第一章 极限与函数的连续性
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一、 填空题:
1x1.设fx,则ffx=_____________。
1xanbn(0ab)________ __。 2. limnnabn3. lim12x_______ ___。
x03x2x231sin___ _______。 4. limx3x2x5. 已知x0时1ax6. 函数
1x e ,x0,fx 0 ,x0,
1xsin,x0x1231与cosx1是等价无穷小,则a__________。
的连续区间是_____ _____。
二、 选择题:
1.设函数fx的定义域是0,1,0a是( )。
(A)a,1a; (B)a,1a; (C)a,1a; (D) a,1a。
1,则函数gxfxafxa的定义域2n22kn)0,则常数k( )2.已知极限lim(。
nn(A) 1 ; (B) 0 ;(C) 1; (D) 2 。
3.若limfxA,则下面选项中不正确的是( )。
xx0(A) f(x)A,其中为无穷小; (B)f(x)在x0点可以无意义; (C)Af(x0) ; (D) 若A0,则在x0的某一去心邻域内f(x)0。
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4. 当x0时,下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小( )。 (A) sinx; (B) 1cosx; (C) ln1x2; (D) xex1。
22sinaxx0x,5.设函数f(x)。 x0在点x0处连续,则常数a,b的值为( )b,1xln(1x),x0(A) a0,b0; (B) a1,b1 ; (C) a1,b1 ; (D)a1,b1 。 6. 方程x4x10至少有一个根的区间是( )。
(A) 0,12; (B) 1,12; (C) 1,2; (D) 三、 计算下列各题:
.求函数yex1ex1的反函数,并求反函数的定义域。
2.求极限limnnn1n1。
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2,3。
3.求极限lim2n1。 22nn21n2nn
4.求极限lim113x31。
x1x
x5.设limxx2axa8,求常数a。
6.求极限limx013tan2x1x2。
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7.讨论函数fx
xx1x2x21的间断点及其类型。
四、 证明题:
1. 设x12,xn111(xn)n1,2,,证明极限limxn存在,并求极限值。
n2xn
2. 设函数fx在a,b上连续,且afxb。证明至少存在一点a,b,使
f。
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《高等数学》单元自测题
第二章 导数与微分
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一、判断题:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
( ) f(x)在x0点可导,则f(x)在x0点连续。( ) f(x)在x0点连续,则f(x)在x0点可导。
f(x)在x0点可导,则limf(x)存在。( )
xx0xx0limf(x)存在,则f(x)在x0点可导。( )
f(x)在x0点不可导,则f(x)在x0点不连续。( ) f(x)在x0点不连续,则f(x)在x0点不可导。( )
二、选择题:
1. 设limh0f(x0)f(x02h)3,则( )。
h(A)f(x0)2; (B)f(x0)3;
3; (D)f(x0)存在与否无法确定. 2f(2x)2,则( )2. 设f(0)0,且lim。
x0x(C)f(x0)(A)f(0)1; (B)f(0)2; (C)f(0)1; (D)f(0)存在与否无法确定. 23. 设函数f(x)x0asinx,在点x0处可导,则( )。
ln(bx),x0(A)a0,b1; (B)a1,b1; (C)a0,be; (D)a1,be. 4. 设(x)在点x0处连续,且(0)0,若f(x)|x|(x),则f(x)在
x0点处( )。
(A)不连续; (B)连续但不可导; (C)可导,且f(0)(0); (D)可导,且f(0)(0).
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三、计算下列各题:
xesinx,1. 设f(x)2xx,x0x0,求f(x)。
2. 设yxarcsinxtan3(2x1),求y。 2
223. 设yf(x),其中函数f(x)可导,求y。
4. 设y(1x),求y。
2x
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5. 设yx53x22,求y。
6. 设yx2lnxsin22x,求y。
dyd2y7. 设yy(x)是由方程eyx所确定的隐函数,(1)求;(2)求。 2dxdxy
2dyd2yxt2t8. 设,(1)求;(2)求。 2tdxdxyte
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9. 求函数yln1x2的微分dy。
四、应用题:
1. 已知曲线yf(x)过(1,0)点,且limx0f(12x)1,求曲线在点(1,0)处的切线方 x程。
2. 设水管壁的正截面是一个圆环,其外直径为20cm,壁厚为0.4cm,试求此圆环面积的 近似值。
五、设yf(ex),且函数f(x)具有二阶导数,证明:yye2xf(ex)。
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《高等数学》单元自测题
第三章 微分中值定理与导数的应用
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一、填空题:
1.f(x)x3x在[0,3]是否满足罗尔定理条件________,若满足,则_________。 2.f(x)x4在[1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件________,若满足,则______。 3. f(x)(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0在(1,4)内有实根__________个。
x3ax2b8,则a_____,b_______4.lim。
x2x2二、选择题:
1.罗尔定理的三个条件:在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)是f(x)在(a,b)内至少存在一点使f()0的( )。
(A)必要条件; (B)充分条件; (C)充分必要条件; (D)既非充分也非必要条件。
exex( )。 2.limxxeex(A)1; (B)-1 ; (C)0 ; (D)不存在。 3.yx12x1在区间(6,)内( )。
(A)凸增; (B)凸减; (C)凹增; (D)凹减。 4.曲线y43x1的拐点是( )。
(A) (1,4); (B)(2,3); (C) (8,2); (D) (0,5)。
5.下面结论正确的是( )。
(A)驻点一定是极值点; (B)可导函数的极值点一定是驻点; (C)函数的不可导点一定是极值点; (D)函数的极大值一定大于极小值。
2三、计算下列各题:
1.求limx(e1) 。
x1x
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2.求lim[x0]1]。
ln(1x)x
3.求lim(cosx)x01x2。
四、应用题:
1.确定函数y2xe的单调区间。
2.求曲线yln(x1)的拐点及凹、凸区间。
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22x3.求yx312x5在[0,5]上的最大值和最小值。
4.当a,b为何值时,点(2,5)为曲线yax3bx2的拐点.
5.欲做一个容积为72m的长方体带盖箱子,箱子底长xm与宽ym的比为1:2,问长方体带盖箱子底长x、宽y及高h各为多少时,才能使箱子用料最省?
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3
五、证明题: 1.设ba0,证明:
babbaln; baa
2.证明:当x0时,ln(1x)x12x2;
3.证明:方程x5x10只有一个正根。
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