高数测试题十(微分方程)答案Word版

高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）

一、 选择题（每小题4分，共20分）

1、若 y1,y2 是方程 yP(x)yQ(x)(Q(x)0) 的两个特解，要使 y1y2 也是解，则  与  应满足的关系是（ D ）

1A

2 B 1 C 0 D 12

2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）

A

(22xyy2)dx(xy1)2dy0 B

(x2xy2)dx(y2x2y)dy0 C

(1e2)d2e2d0 D (x2y2)dx(2xyx)dy0

3、设  为实常数，方程

y2y2y0 的通解是（ D A

Cx1eC2 B C1cosxC2sinx

C

ex(C1cosxC2sinx) D (C1C2x)ex

1 / 9

）

x*4、方程 y2y2yecosx 的特解 y 形式为（ B ）

xxxA axecosx B axecosxbxesinx

C ax2excosxbx2exsinx D ax2excosx

5、已知

yexx0y(t)dt ，则函数 y(x) 的表达式为（A yxexC B yxex

C yxexCex D y(x1)ex

二、填空题（每小题4分，共20分）

2 / 9

） D

dy12y2yxe(yC) dx2xe1、 方程 的通解是

2、 方程 x(y1)y 的通解是 yx(lnxC)

3、 以

y1e2x,y2xe2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 y4y4y0

4、 已知方程 yy0 的积分曲线在点 O(0,0) 处与直线 yx 相切，则该积分曲

1y(exex)shx2线的方程为

5、 方程 xdyydx0 的一个只含有 x 的积分因子为

1x2

三、（共60分）

1、（8分）求方程 (yx1)dx(2y2x3)dy0 的通解

解：令 yx1u，则 dydudx，代入原方程得

1)dudxu1，两边积分得

(u1)dx(2u1)du 即

(22uln(u1)xC1，代回原方程，得通解

2yxln(yx2)C

22(1x)dy(2xy3x3)dx的通解 2、（6分）求方程

解：方程改写为

y2xy31x2，则通解为

yeln(1x2)[3eln(1x2)dxC](1x2)(C3arctanx)

1(xey1)dx(x2eyy)dy03、（8分）求微分方程 2y解：设

P(x,y)xe1,Q(x,y)12y2xey 的通解

PQxeyx ，则原方程为全微分方程，于是 有 y1111u(x,y)(x1)dx(x2eyy)dyx2xx2eyy2002222

xy22y2x2xxeyC 故 原方程的通解为

4、（10分）求解

2yyy2y3,y(0)1,y(0)12

解：此方程不含x，令 yP，则

dPP2y3dydP12Py2dyy

yPdPdy，原方程化为

2yP,2Pdz1zy22此方程为贝努力方程，令 Pz，上述方程化为 dyy

则

zelny[y2elnydyC1]，

即

y2C11411(yC1)y31y(0)1,y(0)y44y，由初始条件 2

dy1313y2yyC102 4，或 dx得 ，于是，方程化为

23dy1312yy2dydx2，积分得 由初始条件应取 dx2，即

11xC24y，再由初始条件y(0)1得 C21，

1x(1)24

所以原方程的特解为

111x4yy 或

(4)y3y0 的通解5、（6分）求方程

42r3r0，特征根为 r1r20,r3,43i 解：特征方程为

方程的通解为 yC1C2xC3cos3xC4sin3x

2yy2x3 的通解 6、（10分）求方程

2解：对应的齐次方程为 yy0，其特征方程为 rr0

特征根为

r10,r21，齐次方程的通解为

YC1C2ex

因 0 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为

y*x(b0x2b1xb2)

2,b12,b213，于是得到一个特解

代入原方程，比较系数得

b02y*(x22x1)x3，所求方程的通解为

2yYy*C1C2ex(x22x1)x3

7、（12分）求满足条件 f(0)1,f(0)1 且具有二阶连续导数的函数f(x)，使方程

3f(x)ydx[sin2xf(x)]dy02

是全微分方程。并求出全微分方程经过点 (,1) 的一条积分曲线。

解：由全微分方程的条件知：f(x)3cos2xf(x)，即

f(x)f(x)3cos2x，对应的齐次方程的特征根为 r1,2i

齐次方程的通解为 FC1cosxC2sinx。因为i2i不是特征根，则方程的特解形

*f式为 Acos2xBsin2x，代入方程解得

A1,B0，故 f*cos2x，方程的通解为

fFf*C1cosxC2sinxcos2x，代入初始条件

f(0)1,f(0)1，得 C10,C21，因此，所求函数为

f(x)sinxcos2x

将其代入原方程中，得全微分方程

3(sinxcos2x)ydx[sin2xcosx2sin2x]dy02

再求其满足 y()1 的积分曲线。因方程为全微分方程，其通解为

1[02sin2xcosx]dyC1,(sin2x2cosx)yC

y由条件 y()1 得 C2，故所求积分曲线为

2sin2x2cosx

y 友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！