基于集总参数法的大尺寸物体非稳态导热计算

基于集总参数法的大尺寸物体非稳态导热计算

摘 要：当物体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，物体内部的温度梯度极小，近似认为物体内部的温度t仅是时间τ的函数，与空间坐标无关，因此可以把整个导热系统看作是一个处于平均温度下的物体，这种忽略物体内部导热热阻的简化方法称为集总参数法。然而集总参数法适用对象必须要几何尺寸足够小，本文正是在集总参数法的基础上提出一种能够计算大尺寸物体传热问题的计算方法。

关键词：集总参数法 大尺寸 微分

1、集总参数法

对于几何尺寸较小、表面换热弱、导热系数大的物体，设其初始温度为t’，被周围温度为tf的流体冷却，换热系数α为定值，由于几何尺寸较小，则可近似认为物体内部温度梯度极小，可用平均温度t表示，经过dτ时间后，由于散热，温度下降dt，则有：

（1）

式中：A-物体表面积

ρ-物体密度

c-比热容

V-物体体积

另过余温度θ=t-tf，则dt=dθ，带入（1）式，得到：

（2）

物体从周围流体吸热，这是能量平衡方程式为：

（3）

对（2）式积分：

（4） 即

（5）

实验表明对于平板、长圆柱、球等物体，若毕渥数Bi满足：

（6）

式中：λ-物体与流体的对流换热系数

则此时可用集总参数法，对于平板、长圆柱、球，M分别取1、1/2、1/3。

2、大物体非稳态导热

当研究对象比较大，不适合用常规的集总参数法时，考虑用微分的方法（方便起见，本文以边长为L0的正方体为例），从最外层为起点，向内逐层取厚度为dL的薄壳，dL足够小。

建立三维坐标，以正方体中心为原点，当取到薄壳外边长为L时，薄壳的体积为：

即：

（7）

薄壳的质量为：

即：

（8）

由（5）得到：

（9）

以取出的薄壳为对象：

（10）

整理得到：

（11）

对上式积分：

（12）

由于dL已经是极小的值，所以（dL）2、（dL）3可以忽略不计。

（12）式的积分结果为：（13）

3、适用范围

对于取出的薄壳，其温度从t’到t需要的热量：

（14）

（8）式代入（14）式：

（15）

所用时间为：

（16）

为减小误差，对（16）式中的面积A△L取薄壳内表面积。

（7）式代入（16）式：

（17）

在这段时间内，薄壳向内层传热

（18）

△t内为变值（因为薄壳的温度在变化，薄壳以内的温度也在变化）。

的最大值为t-t’，所以向内传热最大值为：

（19）

（20）

（17）式代入（20）式：

化简：

（21）

越小，该方法精确度越高。

4、总结

由上述计算可知，对于几何尺寸较大的物体，以集总参数法为基础，运用微分原理，计算其非稳态导热在一定情况下是可行的。

当足够小时，也极小，表示向内传递的最大可能热量与这段时间内薄壳温度升高到预定温度所吸收的热量之比值极小，小到可以忽略不计，取出的薄壳就可以用集总参数法进行计算，对每一薄壳进行积分，就得到整个大尺寸物的的温度升高到预定值所需时间。