高数单元自测题

第一章 极限与函数的连续性

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一、 填空题：

1x1．设fx，则ffx=_____________。

1xanbn(0ab)________ __。 2． limnnabn3． lim12x_______ ___。

x03x2x231sin___ _______。 4． limx3x2x5． 已知x0时1ax6． 函数

1x e ,x0,fx 0 ,x0,

1xsin,x0x1231与cosx1是等价无穷小，则a__________。

的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：

1．设函数fx的定义域是0,1，0a是（ ）。

（A）a,1a； （B）a,1a； （C）a,1a； (D) a,1a。

1，则函数gxfxafxa的定义域2n22kn)0，则常数k（ ）2．已知极限lim(。

nn(A) 1 ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若limfxA，则下面选项中不正确的是（ ）。

xx0(A) f(x)A，其中为无穷小； (B)f(x)在x0点可以无意义； (C)Af(x0) ； (D) 若A0，则在x0的某一去心邻域内f(x)0。

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4． 当x0时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。 (A) sinx； (B) 1cosx； (C) ln1x2； (D) xex1。

22sinaxx0x,5．设函数f(x)。 x0在点x0处连续，则常数a,b的值为（ ）b,1xln(1x),x0(A) a0,b0； (B) a1,b1 ； (C) a1,b1 ； (D)a1,b1 。 6． 方程x4x10至少有一个根的区间是（ ）。

(A) 0，12； (B) 1，12； (C) 1，2； (D) 三、 计算下列各题：

．求函数yex1ex1的反函数，并求反函数的定义域。

2．求极限limnnn1n1。

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2，3。

3．求极限lim2n1。 22nn21n2nn

4．求极限lim113x31。

x1x

x5．设limxx2axa8，求常数a。

6．求极限limx013tan2x1x2。

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7．讨论函数fx

xx1x2x21的间断点及其类型。

四、 证明题：

1. 设x12，xn111(xn)n1,2,，证明极限limxn存在，并求极限值。

n2xn

2. 设函数fx在a,b上连续，且afxb。证明至少存在一点a,b，使

f。

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第二章 导数与微分

专业 班级 姓名 学号

一、判断题：

1. 2. 3. 4. 5. 6.

（ ） f(x)在x0点可导，则f(x)在x0点连续。（ ） f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点可导。

f(x)在x0点可导，则limf(x)存在。（ ）

xx0xx0limf(x)存在，则f(x)在x0点可导。（ ）

f(x)在x0点不可导，则f(x)在x0点不连续。（ ） f(x)在x0点不连续，则f(x)在x0点不可导。（ ）

二、选择题：

1. 设limh0f(x0)f(x02h)3，则（ ）。

h（A）f(x0)2； （B）f(x0)3；

3； （D）f(x0)存在与否无法确定． 2f(2x)2，则（ ）2. 设f(0)0，且lim。

x0x（C）f(x0)（A）f(0)1； （B）f(0)2； （C）f(0)1； （D）f(0)存在与否无法确定． 23. 设函数f(x)x0asinx,在点x0处可导，则（ ）。

ln(bx),x0（A）a0,b1； （B）a1,b1； （C）a0,be； （D）a1,be． 4. 设(x)在点x0处连续，且(0)0，若f(x)|x|(x)，则f(x)在

x0点处（ ）。

（A）不连续； （B）连续但不可导； （C）可导，且f(0)(0)； （D）可导，且f(0)(0)．

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三、计算下列各题：

xesinx,1. 设f(x)2xx,x0x0，求f(x)。

2. 设yxarcsinxtan3(2x1)，求y。 2

223. 设yf(x)，其中函数f(x)可导，求y。

4. 设y(1x)，求y。

2x

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5. 设yx53x22，求y。

6. 设yx2lnxsin22x，求y。

dyd2y7. 设yy(x)是由方程eyx所确定的隐函数，（1）求；（2）求。 2dxdxy

2dyd2yxt2t8. 设，（1）求；（2）求。 2tdxdxyte

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9. 求函数yln1x2的微分dy。

四、应用题：

1. 已知曲线yf(x)过(1,0)点，且limx0f(12x)1，求曲线在点(1,0)处的切线方 x程。

2. 设水管壁的正截面是一个圆环，其外直径为20cm，壁厚为0.4cm，试求此圆环面积的 近似值。

五、设yf(ex)，且函数f(x)具有二阶导数，证明：yye2xf(ex)。

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第三章 微分中值定理与导数的应用

专业 班级 姓名 学号

一、填空题：

1．f(x)x3x在[0,3]是否满足罗尔定理条件________,若满足,则_________。 2．f(x)x4在[1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件________,若满足,则______。 3． f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0在(1,4)内有实根__________个。

x3ax2b8,则a_____,b_______4．lim。

x2x2二、选择题：

1．罗尔定理的三个条件:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)是f(x)在(a,b)内至少存在一点使f()0的( )。

（A）必要条件； （B）充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件。

exex( )。 2．limxxeex（A）1； （B）-1 ； （C）0 ； （D）不存在。 3．yx12x1在区间(6,)内( )。

（A）凸增； （B）凸减； （C）凹增； （D）凹减。 4．曲线y43x1的拐点是( )。

（A） （1,4）； （B）(2,3)； （C） (8,2)； （D） (0,5)。

5．下面结论正确的是( )。

（A）驻点一定是极值点； （B）可导函数的极值点一定是驻点； （C）函数的不可导点一定是极值点； （D）函数的极大值一定大于极小值。

2三、计算下列各题：

1．求limx(e1) 。

x1x

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2．求lim[x0]1]。

ln(1x)x

3．求lim(cosx)x01x2。

四、应用题：

1．确定函数y2xe的单调区间。

2．求曲线yln(x1)的拐点及凹、凸区间。

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22x3．求yx312x5在[0,5]上的最大值和最小值。

4．当a,b为何值时,点(2,5)为曲线yax3bx2的拐点.

5．欲做一个容积为72m的长方体带盖箱子，箱子底长xm与宽ym的比为1:2，问长方体带盖箱子底长x、宽y及高h各为多少时，才能使箱子用料最省？

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3

五、证明题： 1．设ba0，证明：

babbaln； baa

2．证明：当x0时，ln(1x)x12x2；

3．证明:方程x5x10只有一个正根。

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