求解共点力平衡问题的八种方法

一、分解法

一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，这样把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题，则每个方向上的一对力大小相等。

二、合成法

对于三力平衡时，将三个力中的任意两个力合成为一个力，则其合力与第三个力平衡，把三力平衡转化为二力平衡问题。

[例1] 如图1所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )

图1

A．F1＝mgcos θ B．F1＝mgcot θ C．F2＝mgsin θ D．F2＝mg/sin θ [解析] 解法一(分解法)

用效果分解法求解。F2生两个效果：一个是水平方向沿A→O拉绳子AO，另一个是拉着竖直方向的绳子。如图2甲所示，将F2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识F2″mg解得F1＝F2′＝mgcot θ，F2＝＝。显然，也可以按mg(或F1)产生的效果分解mg(或

sin θsin θF1)来求解此题。

图2

解法二(合成法)

由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图乙所示。又考虑到F12＝mg，解直角三角形得F1＝mgcot θ，F2＝mg/sin θ，故选项B、D正确。

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[答案] BD 三、正交分解法

物体受到三个或三个以上力的作用处于平衡状态时，常用正交分解法列平衡方程求解：Fx合＝0，Fy合＝0。为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。

[例2] 如图3所示，用与水平成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是

( )

图3

A．推力F先增大后减小 B．推力F一直减小

C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D．物块受到的摩擦力一直不变

[解析] 对物体受力分析，建立如图4所示的坐标系。

图4

由平衡条件得 Fcos θ－Ff＝0 FN－(mg＋Fsin θ)＝0 又Ff＝μFN

μmg

联立可得F＝

cos θ－μsin θ

可见，当θ减小时，F一直减小，故选项B正确。 [答案] B

四、整体法和隔离法

若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法。对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法

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相结合的方法。

[例3] (多选)如图5所示，放置在水平地面上的质量为M的直角劈上有一个质量为m的物体，若物体在直角劈上匀速下滑，直角劈仍保持静止，那么下列说法正确的是( )

图5

A．直角劈对地面的压力等于(M＋m)g B．直角劈对地面的压力大于(M＋m)g C．地面对直角劈没有摩擦力 D．地面对直角劈有向左的摩擦力 [解析] 方法一：隔离法

先隔离物体，物体受重力mg、斜面对它的支持力FN、沿斜面向上的摩擦力Ff，因物体沿斜面匀速下滑，所以支持力FN和沿斜面向上的摩擦力Ff可根据平衡条件求出。再隔离直角劈，直角劈受竖直向下的重力Mg、地面对它竖直向上的支持力FN地，由牛顿第三定律得，物体对直角劈有垂直斜面向下的压力FN′和沿斜面向下的摩擦力Ff′，直角劈相对地面有没有运动趋势，关键看Ff′和FN′在水平方向上的分量是否相等，若二者相等，则直角劈相对地面无运动趋势，若二者不相等，则直角劈相对地面有运动趋势，而摩擦力方向应根据具体的相对运动趋势的方向确定。

对物体进行受力分析，建立坐标系如图6甲所示，因物体沿斜面匀速下滑，由平衡条件得：支持力FN＝mgcos θ，摩擦力Ff＝mgsin θ。

图6

对直角劈进行受力分析，建立坐标系如图乙所示，由牛顿第三定律得FN＝FN′，Ff＝Ff′，在水平方向上，压力FN′的水平分量FN′sin θ＝mgcos θ·sin θ，摩擦力Ff′的水平分量Ff′cos θ＝mgsin θ·cos θ，可见Ff′cos θ＝FN′sin θ，所以直角劈相对地面没有运动趋势，所以地面对直角劈没有摩擦力。

在竖直方向上，直角劈受力平衡，由平衡条件得：FN地＝Ff′sin θ＋FN′cos θ＋Mg＝mg＋Mg。

方法二：整体法

直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等、方

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向相反。而地面对直角劈的支持力、地面对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力，所以要讨论这两个问题，可以以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持力，因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡状态，所以竖直方向上地面对直角劈的支持力等于物体和直角劈整体的重力。水平方向上地面若对直角劈有摩擦力，无论摩擦力的方向向左还是向右，水平方向上整体都不能处于平衡状态，所以整体在水平方向上不受摩擦力，整体受力如图丙所示。

[答案] AC

五、三力汇交原理

物体受三个共面非平行力作用而平衡时，这三个力必为共点力。

[例4] 一根长2 m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图7所示，则关于直棒重心C的位置下列说法正确的是( )

图7

A．距离B端0.5 m处 B．距离B端0.75 m处 C．距离B端D．距离B端

3

m处 23

m处 3

[解析] 当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，1

则重心C一定在过O点的竖直线上，如图8所示。由几何知识可知：BO＝AB＝1 m，BC

21

＝BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处。A项正确。 2

图8

[答案] A

六、正弦定理法

三力平衡时，三力合力为零。三个力可构成一个封闭三角形，如图9所示。

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图9

则有：

F1F2F3＝＝。 sin αsin βsin γ

[例5] 一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图10所示。现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线上拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角α等于多少？最小拉力是多少？

图10

[解析] 对电灯受力分析如图11所示，据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即T＝G①

图11

在△OTBT中，∠TOTB＝90°－α 又∠OTTB＝∠TOA＝β，

故∠OTBT＝180°－(90°－α)－β＝90°＋α－β TBT

由正弦定理得＝②

sin βsin90°＋α－β联立①②解得TB＝

Gsin β

cos α－β

因β不变，故当α＝β＝30°时，TB最小，且TB＝Gsin β＝G/2。 [答案] 30°

G

2

七、相似三角形法

物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力的三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。

[例6] 如图12所示是固定在水平面上的光滑半球，球心O′的正上方固定一小定滑轮，

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细线一端拴一小球A，另一端绕过定滑轮。今将小球从如图所示的初位置缓慢地拉至B点。在小球到达B点前的过程中，半球对小球的支持力FN及细线的拉力F1的大小变化情况是

( )

图12

A．FN变大，F1变小 C．FN不变，F1变小

B．FN变小，F1变大 D．FN变大，F1变大

[解析] 由于三力F1、FN与G首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形AOO′相似，如图13所示，

图13

F1OAFNR所以有＝，＝，

GOO′GOO′OA

所以F1＝G，

OO′R

FN＝G，

OO′

由题意知当小球缓慢上移时，OA减小，OO′不变，R不变，故F1减小，FN不变，故C对。

[答案] C 八、图解法 1．图解法

对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化情况判断各个力的变化情况。

2．图解法主要用来解决三力作用下的动态平衡问题

所谓动态平衡问题就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化。从宏观上看，物体是运动的，但从微观上理解，物体是平衡的，即任一时刻物体均处于平衡状态。

3．利用图解法解题的条件是

(1)物体受三个力的作用而处于平衡状态。

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(2)一个力不变，另一个力的方向不变或大小不变，第三个力的大小、方向均变化。 [例7] 如图14所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

图14

[解析] 取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2，因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，作出如图15所示的动态矢量三角形，由图可见，F2先减小后增大，F1始终随β增大而减小。由牛顿第三定律可知，球对挡板压力先减小后增大，球对斜面压力减小。

图15

[答案] 见解析

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