数学文科试题 第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合Axx2x60,Bxx20,则CR(AB)( ) A.xx2或x3 B.xx2或x3 C.xx2或x3 D.xx2或x3 2.设复数z1,z2在复平面内的点关于实轴对称,z11i,则
z1 ( )
z2A.i B.i C.1 D.1 3.已知在平面直角坐标系xOy中,角的终边在直线y2x位于第一象限的部分,则sin()( )
6A.
323332323 B. C. 666332 6D.4.命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是( ) A.有些相互垂直的两直线相交 B.有些不相互垂直的两直线不相交 C.任意相互垂直的两直线相交 D.任意相互垂直的两直线不相交
5.某几何体的三视图如图所示,其则该几何体的体积是( )
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A.2C.433 B.43 333 D.4 336.设不等式组示的平面区域为
表示的平面区域为,不等式组。在区域
表
内随机取一点,则该点是取自于区域
的概率是( )
7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是1,则正整数n的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),直线l:xy50,点B(x,y)第 2 页 共 15 页
是圆C:x22xy210上的动点,ADl,BEl,垂足分别为D,E,则线段DE的最大值是( ) A.2 B.
3252 C.22 D. 229.已知函数f(x)在定义域[3,3]上是偶函数,在[0,3]上单调递增,并且
f(m21)f(m22m2),则m的取值范围是( )
A.(12,2] B.[12,2] C.[,2] D.(,2]
10.已知函数yf(1x)的图象如下,则yf(x2)的图象是( )
1212
11.在平面直角坐标系xOy中有不共线三点P(a1,b1),A(a2,b2),B(a3,b3).实数,满足0,则以P为起点的向量PA,PB的终点连线一定过点( )
A.(a2a3a1,b2b3b1) B.(b2b3b1,a2a3a1) C.(a2a32a1,b2b32b1) D.(b2b32b1,a2a32a1)
12.已知公差不为零的等差数列an(n3)的最大项为正数.若将数列
an中的项重新排列得到公比为q的等比数列bn.则下列说法正确的
是( )
A.q0时,数列bn中的项都是正数 B.数列an中一定存在的为负数的项 C.数列an中至少有三项是正数
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D.以上说法都不对
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知x1,则logx9log27x的最小值是_______.
14.在某次测量中得到某样本数据如下:90,90,x,94,93.若该样本数据的平均值为92,则该样本数据的方差为______. 15.使得2x14xlog2x成立的x的范围是_______.
16.已知方程2x23x10的一非零实根是x1,ax23x10(a0)的一非零实根是x2.函数f(x)x3x2x3在(x1,x2)有且仅有一个极值点,则a的取值范围是______.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinxcosx23cos2x3,xR. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,a2且
f(A2)3,求ABC面积的最大值. 23133218.(本小题满分12分)
如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD平面A1ACC1,AB33,BAD60,点E是ABD的重心,且A1E4. (1)求证:平面A1DC1∥平面AB1C; (2)求棱柱ABCDA1B1C1D1的体积.
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19.(本小题满分12分)
有两位环保专家从A,B,C三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告,两位专家选取的城市可以相同,也可以不同. (1)求两位环保专家选取的城市各不相同的概率; (2)求两位环保专家中至少有一名专家选择A城市的概率. 20.(本小题满分12分)
x2y27如图,已知椭圆221(ab0),椭圆的长轴长为8,离心率为.
ab4(1)求椭圆方程;
(2)椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点,且
(ABAD)(DCBC)0,求四边形ABCD周长的最大值与最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)a(x2)4(x2)2a(x2)(a0),函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x1对称. (1)求函数g(x);
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14
(2)a2时,求证:函数g(x)在区间(a,1)不单调. a1请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,已知圆内接四边形ABCD中,ABBC,AD的延长线与BC的延长线交于点P.
BCDC; BPDP1(2)求证:BDCPDC90.
2(1)求证:
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是2cos2sin0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参
12xt数方程是22(t为参数).
y2t2(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; (2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求AB的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知实数m,n满足2mn3.
(1)若mn39,求实数m的取值范围;
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(2)求mnmn的最小值.
数学文科试题(七)
参
53131323
3.C 取点P(1,2),则rOP3,所以sincos13,所以3326,33sin(6)sincos6cossin66331323. 32326第 7 页 共 15 页
4.C
5.D 由三视图可知该几何体由长方体和圆锥构成,所以体积
V221334. 336.A 如图,区域1的面积是9,区域2的面积是18,所以所求概率为P=
91. 182
7.C
(lgm)2logm4m(lg2)2lgmlg4m(lg2)2(lgm)22lg2lgm(lg2)2(lgmlg2)2(lg2m)21所以lg2m1或lg2m1,所以mm5,所以n5.
1或m5,因为m是整数,所以208.D 圆C:x22xy210,即(x1)2y22.如图,过点B作直线AD的垂线,交AD于点F,则DEBF,所以此问题转化为求圆上的点B到直线AD的距离的最大值,即圆心到直线xy20的距离加半径.易知直线AD的方程是xy20,点C(1,0)到直线xy20的距离是
122323252,所以DE的最大值是+2=.
222第 8 页 共 15 页
9.D 因为函数f(x)在[3,0]上单调递减,由
f(m21)f(m22m2),即f(m21)f(m22m2),所以函数f(x)在[3,0]上单调递减,而m210,m22m2(m1)210,所以由
f(m21)f(m22m2)得,
3m21012,解得m2. 3m2m202m21m22m210.A 把函数yf(1x)f[(x1)]的图象沿着x轴向左平移1个单位得yf(x)的图象,再关于y轴对称得yf(x)的图象,再沿着x轴向左平移2个单位得yf(x2)的图象,再把yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称上去. 11.C 由0,所以111.设点Q在向量PA,PB的中点
连线上,则
PQ1(PA)1(PB)PAPB(a2a1,b2b1)(a3a1,b3b1)(a2a32a1,b2b32b1),所以一点过点(a2a32a1,b2b32b1).
12.B 不放设等差数列an中的每一项如下:a1a2a3an,其中an0.如果数列an中至少有三项式正数,比如0an2an1an,这时,an2,an1,an即是等差数列又是等比数列,即an2an1an,矛盾.
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说明数列an中至多有两项是正数. 13.
262lg3lgx2lg3lgx26 logx9log27x(当且仅当23lgx3lg3lgx3lg332lg3lgx,即x36取等号) lgx3lg3141 由(9090x9493)92,所以x93.所以该样本数据55114的方差为S2[(9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)2].
5514.
15.4x16 如图,可知4x16.
16.[,0)(0,1) f(x)x23x1在(x1,x2)有且仅有一解,
2222f(x1)f(x2)(x123x11)(x23x21)(x123x12x123x1)(x23x2ax23x2)(1a)x12x2094,所以1a0,所以a1,又94a0,所以a,所以a1. 17.解:(1)f(x)2sinxcosx23cos2x3sin2x3(1cos2x)3
13sin2x3cos2x2(sin2xcos2x)2sin(2x),
2239494所以f(x)的最小正周期T由2k2x22. 25kxk,kR. 1212322k,kR,所以5k,k](kR). 1212A2A252(2)f()2sin[2()]2sin(A)2sin(A)3,
2323333所以f(x)的单调增区间是[所以sin(A所以A
23225,因为0A,所以A, )32333242,所以A,又333第 10 页 共 15 页
4b2c22bccos432b2c2bc3bc, 3所以bc,当且仅当bc时等号成立,所以
133. SABCbcsinAbc24318.证明:(1)因为AA1平行等于CC1,所以四边形A1ACC1是平行四边形,所以A1C1∥AC.
又因为AD平行等于B1C1,所以四边形ADC1B1是平行四边形,所以
AB1∥DC1.
因为AC,AB1平面A1DC1,A1C1,DC1平面A1DC1,
所以AC∥平面A1DC1,AB1∥平面A1DC1,又因为ACAB1A,AC,AB1平面AB1C,
所以平面A1DC1∥平面AB1C.
(2)解:设ACBDO,由题意可知ABD是等边三角形. 因为AB33,所以OAABcosBAC33cos30, 所以AEOA3,所以AA12A1E2AE2,所以A1EAC, 又因为平面ABCD⊥平面A1ACC1,平面ABCD平面A1ACC1AC,
A1E平面A1ACC1,所以A1E平面ABCD.
2392所以A1E是棱柱ABCDA1B1C1D1的高,由于菱形面积
1273, S2(ABADsin60)22所以棱柱ABCDA1B1C1D1的体积VSA1E3.
19.解:(1)记两位专家分别为a,b,则两位环保专家从A,B,C三个城市中每人随机抽取一个城市的基本事件数共有9种:
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aA,bA;aB,bB;aC,bC;aA,bB;aA,bC;aB,bA;aB,bC;aC,bA;aC,bB.
记事件D表示“两位环保专家选取的城市各不向同伴”,则
P(D)62. 93(2)记事件E表示“恰有1位环保专家选择A城市”,事件F表示“恰有2位环保专家选择A城市”,则事件EF表示“两位环保专家中至少有一名专家选择A城市”.
P(EF)P(E)P(F)415. 99920.解:(1)由题意可知2a8,2222ca7,所以a4,c7. 4x2y2又因为cab,所以b9,所以椭圆方程是1.
169(2)由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x1,y1),D(x2,y2), 因为AB(x2x1,y2y1),DC(x2x1,y2y1),所以ABDC,所以四边形
ABCD是平行四边形.
因为(ABAD)(DCBC)(ABAD)(ABAD)ABAD0,所以
ABAD,
22所以四边形ABCD是菱形.
设直线AC的方程是xmy0,则直线BD的方程是mxy0,并且由椭圆的对称性不妨设m0,
xmy0144m2144222222,y2由xy,得(9m16)x144m,所以x2, 219m169m16169所以A(12m9m162,129m162),C(12m9m162,129m162),
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mxy02144144m22222由xy2,得(916m)x144,所以x2, ,y219m169m16169所以B(AB(2129m1612m9m2162,12m9m16129m2162),D(129m16129m2162,12m9m1612m9m2162),所以
11)9m216916m2)2()2144(m21)(, 所以
211(m21)2(m21)2AB144(m1)(2)60609m16916m2(9m216)(916m2)144(m21)249(m21)49t2160令tm1,则AB60,
4949144t249t492144tt249491126251,因为14449()01, 2ttt24t1162524所以,即m21t2,m1时,umin(t). ,ABmint24511,即m21t1,m0时,umin(t)144,ABmin5. t96所以四边形ABCD周长的最大值是20,最小值是.
5令u(t)21.解:(1)设点M(x0,y0)是函数f(x)图象上任意一点,点P(x,y)是函数g(x)图象上与M关于直线x1对称的点.因为x0x2,y0y,
1a(x02)4(x02)2a(x02). 411所以yax4x2ax,即g(x)ax4x2ax(a0).
44y0(2)g(x)ax32xa,
aa32a132)a()aa[(1)1], a1a1a1a1a111a令t,由a2,所以0t,则g()a[(1t)32t1],
a13a1g(第 13 页 共 15 页
令h(t)(1t)32t1t33t2t,0t,h(t)3t26t1, 由h(t)0,所以1所以h(t)在(1616, t,由h(t)0,所以0t133313616,)单调递增,在(0,1)单调递减. 333131a0,即h(t)0,g()ah(t)0, 27a1a又g(1)20,所以函数g(x)在区间(,1)不单调.
a1所以h(t)h(0)0,h(t)h()22.证明:(1)因为PDCPBA,APBCPD,所以ABP~CDP,所以
ABBP. CDDPBCDC. BPDP又ABBC,所以
(2)连接BD,AC,因为ABBC,所以BACBCA,又BACBDC,
BCABDA,
所以BDCBDA,所以ADC2BDC.
因为PDCADC180,所以BDCPDC90.
23.解:(1)因为2cos2sin0,所以22cos2sin0, 所以曲线C的直角坐标方程是x2y22x2y0,即(x1)2(y1)22.
12xt22由(t为参数),消去参数t,所以直线l的普通方程是
2yt22x2y10.
12(2)圆心(1,1)到直线2x2y10的距离d圆的半径r2,所以AB2r2d214. 22214432, 424.解:因为2mn3,所以2mn3.
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(1)mn3m2m3m9,所以m3,所以m3或m3. (2)
51125112mnmnm(2m3)m(2m3)m1m23, 33333333当且仅当1m2(或5n1)时等号成立, 所以mnmn的最小值是3.
53131323第 15 页 共 15 页
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