13-信号的功率谱密度解析

东南大学移动通信国家重点实验室

chenming@seu.edu.cn

随机过程和随机信号的概念

随机过程 随机信号 当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。

4.1 随机信号的功率谱密度

确定性信号的频谱

信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier变换可以反映其频谱特性。

s(t)=ˆ(f)=så¥ancos2pnt¥-?n=0òs(t)ej2pftdtFourier分解的物理意义

s(t)

分解 各种频率成份的振动

频谱与光谱进行对比

白光束红橙黄绿青蓝紫光谱三棱镜s(t)分解频谱

如何反应随机信号的频谱？

由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。

4.1.1 连续时间随机信号的功率谱密度

若X(t)是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[-T,T]上的平均功率为

PT

=12TòT-TE{X(t)2}dt

利用Fourier变换的Parseval等式，可以得到X(t)在(-ゥ,)上的平均功率为

P=limPTT=蝌-?¥殪镲1镲犏limE睚犏镲T2T犏镲镲腩TT2X(t)e-j2pftdtdf

从上式可以看出，下式所定义的关于频率

f的函数

禳镲1镲SX(f)=limE睚镲T2T镲镲铪ò-TT2X(t)e-j2pftdt

反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数SX(f)为连续时间随机过程X(t)的功率谱密度。

功率谱密度的性质

性质4.1 设X(t)是定义于¡上的连续时间随机过程，SX(f)是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，

也即P=ò-?¥SX(f)df。

② SX(f)≥0,也即SX(f)是一个非负实函数。 ③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数

图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数

对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理

定理4.1(Wiener-Khinchin定理) 若X(t)为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数

RX(t)满足ò¥-?tR(t)dtj2pft

SX(f)=ò-?RX(t)e-dt

证明 由功率谱密度的定义式知

SX(f)=limT=limT=limTT=lim

1轾T轾T-j2pft1-j2pft2E犏X(t)edtX(t)edt2犏112蝌-T-T2T臌臌T1EòX(t1)X*(t2)e-j2pf(t1-t2)dt1dt2-T2T1TT*-j2pf(t1-t2)E{X(t)X(t)}edt1dt212-T-T2T蝌1TT-j2pf(t1-t2)R(t-t)edt1dt2X12-T-T2T蝌{{}}如图4.2所示，对积分区域作变换

t=t1-t2,t2=s，则

1SX(f)=limT2T{蝌R0-2TX(t)e-j2pftdtT-Tds+R(t)e蝌02T-j2pftdtT-t-Tds}=-j2pftTlim12T{蝌0-2TRX(t)e(2T+t)dt+=戽镲镲睚ò2TRX(t)e-j2pft镲çTlim12T镲1铪-2Tçç桫-|t|鳇÷2T÷÷÷dt=ò¥-?RX(t)e-j2pftdt

2Tft0R(t)e-j2p(2T-t)dt}于是定理得证。

对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier变换，因此由Fourier逆变换公式有

RX(t)=ò-?¥SX(f)ej2pftdf

所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为

RX(0)=E{X(t)}=ò-?2¥SX(f)df

若X(t)为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即RX(t)=RX(-t)，则

SX(f)=ò-?¥RX(t)cos2pftdt

例4.1 试求Poisson随机电报过程的功率谱密度。

解 由习题2B-73可知，Poisson随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为

RX(t)=e-2a|t|，其中a是信号平均传输速率。

由Wiener-Khinchin定理知其功率谱密度为

SX(f)=蝌-?0e2at-j2pftedt+1¥0e-2at-j2pftedt4a=+=2a-j2pf2a+j2pf4a2+4p2f21例4.2 设X(t)是定义在¡上的实随机过程，其功率谱密度为SX(f)。则X(t)的解析过程

(Z(t)=X(t)+jX(t)的功率谱密度为

SZ(f)=4SX(f)U(f)

其中U(f)为Heavyside函数。

Z(t)的自相解 由习题3B-39和例3.29知，

关函数为

((t)RZ(t)=2轾R(t)+jR XX臌X对其作Fourier变换，由

((f)=S(f)H(f)=-jsgn(f)S(f)SXXXX知

SZ(f)=4SX(f)U(f)

所以，解析过程没有负功率谱密度。

例4.3 试求随机相位余弦信号

X(t)=acos(2pf0t+Q)

的功率谱密度SX(f)，其中Q是(-p,p)上的均匀分布。

解 由例2.72知，X(t)为平稳过程，且其自相关函数为

a2RX(t)=cos2pf0t

2则其功率谱密度为

a2¥-j2pftSX(f)=cos2pftedt0ò2-?a2ゥ-j2p(f-f0)ta2=edt+-?4蝌4a2a2=d(f-f0)+d(f+f0)44?e-j2p(f+f0)tdt

其中，用到了常数1的Fourier变换是d函数的

性质。由此可见，随机相位余弦信号X(t)的功率集中于频点±f0。

例4.4(白噪声过程) 如图4.3所示，若宽平稳随机过程W(t)的功率谱密度在任意频点上是常数，即SW(f)=N0/2，则称W(t)为白噪声过程,由Wiener-Khinchin定理知其自相关函数为

2若宽平稳随机过程X(t)的功率谱密度为

N0ìï,ïï2SX(f)=íïï0,ïîf≤wf>wRW(t)=N0d(t)

其中w为某个正常数，则称X(t)为带限白噪声过程。该过程的平均功率为

E{X(t)}=2ò-wwN02df=N0w

自相关函数为

N0sin(2pwt)N0wj2pftRX(t)=edf= ò2-w2pt由上式可见，当t=?k/(2w),k1,2,L时，X(t)

和X(t+t)互相正交。

图4.3 白噪声和带限白噪声的功率谱密度

互功率谱

若X(t)和Y(t)是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似，可以定义X(t)和Y(t)的互功率谱密度为

1轾TSXY(f)=limE犏X(t)e-蝌T2T臌-T{j2pft轾Tdt犏Y(t)e-臌-Tj2pftdt*}和Wiener-Khinchin定理的证明类似，若X(t)和Y(t)为两个联合宽平稳的随机过程，且

ò-?¥tRXY(t)dt式中，

S¥XY(f)=ò-?RXY(t)e-j2pftdt

RXY(f)=ò¥-?SXY(t)ej2pftdf

RXY(f)为X(t)和Y(t)的互相关函数。

此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。

性质4.2

*S(f)=S① XYYX(f);

② SXY(f)2≤SX(f)SY(f)。

证明作为练习。

例4.5 设X(t)和Y(t)是两个联合宽平稳过程，试给出Z(t)=X(t)+Y(t)的功率谱密度。 解

Z(t)的自相关函数为

RZ(t)=E{Z(t+t)Z*(t)}

因此，Z(t)的功率谱密度为

轾=E轾X(t+t)+Y(t+t)X(t)+Y(t)臌臌=RX(t)+RYX(t)+RXY(t)+RY(t){*}

SZ(f)=ò-?¥(RX(t)+RYX(t)+RXY(t)+RY(t))e-j2pftdt=SX(f)+SYX(f)+SXY(f)+SY(f)=SX(f)+SY(f)+2Re[SXY(f)]在信号分析中，常常要讨论两个联合宽平稳随机过程的和，从上述表达式可以看出，互相关函数及互功率谱密度的概念的引进是必需的。

例4.6 设联合平稳的两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度为

靝１+j2f,-1/2pRXY(t)=ò-1/2p1/2p(1+j2pf)ej2pftdf

(sint+cost)t-sint=pt2

4.1.2 离散时间随机信号的功率谱密度

信号的频率刻画了信号变化的快慢，因而对于离散时间随机过程，只有指定了离散时间的绝对时间间隔T0，功率谱密度才有意义。这时，离散时间随机信号可看成连续时间随机信号每隔T0时间间隔的采样。为了讨论的方便，将绝对时间间隔T0标准化为1。

和连续时间随机过程类似，X[n]的功率谱密度定义为

N镲1禳镲SX(f)=limE睚åX[n]e-jn2pf N2N镲n=-N镲镲铪而X[n]和Y[n]的互功率谱密度定义为

2

SXY

N镲1禳-(f)=limE镲睚邋X[n]eN2N镲镲铪n=-Njn2pfN禳镲镲Y[n]e-睚镲镲铪n=-N*jn2pf

由定义知，功率谱密度和互功率谱密度是周期为1的函数。

和连续时间随机过程的证明完全类似可得Wiener-Khinchin定理。

定理4.2 若X[n]宽平稳，其自相关函数为

RX[m]，且

m=-?å¥mRX[m]jm2pf

SX(f)=m=-?å¥RX[m]e-

RX(m)=¥jm2pS(f)edf Xò-1/21/2若X[n]和Y[n]联合宽平稳，互相关函数为

RXY[m]，且

m=-?åmRXY[m]互功率谱密度为

SXY(f)=m=-?å¥RXY[m]e-jm2pf

RXY(m)=ò-1/21/2SXY(f)ejm2pdf例4.7(离散时间白噪声过程) 设为离散时间随机过程，且是独立同分布的随机变量序列，

2d其均值为零，方差为X，试求SX(f)。

解 离散时间随机过程X[n]的自相关函数

为

2ìdïX,ïRX[k]=íï0,ïîk=0k¹0

因此，功率谱密度为

2SX(f)=dx

上述过程称为离散时间白噪声过程。

例4.8 设Y[n]=X[n]+aX[n-1]，其中X[n]为例4.7中的离散时间白噪声过程，试求SY(f)。

解 容易证明Y[n]的自相关函数为

22ìï1+ad,()Xïïï2E{Y[n]Y[n+k]}=ïíadX,ïïï0,ïïîk=0k=?1其他

因此，功率谱密度为

22SY(f)=(1+a2)sX+asX(ej2pf+e-2=sX

j2pf)[(1+a2)+2acos2pf]

例4.9 设Z[n]=X[n]+Y[n]，其中X[n]是要观测的宽平稳实随机信号，且对任意n，

X[n]=A，A是一个均值为零且方差为sA的

2Y[n]是零均值的、随机变量；且平均功率为sY的

离散时间白噪声。此外，X[n]和Y[n]相互独立。试求Z[n]的功率谱密度。 解 显然，Z[n]的均值 E{Z[n]}=E{A}+E{Y[n]}=0， 自相关函数为

2E{Z[n+k]Z[n]}=E{(X[n+k]+Y[n+k])(X[n]+Y[n])}=E{A2}+RY[k]

所以Z[n]为宽平稳过程，因此其功率谱密度为

2SZ(f)=sAd(f)+SY(f)

4.2 随机信号的带宽

随机信号所占据的频带宽度被称为随机信

号的带宽。随机信号的带宽反映了随机信号的大量样本函数在统计意义上所占有的频带宽度。在实际的信号传输系统中，被传输的信号客观上总是占据一定的带宽，由于频带资源的有限性，系统设计者对所有传输信号的带宽必须有一个清楚的了解。

由于随机信号功率谱密度函数的多样性，

所以关于随机信号带宽的定义就有很多种，这里给出几个常用的带宽定义。虽然这些定义有所差别，但是其基本思想是给出一个带宽，在该带宽上分布随机信号的主要功率。

设宽平稳随机信号X(t)的功率谱密度为

SX(f)，自相关函数为RX(t)，则有如下几种带

宽形式：

① 若SX(f)在f≥0时的支集为(f1,f2)，也即在区间(f1,f2)外SX(f)为零，则称f1-f2为随机信号X(t)的绝对带宽。

② 设SX(f)在f≥0时在f0取得最大值，则称

Beq=ò0¥SX(f)dfSX(f0)

为随机信号X(t)的等效噪声带宽，如图4.4所示。

*t=inf{t>0RX(t)=0}，则称③ 若

t*为随机信号

X(t)的去相关时间，称

Beff=1/t*为随机信号X(t)的有效带宽。

④ 设SX(f)在f0取得最大值，若f0Î(f1,f2)且

SX(f1)=SX(f2)=SX(f0)/2

则称f2-f1为随机信号X(t)的 3dB带宽，如图4.5所示。

⑤ 设

pX(f)=SX(f)

ò-?¥SX(l)dl

为功率谱密度的归一化函数，称

s2f=ò-?¥fpX(f)df=2ò-?ò-?¥¥f2SX(f)df SX(l)dl

为X(t)的均方频率，称Brms=s2f为随机信号

X(t)的均方根(rms)带宽。

⑥ 若 则称f2-

òfò0f2SX(f)dfSX(f)df1¥≥99%

f1为随机信号X(t)的功率带宽。

⑦ 设SX(f)在f0取得最大值，f1是SX(f)在

f在f在实际应用中，常用功率谱密度的带宽给随机信号分类，如下面的带限随机信号、带通随机信号等；此外，有些噪声也用功率谱密度给予分类，如白噪声、有色噪声等。

例4.10 试确定下列数据信号的带宽

¥{}b式中，ii=-X(t)=?i=-?å¥biPc(t-ic)

是一个独立同分布的随机变量

序列，bi等概率地取+1或-1；是宽度为c的

矩形脉冲函数。图4.6给出了该数据信号的一个样本函数。

由随机信号功率谱密度的定义知，X(t)的功率谱密度为

T镲1禳镲SX(f)=limE睚òT-T2T镲镲铪i=-?å¥2biPc(t-ic)ej2pftdt

展开上式，考虑到

1,ìïE{bkbl}=dkl=ïíï0,ïîk=lk¹l

得到

1SX(f)=limx2Tk=-?å¥轾T-()Pt-kce犏c1ò-T臌kc)e-j2pft2j2pft1dt1轾T?犏Pc(t2ò臌-Tdt2

令T=ic，在i≥1时有

k=-?iå¥轾T-P(t-kc)e犏c1蝌-T臌j2pft1j2pft1dt1轾T-犏-TPc(t2-kc)e臌j2pft2j2pft2dt2轾ic-=å犏P(t-kc)ec1蝌-ick=-i臌=ic-cc1c1轾icdt1犏Pc(t2-kc)e-臌-icdt1dt2j2pt2{蝌[P(t)+P(-t)]e-j2pt1}{c-c[Pc(t2)+Pc(-t2)]e-dt2}2閜sin(2fc)?=i犏2c犏臌2pfc所以

图4.7画出了数据信号的功率谱密度，可以看出信号的功率主要分布在一个窄的频带(-1/(2c),1/(2c))内，零到零点带宽为1/c。

2閜sin(2fc)?SX(f)=2c犏 犏臌2pfc

4.3 带限和带通随机信号

4.3.1 带限随机信号 随机信号X(t)的功率谱密度SX(f)在f=0点不为零，且其支集包含于零点的一个邻域(-w,w)内，则称随机信号X(t)为带限随机信号或基带随机信号，如图4.8所示。

图4.8 带限随机信号的功率谱密度

定理4.3 (Nyquist抽样定理) 若X(t)是带限为(-B,B)的带限过程，则有

X(t)=msn=-?å¥骣nXçç桫fssinpfs(t-n/fs)÷÷÷pfs(t-n/fs)

式中，Ts=1/fs≤1/(2B)称为Nyquist抽样

间隔。

证明 Nyquist抽样定理可看作是带限随机过程X(t)在下列正交函数系下的正交分解，即

sinpfs(t-n/fs)yn(t)=,pfs(t-n/fs)n?¢

确当选取参数fs，可以使展开系数刚好是带限过程X(t)的采样。

先验证函数系的正交性。设Yn(f)为yn(t)的Fourier变换， 查表知，有

骣1f÷-j2p(nf/fs)ç轾÷Yn(f)=F臌yn(t)=Pçe÷ç çff÷桫ss

式中，P(f/fs)为单位方波：

由Parseval等式知 所以

ìïï1,ï骣fï÷÷Pç=íç÷ççfs÷ï桫ï0,ïïïîf≤fs2fs f>2

蝌-?蝌-?ゥゥ*yn(t)ym(t)dt=?*Yn(f)Ym(f)df

*yn(t)ym(t)dt==1(fs)2?殒fPç犏çf犏臌桫s2鳄j2p(n-÷e÷÷m)f/fsdf1(fs)2ò-f/2esfs/2j2p(n-m)f/fs1df=dfsnm

因此，由随机过程正交分解系数的确定和Parseval等式知

*Vn=fs蝌X(t)yn(t)dt=fs-?ゥ?ˆ(t)Y*(t)dtXn

ˆ(t)是X(t)的Fourier变换。代入得 式中，X

Vn=ò-fs/2ˆ(f)ej2pf(n/fs)dfX fs/2

ˆ(f)在因为X(t)的带限是(-B,B)，所以X(-B,B)外的均方为零。若fs/2≥B，则上述均

方积分的上、下限可以拓展为(-ゥ,)，而积分值为X(t)在t=n/fs的取样，也即Vn=(X/ns=)f(XsnT，即有式成立。证毕。 由证明可见，采样定理实际上是将带限随机信号在一组正交函数下分解。

性质4.3 若X(t)是带限为(-B,B)的实带限过程，则有

E轾X(t+t)-X(t)臌{2R}=2轾臌X(0)-RX(t)≤4p2B2RX(0)t2

上式表明带限过程是均方连续的，且均方变化有一致的界。上式也表明，若带限过程均方可导，则其均方导数有一致的界。

证明 实平稳过程的自相关函数RX(t)是实的偶函数，且

RX(t)=因此

ò¥-?SX(f)cos2pftdf

RX(0)-RX(t)=ò-BSX(f)(1-cos2pft)dfB=òSX(f)2sin2pftdf-BB≤òSX(f)2p2f2t2df-BB 222≤2pBtòSX(f)df-B=2p2B2t2RX(0)B从而知性质的结论成立。

4.3.2 带通随机信号

若随机过程X(t)的功率谱密度SX(f)的支集包含于频带

{f??f0B≤f≤f0+B},f0B>0

则称X(t)为带通随机信号或窄带随机信号(见图4.9)。其中频率f0称为载波频率。

图4.9 带通随机信号的功率谱密度

性质4.4 任何一个带通随机信号可以表示如下，即

X(t)=Re{g(t)ejw0t}

式中，Re表示一个复数的实部，g(t)叫作X(t)的复包络，w0=2pf0。此外，带通过程还有如下两个等价表示，也即 X(t)=R(t)cos轾臌w0t+F(t)

X(t)=a(t)cosw0t-b(t)sinw0t

(0.1)

(0.2) (0.3)

其中 g(t)=a(t)+jb(t)=R(t)ejF(t)

a(t)=Re{g(t)}=R(t)cosF(t)

b(t)=Im{g(t)}=R(t)sinF(t)

R(t)=g(t)=a2+b2

F(t)=arctan轾犏b(t)犏臌a(t)

式中，g(t)、a(t)、b(t)、R(t)和F(t)都是带限为

(-B,B)的基带随机信号。

(0.4) (0.5) (0.6) (0.7) (0.8)

证明 对随机信号X(t)在区间(-T0/2,T0/2)上进行Fourier级数正交展开T0，可以得到

X(t)=n=-?å¥Cnejnwt,w=2p/T0

式中，Cn是随机变量序列。因为X(t)是实随机过程，因此C-n*=Cn，所以

¥禳镲X(t)=Re镲C0+2åCnejnwt睚镲镲n=1镲铪

Cn的二阶矩在n=0附近因为X(t)是带通信号，

为零，特别C0=0的概率为1。此外，对任意

f0，有

¥戽镲çj(nw-w0)t镲çX(t)=Re睚2Ceåçn镲çç桫n=1镲镲铪因此有式(0.1)，且

鳇÷jw0t÷e÷÷ ÷g(t)=2åCnen=1¥j(nw-w0)t

因为X(t)是带通随机信号，其功率谱密度分布在频率f=f0附近，对满足nw/(2p)?(f0B,f0+B)的那些n，Fourier展开系数Cn以概率1不为零，而对其他n，Cn以概率1为零。所以g(t)的功率谱密度包含在(-B,B)内。将g(t)用复函数g(t)=a(t)+jb(t)的形式表示，则得式(0.3)。

式(0.3)又被称为带通过程的双调幅式表示。 关于双调幅式过程有以下定理。

定理4.4 设a(t)和b(t)为两个联合宽平稳随机过程，式(0.3)表示的双调幅式过程为宽平稳过程的充分必要条件如下：

①E{a(t)}=E{b(t)}=0。

②Ra(t)=Rb(t)。 ③Rab(t)=-Rba(t)。

此外，当式(0.3)表示的双调幅式过程宽平稳时，其均值函数和自相关函数分别为

E{X(t)}=0

(0.9)

证明 由

2

RX(t)=Ra(t)cosw0t+Rab(t)sinw0t(0.10)

E{X(t)}=E{a(t)}cosw0t-E{b(t)}sinw0t

}常数，当且仅当知道，要使E{X(t)为

E{a(t)}=E{b(t)}=0，此时E{X(t)}=0。此外，

计算可得

2RX(t+t,t)=[Ra(t+t,t)+Rb(t+t,t)]cosw0t+[Rab(t+t,t)-Rab(t+t,t)]sinw0t+[Ra(t+t,t)-Rb(t+t,t)]cosw0(2t+t)-[Rab(t+t,t)+Rab(t,t+t)]sinw0(2t+t)

显然，要使RX(t+t,t)只和时移t有关，当且仅当a(t)和b(t)联合宽平稳，且

Ra(t)=Rb(t),此时，

Rab(t)=-Rba(t)

(0.11)

RX(t)=Ra(t)cosw0t+Rab(t)sinw0t

性质4.5 设某宽平稳随机过程X(t)具有式(0.3)的双调幅式表示，且a(t)和b(t)是带宽为(-B,B)的带限宽平稳过程，且其联合带宽亦为

(-B,B)，也即Sab(f)的支集包含于(-B,B)。若f0=w0/(2p)?B则X(t)为带通过程。

证明 对式(0.11)作Fourier变换有

SX(f)==1¥j2pf0t+R(t)e-abò2j-?1=轾Sa(f-f0)+Sa(f+f0)臌21轾+Sab(f-f0)-Sab(f+f0)臌2jò-?¥2ò-?¥-轾R(t)coswt+R(t)sinwte0ab0臌aj2pftdtRa(t)ej2pf0t+e-(j2pf0t()e-j2pftdte-j2pft)e-j2pftdt0

因为Sa(f)、Sb(f)和Sab(f)的支集都包含于

(-B,B)，

因此SX(f)的支集包含于

{f?¡f0B≤f≤f0+B},所以X(t)为带通过程。

为了得到双调幅式随机信号的解析过程表达式，需要证明下列引理。

引理4.1 设实随机过程A(t)功率谱密度的支集包含于区间(-B,B)，B为正常数，若w0>2pB，则

H{A(t)cosw0t}=A(t)sinw0t,H{A(t)sinw0t}=-A(t)cosw0t其中H表示Hilbert变换。

证明 由Hilbert变换的定义知

1H{A(t)cosw0t}=*[A(t)cosw0t]pt考虑到1/(pt)的Fourier变换为-jsgn(f) (参见错误！未找到引用源。)，对上式两端作

Fourier变换得

1轾ˆ(f-f0)(f+f0)-jAF[H{A(t)cosw0t}]=犏jA2臌ˆAf=w/(2p)0式中，0，(f)是A(t)的Fourier

变换。对上式两端继续作Fourier逆变换得

H{A(t)cosw0t}=A(t)sinw0t

同理可证H{A(t)sinw0t}=-A(t)cosw0t。

由

引理4.1可得到双调幅带通过程式(0.3)的

解析过程的表达式。

性质4.6 双调幅带通过程式(0.3)的解析过程具有如下表达

Z(t)=轾臌a(t)+jb(t)ejw0t 证明 由

引理4.1知X(t)之Hilbert 变换为

X((t)=a(t)sinw0t+b(t)cosw0t(0.12)

因此，其解析过程为

(Z(t)=X(t)+jX(t)=轾a(t)cosw0t-b(t)sinw0t臌+j轾a(t)sinw0t+b(t)cosw0t臌=轾a(t)+jb(t)e臌jw0t

例4.11 设有实宽平稳过程X(t)，设w0为任意给定正常数，则称

X(t)=i(t)cosw0t-q(t)sinw0t

(i(t)=X(t)cosw0t+X(t)sinw0t

(0.13) (0.14)

为实宽平稳过程X(t)的Rice表示，其中

(q(t)=X(t)cosw0t-X(t)sinw0t (0.15)

分别称为X(t)的同相分量和正交分量。值得注

意的是，当选定不同的w0，则有不同的Rice表示。在实际应用中，可以针对不同的准则，选定最佳的w0。试证明X(t)的Rice表示的复

)i+(t)jq平t均变化率包络W(t=的

¢E{|W[

t2(最小的充要条件是)]|}

w0f0==2pò0fSX(f)df¥ S(f)dfXò0¥(0.16)

(t)为W(t)的均方导数。 这里W¢证明 令Z(t)为X(t)的解析过程，也即

(Z(t)=X(t)+jX(t)

则有

Z(t)=W(t)ejw0t,因此

W(t)=Z(t)e-jw0tjw0t

RW(t)=E{Z(t+t)Z*(t)}e-=RZ(t)e-jw0t对上式作Fourier变换有SW(f)=SZ(f+f0)。又因为导算子的传递函数为j2pf，所以

SW¢(f)=SW(f)j2pf所以

M=E{W¢(t)==22=(2pf)2SZ(f+f0)}=RWⅱ(0)=ò-?¥SW(f)dfò-?ò-?¥¥(2pf)2SZ(f+f0)df4p2(f-f0)2SZ(f)df

因此，要使M最小，当且仅当dM/df0=0，也即

ò¥fSZ(f)dff0=-?ò¥-?SZ(f)df

又由解析过程的性质知SZ(f)=4SX(f)U(f)，从而有式(0.16)成立。

一般来说，带通过程是由对带限过程进行调制得到的。 设有双调幅式过程

X(t)=R(t)cos[2pf0t+lF(t)+Q] (0.17) R(t)、F(t)为随机过程；Q为(0,2p)上的均匀分

布；l、f0为常数。当随机过程R(t)为带限随机信号，F(t)为常数，则称X(t)为调幅过程；当R(t)为非零常数，F(t)为随机信号时，称X(t)为

(t)为随机信调相过程；当R(t)为非零常数，F¢号时，称X(t)为调频过程，l称为调频指数。

其中f0称为载频，cos2pf0t称为载波。

例4.12(振幅调制(AM)) 若A(t)是带宽为(-B,B)的带限随机信号，考虑下列调幅 过程

X(t)=A(t)cos[2pf0t+Q] (0.18) 式中，Q为(0,2p)上的均匀分布，且A(t)和Q统

计独立。容易计算X(t)的自相关函数为

1RX(t)=RA(t)cos2pf0t

2因此，其功率谱密度为

禳1镲镲SX(f)=F睚RA(t)cos2pf0t镲2镲铪11 (0.19) =SA(f+f0)+SA(f-f0) 44因此，上述调制过程是一个双边带的带通过程。它将原来随机信号A(t)的频率范围(-B,B)进行了双边线性平移，平移后的频率范围为(-B+f0,B+f0)和(-B-f0, B-f0)，且平移后保持信号的功率谱密度的构形。

在接收端，先用载波乘上X(t)，也即

Y(t)=X(t)2cos[2pf0t+Q] 同样地，有

SY(f)=12S1X(f+f0)+2SX(f-f0)=1轾8臌SA(f+2f0)+SA(f)+1轾8臌SA(f)+SA(f-2f0)因此，让Y(t)通过一个理想低通滤波器，只允

(0.20)

许通过频率位于(-B,B)内的随机信号，这样得到的信号记为Z(t)，显然SZ(f)=SA(f)/4，因此有Z(t)=A(t)/4。