安徽大学期末试卷近世代数4.doc

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题号 一 二 三 四 总分 得分

得 分 评卷人 复查人 一、填空题（共20分，每空2分）

1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义 个从A到B的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是 。 3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝ ，［6］·［7］＝ 。 4. 环Z6的全部零因子是 。 5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝ 。 6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是 。 得 分 评卷人 复查人 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）

1. （ ）交换群的子群是不变子群。

2. （ ）一个阶是11的群只有两个子群。 3. （ ）无零因子环的特征不可能是2004。 4. （ ）有单位元且满足消去律的半群是群。 5. （ ）模21的剩余类环Z21是域。

6. （ ）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

7. （ ）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。 8. （ ）除环只有零理想和单位理想。 9. （ ）欧氏环是唯一分解整环。

10. （ ）无零因子环的同态象无零因子。

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得 分 评卷人 复查人 三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）

1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？

2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。

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3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。 得 分

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评卷人 复查人 四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）

1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。

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2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。

3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

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