甘肃省嘉峪关市一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

高二数学（文科）试卷

一、选择题（每小题5分，总共60分） 1．已知某物体的运动方程是st13（ ） t(s的单位为m), 则当t3s时的瞬时速度是

9A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s

2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数

C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 3．设f(x)是可导函数，且limf(x02x)f(x0)x0x2，则f(x0)（ ）

A．

12 B．1 C．0 D．2 4．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支

5．命题甲:x2或y3;命题乙:xy5,则甲是乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分条件也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）

A. “x2”是“x23x20”的必要不充分条件

B. 命题“若x23x20，则x1”的否命题为“若x23x20,则x1” C. 若pq为假命题，则p,q均为假命题

D. 对于命题p：xR，使得x2x10，则p：xR,均有x2x10 7．如图是函数yf(x)的导函数yf'(x)的图象，给出下列命题： ① -2是函数yf(x)的极值点； ② 1是函数yf(x)的最小值点； ③yf(x)在x0处切线的斜率小于零；

④yf(x)在区间（-2，2）上单调递增.则正确命题的序号是( )

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） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③

8．在抛物线y＝2x上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )．

A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 9．函数f(x)(2x3)ex的单调递增区间是（ ）

A. (,1) B. (2,) C. (0,1) D. (1,)

22210．已知函数为( )

A．x+y－1=0 B．x－y－1=0 C．x+y+1=0 D．x－y+1=0

11．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )

A．1 B.错误！未找到引用源。 C.2 D.2错误！未找到引用源。

．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程

2

x2y2212b12．已知双曲线a(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知条件p：xa，条件q：x2x20，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____________．

14.已知函数，则错误！未找到引用源。_____________________.

错误！未找到引用源。 15．如图所示,函数y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .

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16．过椭圆

(

)的左焦点

作轴的垂线交椭圆于点

，

为右焦点，

若，则椭圆的离心率为 .

三、解答题（共70分）

x2y2x21有相同的焦点，与双曲线y21有17．（本题满分10分）若双曲线与椭圆

16252相同渐近线，求双曲线方程.

x2y218．（本题满分12分）命题p：方程1表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，

2mm1命题q：方程4x24(m2)x10无实根，若p∨q为真，q为真，求实数m的取值范围．

19．（本题满分12分）已知函数f(x)（1）求实常数m的值．

（2）求函数f(x)在区间(，)上的极小值．

20．（本题满分12分）已知抛物线C:y22px(p0)过点P(1,2)． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点，求OAB的面积．

21．（本题满分12分）已知函数f(x)x22xalnx(aR). （Ⅰ）当a4时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，求实数a的取值范围

328x4xm在区间(，)上有极大值． 33高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

22．（本题满分12分）已知椭圆E的两个焦点分别为(1,0)和(1,0),离心率e（1）求椭圆E的方程；

2. 2（2）若直线l:ykxm（k0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB 的垂直平分线过定点P(,0)，求实数k的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】瞬时速度即为位移对时间的导数，St'1212t1，所以t3s 3'3S的瞬时速度为

13214 3 2．D 【解析】 试题分析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反面是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．即可得出．

解：用反证法证明某命题时， 对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数． 故选：D．

点评：本题考查了反证法，属于基础题． 3．B 【解析】

试题分析：因为limx0f(x02x)f(x0)f(x02x)f(x0)2lim2fx02所以

x0x2xfx01，故选B.考点：导数的概念.

4．C

【解析】因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2,0)为端点向右的一条射线． 5．B 【解析】

试题分析：该命题的逆否命题为：xy5，则x2且y3，这显然不成立，从而原命题也不成立，所以不是充分条件；该命题的否命题为：x2且y3，则xy5，这显然成立，从而逆命题也成立，所以是必要条件. 考点：逻辑与命题. 6．D 【解析】

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试题分析：A中不等式x3x20的解集为xx1,或x2，故x1”是“x23x20”的充分不必要条件：

B命题“若x23x20，则x2”的否命题为“若x23x20,则x2. C若pq为假命题，则p或q为假命题;

D正确;

考点：充要条件，否命题，四种命题之间的关系 7．A

【解析】根据导函数大于0，则原函数是增函数；导函数小于0，则原函数是减函数；知①④正确. 8．B

2

【解析】显然点A在抛物线y＝2x内部，

过点A作准线l的垂线AH，垂足为H，交抛物线于P. 由抛物线定义，|PF|＝|PH|，

∴(|PA|＋|PF|)min＝|PH|＋|PA|＝|AH|，

2

将x＝1代入y＝2x，得y＝2， ∴点P的坐标为(1,2)． 9．D 【解析】 试题分析：f2'(x)=2e+(2x-3)e=(2x-1)e，单调递增区间有,f'(x)>0，可

xxx得x(1,)

2.

考点：由导数求函数的单调性.

10．B

【解析】f′(x)=lnx+1，x＞0，设切点坐标为切线的斜率为

，所以

，解得

，则

，

，

所以直线l的方程为x－y－1=0． 11．D

222

【解析】设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a-b=c,由题意,错误！未找到引用源。·2c·b=1,

222

∴bc=1,b+c=a≥2bc=2.

∴a≥错误！未找到引用源。.∴长轴的最小值为2错误！未找到引用源。. 12．C

x2y221(a0,b0)2ob【解析】双曲线a的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双bb曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率a，∴ a≥

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c2a2b2≥43，离心率e2=a2a2，∴ e≥2，选C

13．a1 【解析】

试题分析：x2x20，x1或x2，p是q的充分不必要条件，(a,)(,2)(1,)，a1. 考点：四种条件.

14． 错误！未找到引用源。 15．2

【解析】∵P在切线y=-x+8上,且横坐标为5, ∴P点坐标为(5,3),又切线斜率为-1, ∴f(5)=3,f′(5)=-1. ∴f(5)+f′(5)=3-1=2.

16

,

）,或（

,

），因为

，那么

【解析】由题意知点P的坐标为（

，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为.

y2x217．1

36【解析】 试题分析：

x2思路分析：与双曲线y21有相同渐近线，一般设所求的双曲线方程为

2x2y(0) 通过确定“待定系数”，求得双曲线方程。

22x2解：依题意可设所求的双曲线的方程为y(0) 3分

22x2即1 5分

2y2高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

x2y21有相同的焦点 又双曲线与椭圆

1625225169 9分 解得3 11分

y2x2双曲线的方程为1 13分

36考点：双曲线的标准方程及其几何性质

点评：中档题，本题双曲线的定义及其几何性质的考查，本题解法具有一般性。。 18．m3. 【解析】

试题分析：先计算出命题p、q为真时m的取值范围；又p∨q为真，q为真，知p真q假，从而可求出实数m的取值范围． 试题解析：p：2m0，∴m2.故p：m2. 4分

m102q：16m2160，即m24m30，∴1m3.故q：1m3. 8分

又∵p∨q为真，q为真，∴p真q假， 10分 即m2，∴m3. 12分

m1或m3考点：逻辑与命题、双曲线的定义.

4 19．(1) m＝4;(2)-. 3【解析】 试题分析：（1）先利用导数四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）=0，求出函数的极大值，即可求出m； （2）根据（1）的结论，即可求出答案.

试题解析：解：f'(x)x24(x2)(x2)． 令f'(x)0，可解得x2，x＝2． 当x变化时，f(x)，f(x)变化情况为：

5分；

（1）当x＝－2时， f(x)取极大值，故f(2)128．解得m＝4． (2)34(2)m33高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

（2）由m4，f(x)13x4x4． 34． 10分； 3当x2时，f(x)取极小值，为f(2)考点：利用导数研究曲线的极值；

20．（1）抛物线的方程为y24x，准线方程为x1；（2）SFAB5. 【解析】

试题分析：（1）先由抛物线C:y22px(p0)过点P(1,2)得到42p，进而解出p的值，

p1；2（2）由（1）中抛物线的方程先确定F(1,0)，进而根据点斜式可写出直线l的方程y2x2，

这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程x设点Ax1,y1,Bx2,y2，联立直线与抛物线的方程，消去y得到x23x10，进而根据二次方程根与系数的关系得到x1x23,x1x21，进而可根据弦长计算公式

|AB|5|x1x2|5(x1x2)24x1x2计算出弦长|AB|，然后由点到直线的距离公式

算出原点O(0,0)到直线l的距离d25，进而可求出OAB的面积. 52根据抛物线C:y2px(p0)过点P(1,2)可得42p，解得p2 （1）

（2） 从而抛物线的方程为y24x，准线方程为x1 5分 （2）抛物线焦点坐标为F(1,0)，所以直线l:y2x2 6分 设点Ax1,y1,Bx2,y2 联立y2x2y4x2 得：4x212x40，即x23x10 8分

则由韦达定理有：x1x23,x1x21 9分 则弦长|AB|5|x1x2|5(x1x2)24x1x25945 11分

25 12分 5而原点O(0,0)到直线l的距离d故SFAB1|AB|d5 13分. 2考点：1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.

21．（Ⅰ）3；（Ⅱ）,40,

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【解析】

试题分析： f(x)为混合型函数，求其最小值一定要通过对其进行求导，找到增减区间；函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，可以假设f(x)在区间是增函数和减函数进行讨论，同样需要进行求导，来找到a的取值范围。

试题解析：（Ⅰ）已知函数的表达形式是f(x)x22x4lnx.所以显然，x的取值范围是

42x22x4，求最大值和最小值问x0；首先对f(x)进行求导得到f(x)2x2xx'题，需要求增减区间，那么令f'(x)0，得到f(x)的增区间为(1,)；令f'(x)0，得到，所以f(x)的最小值为f(x)minf(1)3。 f(x)的减区间为（0,1）

a2x22xa（Ⅱ）首先对f(x)进行求导得到f(x)2x2，因为x0是x的定义

xx/域，所以只需对2x22xa进行讨论。因为函数f(x)在区间（0,1）上为单调函数，那么即求ux2x22xa在区间（0,1）上或者恒大于0或者恒小于0；将ux配方得到

111ux2x22xa2(x)2a，所以ux的对称轴为x，开口向上，在区

222间（0,1）上为增函数，那么若函数f(x)在区间（0,1）上为单调增函数，即ux0，只需要令u00即可，解得x0,；若函数f(x)在区间（0,1）上为单调减函数，即只需令u10即可，解得x,4，所以x,40,。 考点：1．利用导数求最值的应用；2．二次函数的性质．

x22222．（1）（2）k(,y21；)(,).

222【解析】

x2y2试题分析：（1）求椭圆的标准方程221，要找两个等式以确定a、b，本题中有焦点为，

ab说明c1，又有离心率，即ec2，由此再加上a2b2c2可得结论；（2）直线与圆锥a2曲线相交问题，又涉及到交点弦，因此我们都是把直线方程（或设出）ykxm与椭圆方程

联立方程组，然后消去y（有时也可消去x）得关于x（或y）的一元二次方程，再设交点为（用k,m表示），于是AB中点D坐标(x2,y2)，则可得x1x2，x1x2，A、B坐标为(x1,y1)、高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

(x0,y0)可得，其中x0x1x21，y0kx0m，而kPD，从而建立了k,m的一个等量2k关系，在刚才的一元二次方程中，还有判别式0，合起来可得出关于k的不等式，从而求

出其范围.

试题解析：（1）由已知椭圆的焦点在x轴上，c1，

c2a2， a2，b1， 2分

椭圆E的方程为x22y21 4分

（2）ykxmx2，消去y得(12k2)x24kmx2m220 622y1直线l与椭圆有两个交点，0，可得m212k2（*） 8设A(x1,y1)，B(x2,y2)

x4km1x212k2，AB中点的横坐标x02km12k2 AB中点的纵坐标ym0kx0m12k2 10分 AB的中点D(2kmm12k2,12k2) 设AB中垂线l'的方程为：y1k(x12)

D在l'上，D点坐标代入l'的方程可得m12k22k（**） 12将m212k2（*）代入解得k22,或k22， k(,22)(22,) 14分 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线相交问题.

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