华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，则n的值为（ ）

A．12 B．8 C．6 D．4

2． 四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB2，若该四棱锥的所有顶点都在

243同一球面上，则PA（ ） 1679A．3 B． C．23 D．

22体积为

【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

x3． 已知全集UR，集合A{x||x|1,xR}，集合B{x|21,xR}，则集合AICUB为（ ） A.[1,1] B.[0,1] C.(0,1] D.[1,0) 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 4． 若fx是定义在,上的偶函数，x1,x20,x1x2，有（ ）

A．f2f1f3 B．f1f2f3 C．f3f1f2 D．f3f2f1

5． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

B．2

C．3

D．4

fx2fx10，则

x2x16． 如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

111111 B． C． D．

2242

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．

xy07． 已知不等式组xy1表示的平面区域为D，若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则a的取值

x2y1范围为（ ）

A．(,2) B．(,1) C．(2,) D．(1,) 8． 有下列四个命题：

②“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ） A．①②

B．①③

C．②③

①“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题； ③“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；

D．③④

9． 设Sn是等差数列{an}的前项和，若A．1 B．2 C．3 D．4

a55S，则9（ ） a39S510．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）

A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除

11．设集合M={x|x＞1}，P={x|x2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A．M=P B．P⊊M C．M⊊P D．M∪P=R

12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S17＜0，S18＞0，那么Sn中最小的是（ ） A．S10 B．S9

C．S8

D．S7

二、填空题

13．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t= ． 14．数列{an}是等差数列，a4=7，S7= ．

15．已知函数f（x）=x2+

x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．

16．已知含有三个实数的集合既可表示成{a,b,1}，又可表示成{a2,ab,0}，则 aa2003b2004 .

2217．已知关于的不等式xaxb0的解集为(1,2)，则关于的不等式bxax10的解集

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为___________.

18．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则

b的值为 ▲ ． a三、解答题

19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：

为参数），曲线C2：

=1．

（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．

20．已知集合A={x|

＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．

（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁RB）；

（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．

21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的（1）求证：CD＝DA；

（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．

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切线与AC交于D.

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22．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}． （1）若p=，求A∩B；

（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．

23．（本小题满分16分）

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求hx的表达式；

（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

24．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；

，EF=2，BE=3，CF=4．

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（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

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华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：展开式通项公式为Tr+1=

•（﹣1）r•x3n﹣4r，

则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，

∴，

∴n=8，r=6． 故选：B．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

2． 【答案】B

【解析】连结AC,BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OEPPA，所以OE底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为可得

111PCPA2AC2PA28，所以由球的体积222412437，解得PA，故选B． (PA28)332162

3． 【答案】C.

，，B(,0]，∴AICUB(0,1]，故选C. 【解析】由题意得，A[11]4． 【答案】D 5． 【答案】A

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

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∴两直线的距离为=， +

=3

，

∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

6． 【答案】C

【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

21，扇形

OAC的面积为，所求概率为P27． 【答案】A

111． 212【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D如图所示，先求zaxy的最小值，当a时，a11111（1,0），zaxy在点A取得最小值a；当a时，a，zaxy在点B取（,）22233111a得最小值a．若D内存在一点P(x0,y0),使ax0y01，则有zaxy的最小值小于1，∴2或

33a11a2，∴a2，选A． 11a133y11B(,)33A(1,0)Ox8． 【答案】B

【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；

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③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． 综上可得：真命题为：①③． 故选：B．

【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

9． 【答案】A 【解析】1111]

9(a1a9)S9a2试题分析：951．故选A．111] S55(a1a5)5a32考点：等差数列的前项和．

10．【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”． 故选：B．

11．【答案】B

【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}； ∴P⊊M． 故选B．

12．【答案】C

【解析】解：∵S16＜0，S17＞0， ∴

=8（a8+a9）＜0，

=17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0， ∴公差d＞0． ∴Sn中最小的是S8． 故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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二、填空题

13．【答案】 0或1 ．

【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解 或t2﹣t+1=0②，②无解

或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得 t=0或t=1． 故答案为0或1．

【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．

14．【答案】49 【解析】解：==7a4 =49． 故答案：49．

【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．

15．【答案】 9+4 ．

【解析】解：∵函数f（x）=x2+

x﹣b+只有一个零点，

∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1， ∵a，b为正实数，

∴+=（+）（a+4b）=9+≥9+2当且仅当

==9+4

b时取等号，

+

，即a=

∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4

【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．

16．【答案】-1

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【解析】

试题分析：由于a,考点：集合相等。

17．【答案】(,)(1,) 【

解

析

】

2003b,1a2,ab,0，所以只能b0，a1，所以a2003b200411。 a12考

点：一元二次不等式的解法.

118．【答案】

2考

点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

三、解答题

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19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）曲线由（Ⅱ）射线射线所以

为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，

可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．

与曲线C1的交点A的极径为与曲线C2的交点B的极径满足

．

， ，解得

，

20．【答案】

【解析】解：（1）当m=3时，由x2﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3， 由

＞1⇒﹣1＜x＜5，

∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}； （2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}， ∵A=（﹣1，5），

∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根， ∴m=8，

此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）． ∴m=8．

21．【答案】

【解析】解：（1）证明：

如图，连接AE， ∵AB是⊙O的直径， AC，DE均为⊙O的切线， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， ∠DAE＝∠DEA＝∠B，

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∴DA＝DE.

∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC， ∴DC＝DE， ∴CD＝DA.

（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径， ∴∠CAB＝90°，

由勾股定理得CA2＝CB2－AB2， 又CA2＝CE×CB，CE＝1，AB＝2， ∴1·CB＝CB2－2，

即CB2－CB－2＝0，解得CB＝2， ∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝2. 12

由（1）知DE＝CA＝，

222

所以DE的长为.

2

22．【答案】

【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x≤}， ∴A∩B={x|2＜x≤}； （2）当A∩B=B时，B⊆A；

令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意； 当p≤4时，应满足解得p不存在；

综上，实数p的取值范围p＞4．

23．【答案】（1） hx，

101324x7 （3x7）（2） x4.3 x33第 12 页，共 15 页

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试

题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比， 所以可设：fx则hxfxgxk12 ，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分 x3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 k14k221k1102所以，h521,h3.569，即，解得：， ……………6分

k44922kk691241024x7 （3x7） ………………………………………8分 所以，hxx31024x7， （2） 由（1）可知，套题每日的销售量hxx3第 13 页，共 15 页

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答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 24．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE 解：（Ⅱ）

方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH． 由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC， AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF． 所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角． 在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3， ∴

，

，BE=3，∴EC=

，

∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，

由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得

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所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．

设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（从而

设平面AEF的法向量为则

，即

，由

， ，

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

，0，a），B（

，

得，

，取x=1，

，0，0），E（

，3，0），F（0，4，0）．

不妨设平面EFCB的法向量为由条件，得解得

．所以当

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．

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