔ）一０，利用Ｌｅｂｅｓｇｕｅ控制收敛定理知 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｉ ＩＡｙ 一Ａｙ。ＩＩ ｓｕｐ ］Ｊ Ｖ（ｔ，ｓ） （ｓ）ｄｓ ，（ｎ一∞）。 即Ａ连续。 然后利用Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理证明Ａ是紧的。 ｐ Ｇ（￡，ｓ），（ｓ，），（ｓ））ｄｓ Ｉｏ＇Ｓ（ｓ，ｓ（１一ｓ）ｒ）ｄｓ＋ｃ，由条件Ⅳ。 对任意），∈（ 一 ，）ＮＫ，ＩＩ ＩＩ＝ ｓｕ。知 一致有界。 对任意的ｔ，ｔ Ｅ［０，１］ Ｉ（ ） ￡）一（ ）（￡ ）Ｉ＝Ｉ Ｊ Ｇ（￡，ｓ）一Ｇ（￡ ，ｓ）），（ｓ，ｙ（ｓ）ｄｓ Ｉ ｓ Ｊ Ｉ Ｇ（￡，ｓ）一Ｇ（￡ ，ｓ）Ｉ（ｆ（ｓ，ｓ（１一ｓ）ｒ）＋ｃ）ｄｓ 由条件 及Ｇ（ｔ，ｓ）的连续性知Ａ等度连续。 由Ａｒ￣ｅｌａ—Ａｓｅｏｌｉ定理得Ａ是紧的。 下证对，，∈ａ ，Ｎ Ｋ，有｝ｌ ４，，ｌｊ＞ｌ ｊＹ ｌｌ。 由ｙＥ ａ ，Ｎ Ｋ，则ＩＩ Ｙ ＩＩ＝ｒ且），（￡） ｔ（１一￡）ｒ （Ａ，一）（丢）＝ Ｇ（吉，ｓ），（ｓ，），（ｓ））ｄｓ Ｇ（吉，ｓ），（ｓ，ＩＩ），ＩＩ）ｄｓ ： Ｇ（｛， ）厂（ ， ） Ｇ（吾，ｓ）厂（ｓ，ｅ。） ＞ｒ＝ＩＩ），ＩＩ 所以ｌ ｌｌｌ＞ｌ ｌＹ ｌｌ。 最后证明对任意 Ｅ（０，１），），∈ａ Ｎ Ｋ，Ｒ充分大时，ｙ￣，ｕＡｙ。 否则，若存在，ＵｏＥ（０，１），存在Ｙｏ∈ａ ＮＫ，使 ≠ 。Ａｙｏ。则有ＩＩ Ｙｏ ＩＩ＝Ｒ， Ｙ０（ｔ） ｔ（１一ｔ）ｌ ｌＹ０ ｌｌ＝ｔ（１一ｔ）Ｒ， ５１． ｙ０（￡）＝ ０ Ｊ Ｇ（￡，ｓ）ｆ（ｓ，Ｙｏ（ｓ））ｄｓ， ０（￡）＝一 ０，（￡，Ｙｏ（￡））， 等式两边同乘以 。（ｔ），从０到１积分，利用分部积分法得： ｙ０（￡） （￡） ： 。 （￡），（￡，），０（￡）） ＝三； （￡），（￡，Ｙ。（￡）） 由条件矾：姆ｓｕｐ。踹］ 专 ＜ ，则存在充分大的尺，及充分小的ｅ Ｅ（Ｏ，１） 使当）， Ｒ】时，ｆ（ｔ，Ｙ） （ １一ｅ）），， ０＜Ｙｏ（￡） ｒ时，，（ｔ，Ｙ。（￡）） ，（ｔ，ｔ（１一￡）尺） ，（ｔ，￡（１一￡）ｒ）； ｒ＝三； （￡一ｒ） 尺１时，，（￡，），。（￡）） Ｂ： ｍ［ａｘ０｜， ］ｌ∈１ｒ（￡，），）； Ｒ１ ｓＹ０（ｔ—ｒ）时，ｆ（ｔ，Ｙ０（￡）） （ １一ｅ） （ｔ）。 所以有 ），。（￡） （￡） ｓ Ｊ １（￡）（，（￡，￡（１一￡）ｒ）＋Ｂ＋（ １一ｅ）），０（￡）） （ （￡）（ 一ｅ）Ｙｏ（￡）） ＋Ｊ （，（￡，ｔ（１一￡）ｒ）＋Ｂ）ｄｔ 即ｅ ），。（￡） （￡） Ｄ：： （，（￡，ｔ（１一￡）ｒ）＋Ｂ）ｄｔ Ｄ ｅ （￡）ＩＩ ＩＩ ｔ（１一￡） ＝ｅ ＩＩ），。ＩＩ Ｊ （￡）￡（１一ｔ）ｄｔ ・ ‘ 维普资讯 http://www.cqvip.com 删，ＩＩ ｙｏ ０ ｓ可 令０ ：ｒ，则完成了定理１的证明。 ３举例 ：＝ 蜘＞嗽｛ ’贝ＩＪ对ｆ壬意 ∈（０＇１） 加 ， 从而引理１的条件全部满足，则Ａ至少有一个不动点ｙ６（ Ｒ—ｎ，）ｎ Ｋ，且当ｔ∈［０，１］时，），（ｔ） ｔ（１一ｔ）ｒ。 ｒ （ｔ）＋Ｙ （ｔ）＋ｅｙ（ｔ）＝０，ｔ∈（０，１） 考虑边值问题｛Ｙ（１）＝０ ｙ（０、：０ 其中，ｃｒ∈（０，１），ｍ∈［０，１），ｃ∈（０， １）， ｔ，Ｙ）＝Ｙ ＋ｃｙ。 显然条件日，， ， 满足，下面只检验条件 。 由ａ Ｅ（０’１），则 ［参考文献］ 而＋ －８）纰＜００ ｏ 则定理的条件全部满足，方程至少有一个正解。 ［１ＪＲ．Ｐ．Ａ铲ｒｗａ】ａｎｄ Ｄ．０’Ｒｅｇａｎ；Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ｓｉｎｇｌｅ ａｎｄ Ｍｕｌｉｔｐｌｅ Ｓｏｌｕｉｔｏｎｓ ｔｏ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｐｏｓｉｔｏｎｅ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌ￣ｒｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒ．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｉｔｏｎｓ，１７５（２００１），３９３—４１４． ［２］Ｊｉｎｇ．ａＤ．Ｑ，Ｌｉｕ．Ｈ．Ｚ ａｎｄ Ｘｕ．Ｘ．Ｊ；Ｎｏｎｒｅｓｏｎａｔ ｓｉ『ｌｇＩ｜１ａｒ ｆｏｕｒｔｈ—ｏｎｔｅｒ ｂ＿Ｄ （１）：６９—７５，ＪＡＮ，２００５． ｖａｌｅ ｕｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｌ８， ［３ＪＲ．Ｐ．Ａ铲ｒｗａ】ａｎｄ Ｄ．Ｏ’Ｒｅｇａｎ；Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｕｐｅｄｉｎｅ￣出ｌｇｕｌａｒ ａｎｄ Ｉｌｏｒ玛ｉｎｇｕ１ａｒ ｓｅｃｏｎｄ ｏ￣ｌｅｒ ｂｏ￣ｈｒｙ ｖａｌｕｅ ｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｄｉｆｅ￣ｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１４３，（１９９８），６０—９５． ［４］ＪｉｎａｇＤ．Ｑ．；Ｕｐｐｅｒ ａｎｄｌｏｗｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒ ａ ｓｕｐｅｄｉｎｅａｒ ｓｊ『ｌｇＩ】１ａｒ ｂｏｕｎｄａ￣ｖａｌｅ ｕｐｒｏ￣ｍ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｍ ａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉ￣一 ｉｆｏｎｓ，４１．（２００１），５６３—５６９． ［５］Ｄ．０’Ｒｅｇａｎ；Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｔｈｅｏｒｙｆｏｒ ｎｏｎｒｅｓｏｎａｎｔ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｐｎ ［Ｊ］．Ｐｒｏｅ．Ｅｄ ｇｌｌＭａｔｈ．Ｓｏｅ．３８０９９５），４３１—４３７． ［６］ＸｉａｏｊｉｅＸｕ，Ｊｉａｎｇ．Ｄ．ＱＴｗｉｎ ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏ ｎｇＩ｜ｌａｒ ｂｏｍｔ￣ｖａｌｅ ｕｐｊ［Ｄｂｌ吣ｏｆｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒｄｉｆ￣ｏｆ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉ￣ｌ Ｍａｍｍａｒｉｅｓ，３４（１）：８５—８９，Ｊｎｕａａｒｙ ２００３． ｌＳｙｓａｔ￣［Ｊ］．ＩｎｄｉｎＪａｏｕｒｎａｌ Ｐｏｓｉｉｖｅ Ｓｏｌｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｅｃｏｎｄ—－ｏｒｄｅｒ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ＺＲＡＯ Ｈｏｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００３２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｓｉｉｔｖｅ ｂｏａｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｎｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｈｅｏｒｔｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌ ｅｑｕａｔａｉｏｎｓ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｇｒｅｅｎ’Ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ・４・
