数学文卷·2016届海南省海南中学高三考前高考模拟(七)试题(2016.04)word版

数学文科试题 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Axx2x60，Bxx20，则CR(AB)（ ） A．xx2或x3 B．xx2或x3 C．xx2或x3 D．xx2或x3 2.设复数z1,z2在复平面内的点关于实轴对称，z11i，则

z1 （ ）

z2A．i B．i C．1 D．1 3.已知在平面直角坐标系xOy中，角的终边在直线y2x位于第一象限的部分，则sin()（ ）

6A．

323332323 B． C． 666332 6D．4.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是（ ） A．有些相互垂直的两直线相交 B．有些不相互垂直的两直线不相交 C．任意相互垂直的两直线相交 D．任意相互垂直的两直线不相交

5.某几何体的三视图如图所示，其则该几何体的体积是（ ）

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A．2C．433 B．43 333 D．4 336.设不等式组示的平面区域为

表示的平面区域为，不等式组。在区域

表

内随机取一点，则该点是取自于区域

的概率是（ ）

7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是1，则正整数n的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，直线l:xy50，点B(x,y)第 2 页 共 15 页

是圆C:x22xy210上的动点，ADl,BEl,垂足分别为D,E，则线段DE的最大值是（ ） A．2 B．

3252 C．22 D． 229.已知函数f(x)在定义域[3,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递增，并且

f(m21)f(m22m2)，则m的取值范围是（ ）

A．(12,2] B．[12,2] C．[,2] D．(,2]

10.已知函数yf(1x)的图象如下，则yf(x2)的图象是（ ）

1212

11.在平面直角坐标系xOy中有不共线三点P(a1,b1)，A(a2,b2)，B(a3,b3).实数,满足0，则以P为起点的向量PA,PB的终点连线一定过点（ ）

A．(a2a3a1,b2b3b1) B．(b2b3b1,a2a3a1) C．(a2a32a1,b2b32b1) D．(b2b32b1,a2a32a1)

12.已知公差不为零的等差数列an(n3)的最大项为正数.若将数列

an中的项重新排列得到公比为q的等比数列bn.则下列说法正确的

是（ ）

A．q0时，数列bn中的项都是正数 B．数列an中一定存在的为负数的项 C．数列an中至少有三项是正数

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D．以上说法都不对

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知x1，则logx9log27x的最小值是_______.

14.在某次测量中得到某样本数据如下：90,90，x,94,93.若该样本数据的平均值为92，则该样本数据的方差为______. 15.使得2x14xlog2x成立的x的范围是_______.

16.已知方程2x23x10的一非零实根是x1，ax23x10(a0)的一非零实根是x2.函数f(x)x3x2x3在(x1,x2)有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sinxcosx23cos2x3,xR. （1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（2）已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边，a2且

f(A2)3，求ABC面积的最大值. 23133218.（本小题满分12分）

如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形.侧棱长为5，平面ABCD平面A1ACC1，AB33，BAD60，点E是ABD的重心，且A1E4. （1）求证：平面A1DC1∥平面AB1C； （2）求棱柱ABCDA1B1C1D1的体积.

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19.（本小题满分12分）

有两位环保专家从A,B,C三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，两位专家选取的城市可以相同，也可以不同. （1）求两位环保专家选取的城市各不相同的概率； （2）求两位环保专家中至少有一名专家选择A城市的概率. 20.（本小题满分12分）

x2y27如图，已知椭圆221(ab0)，椭圆的长轴长为8，离心率为.

ab4（1）求椭圆方程；

（2）椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且

(ABAD)(DCBC)0，求四边形ABCD周长的最大值与最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)a(x2)4(x2)2a(x2)(a0)，函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x1对称. （1）求函数g(x)；

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14

（2）a2时，求证：函数g(x)在区间(a,1)不单调. a1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知圆内接四边形ABCD中，ABBC，AD的延长线与BC的延长线交于点P.

BCDC； BPDP1（2）求证：BDCPDC90.

2（1）求证：

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是2cos2sin0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参

12xt数方程是22（t为参数）.

y2t2（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若直线l与曲线C交于A,B两点，求AB的值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数m,n满足2mn3.

（1）若mn39，求实数m的取值范围；

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（2）求mnmn的最小值.

数学文科试题（七）

参

53131323

3.C 取点P(1,2)，则rOP3，所以sincos13，所以3326，33sin(6)sincos6cossin66331323. 32326第 7 页 共 15 页

4.C

5.D 由三视图可知该几何体由长方体和圆锥构成，所以体积

V221334. 336.A 如图，区域1的面积是9，区域2的面积是18，所以所求概率为P=

91. 182

7.C

(lgm)2logm4m(lg2)2lgmlg4m(lg2)2(lgm)22lg2lgm(lg2)2(lgmlg2)2(lg2m)21所以lg2m1或lg2m1，所以mm5，所以n5.

1或m5，因为m是整数，所以208.D 圆C:x22xy210，即(x1)2y22.如图，过点B作直线AD的垂线，交AD于点F，则DEBF，所以此问题转化为求圆上的点B到直线AD的距离的最大值，即圆心到直线xy20的距离加半径.易知直线AD的方程是xy20，点C(1,0)到直线xy20的距离是

122323252，所以DE的最大值是+2=.

222第 8 页 共 15 页

9.D 因为函数f(x)在[3,0]上单调递减，由

f(m21)f(m22m2)，即f(m21)f(m22m2)，所以函数f(x)在[3,0]上单调递减，而m210,m22m2(m1)210，所以由

f(m21)f(m22m2)得，

3m21012，解得m2. 3m2m202m21m22m210.A 把函数yf(1x)f[(x1)]的图象沿着x轴向左平移1个单位得yf(x)的图象，再关于y轴对称得yf(x)的图象，再沿着x轴向左平移2个单位得yf(x2)的图象，再把yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称上去. 11.C 由0，所以111.设点Q在向量PA,PB的中点

连线上，则

PQ1(PA)1(PB)PAPB(a2a1,b2b1)(a3a1,b3b1)(a2a32a1,b2b32b1),所以一点过点(a2a32a1,b2b32b1).

12.B 不放设等差数列an中的每一项如下：a1a2a3an，其中an0.如果数列an中至少有三项式正数，比如0an2an1an，这时，an2,an1,an即是等差数列又是等比数列，即an2an1an，矛盾.

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说明数列an中至多有两项是正数. 13.

262lg3lgx2lg3lgx26 logx9log27x（当且仅当23lgx3lg3lgx3lg332lg3lgx，即x36取等号） lgx3lg3141 由(9090x9493)92，所以x93.所以该样本数据55114的方差为S2[(9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)2].

5514.

15.4x16 如图，可知4x16.

16.[,0)(0,1) f(x)x23x1在(x1,x2)有且仅有一解，

2222f(x1)f(x2)(x123x11)(x23x21)(x123x12x123x1)(x23x2ax23x2)(1a)x12x2094，所以1a0，所以a1，又94a0，所以a，所以a1. 17.解：（1）f(x)2sinxcosx23cos2x3sin2x3(1cos2x)3

13sin2x3cos2x2(sin2xcos2x)2sin(2x)，

2239494所以f(x)的最小正周期T由2k2x22. 25kxk,kR. 1212322k,kR，所以5k,k](kR). 1212A2A252（2）f()2sin[2()]2sin(A)2sin(A)3，

2323333所以f(x)的单调增区间是[所以sin(A所以A

23225，因为0A，所以A， )32333242，所以A，又333第 10 页 共 15 页

4b2c22bccos432b2c2bc3bc， 3所以bc，当且仅当bc时等号成立，所以

133. SABCbcsinAbc24318.证明：（1）因为AA1平行等于CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以A1C1∥AC.

又因为AD平行等于B1C1，所以四边形ADC1B1是平行四边形，所以

AB1∥DC1.

因为AC,AB1平面A1DC1，A1C1,DC1平面A1DC1，

所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，又因为ACAB1A，AC,AB1平面AB1C，

所以平面A1DC1∥平面AB1C.

（2）解：设ACBDO，由题意可知ABD是等边三角形. 因为AB33，所以OAABcosBAC33cos30， 所以AEOA3，所以AA12A1E2AE2，所以A1EAC， 又因为平面ABCD⊥平面A1ACC1，平面ABCD平面A1ACC1AC，

A1E平面A1ACC1，所以A1E平面ABCD.

2392所以A1E是棱柱ABCDA1B1C1D1的高，由于菱形面积

1273， S2(ABADsin60)22所以棱柱ABCDA1B1C1D1的体积VSA1E3.

19.解：（1）记两位专家分别为a,b，则两位环保专家从A,B,C三个城市中每人随机抽取一个城市的基本事件数共有9种：

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aA,bA;aB,bB;aC,bC;aA,bB;aA,bC;aB,bA;aB,bC;aC,bA;aC,bB.

记事件D表示“两位环保专家选取的城市各不向同伴”，则

P(D)62. 93（2）记事件E表示“恰有1位环保专家选择A城市”，事件F表示“恰有2位环保专家选择A城市”，则事件EF表示“两位环保专家中至少有一名专家选择A城市”.

P(EF)P(E)P(F)415. 99920.解：（1）由题意可知2a8,2222ca7，所以a4,c7. 4x2y2又因为cab，所以b9，所以椭圆方程是1.

169（2）由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2)，则C(x1,y1),D(x2,y2)， 因为AB(x2x1,y2y1),DC(x2x1,y2y1),所以ABDC，所以四边形

ABCD是平行四边形.

因为(ABAD)(DCBC)(ABAD)(ABAD)ABAD0，所以

ABAD，

22所以四边形ABCD是菱形.

设直线AC的方程是xmy0，则直线BD的方程是mxy0，并且由椭圆的对称性不妨设m0，

xmy0144m2144222222,y2由xy，得(9m16)x144m，所以x2， 219m169m16169所以A(12m9m162,129m162),C(12m9m162,129m162),

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mxy02144144m22222由xy2，得(916m)x144，所以x2， ,y219m169m16169所以B(AB(2129m1612m9m2162,12m9m16129m2162),D(129m16129m2162,12m9m1612m9m2162),所以

11)9m216916m2)2()2144(m21)(， 所以

211(m21)2(m21)2AB144(m1)(2)60609m16916m2(9m216)(916m2)144(m21)249(m21)49t2160令tm1，则AB60，

4949144t249t492144tt249491126251，因为14449()01， 2ttt24t1162524所以，即m21t2,m1时，umin(t). ,ABmint24511，即m21t1,m0时，umin(t)144,ABmin5. t96所以四边形ABCD周长的最大值是20，最小值是.

5令u(t)21.解：（1）设点M(x0,y0)是函数f(x)图象上任意一点，点P(x,y)是函数g(x)图象上与M关于直线x1对称的点.因为x0x2,y0y，

1a(x02)4(x02)2a(x02). 411所以yax4x2ax，即g(x)ax4x2ax(a0).

44y0（2）g(x)ax32xa，

aa32a132)a()aa[(1)1]， a1a1a1a1a111a令t，由a2，所以0t，则g()a[(1t)32t1]，

a13a1g(第 13 页 共 15 页

令h(t)(1t)32t1t33t2t,0t，h(t)3t26t1， 由h(t)0，所以1所以h(t)在(1616， t，由h(t)0，所以0t133313616,)单调递增，在(0,1)单调递减. 333131a0，即h(t)0，g()ah(t)0， 27a1a又g(1)20，所以函数g(x)在区间(,1)不单调.

a1所以h(t)h(0)0,h(t)h()22.证明：（1）因为PDCPBA,APBCPD，所以ABP~CDP，所以

ABBP. CDDPBCDC. BPDP又ABBC，所以

（2）连接BD,AC，因为ABBC，所以BACBCA，又BACBDC，

BCABDA，

所以BDCBDA，所以ADC2BDC.

因为PDCADC180，所以BDCPDC90.

23.解：（1）因为2cos2sin0，所以22cos2sin0， 所以曲线C的直角坐标方程是x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.

12xt22由（t为参数），消去参数t，所以直线l的普通方程是

2yt22x2y10.

12（2）圆心(1,1)到直线2x2y10的距离d圆的半径r2，所以AB2r2d214. 22214432， 424.解：因为2mn3，所以2mn3.

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（1）mn3m2m3m9，所以m3，所以m3或m3. （2）

51125112mnmnm(2m3)m(2m3)m1m23， 33333333当且仅当1m2（或5n1）时等号成立， 所以mnmn的最小值是3.

53131323第 15 页 共 15 页