高等几何试题及答案

 系 专业 班 学号 姓名 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 得分 一 二 三 四 五 六 合计 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 填空题（每小题4分，共20分） 1、设P1(1)，P2(-1)，P3()为共线三点，则(P1P2P3) 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为24x1x3x20，则其线坐标方程为是 。 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 2. D.平行四边形 2u122u1u28u20表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点 B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) 类 类 类 类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（ ） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ ） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标射影变换一定是对合。（ ） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（ ） (1,1,1)表示两个相异的点。（ ） 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 四、作图题（8分） 已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据） 五、证明题（10分） 如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 六、计算题（42分） 1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP) 2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求 （1）l的齐次坐标方程； （2）l上无穷远点的坐标； （3）l上无穷远点的方程。 3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？ 4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5. (6分)求由两个射影线束x1x30，x2x30，30所构成的二阶曲线的方程。 6. (8分) 试求二次曲线Γ：22x14x1x23x2+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。 填空题（每小题4分，共20分） 1（4分） 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分） 2（4分） 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分） 2u1u3u20（4分） 选择题（每小题2分，共10分） 1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 判断题（每小题2分，共10分） 1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √) 作图题（8分） ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 第 1 页 共 4 页 作法过程： 1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分） 2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分） 3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分） 根据：完全四点形的调和共轭性（2分） 证明题（10分） 证明： 在三点形BTS与三点形DQP中（4分） 对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分） 由德萨格定理的逆定理知，（2分） 对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。（2分） 六、计算题（42分） （6分） 解：设P点的坐标为（x0，yo） Q(ABP)APAPBPPB（分割比）， （2分） 且P在直线x+3y-6=0上， 解得λ=1， （2分） 即P是AB中点，且（ABP）=－1 （2分） （6分） （1）x1-2x2+x3=0 （2分） （2）（1，1/2，0） （2分） （3）u1u21/20 （2分） (8分) 解：笛氏坐标 0 2 3 x 射影坐标： P* P0 E λ (32)(x0)x（i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）=(x2)(30)3x6 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 故：10x，且60363x6 （4分） xx3x6，即3x2－7x=0， (ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有7∴当x=0及x=3时两种坐标相等。 （4分） （8分） 设射影变换的方程为：abcd由题意知：a+bcd0 （2分） 0, 6a2b3cd0 ,6a+3b+2c+d=0 得到：a:b:c:d3:5:5:7 故射影变换方程为：3'55'70 （4分） 231070 得=7/3或=1 （2分） 二重元素满足：（6分） 解：由题意：3 x23x30 （2分） 由上式得：x2x13x3x3 （2分） 故所求方程即为3x1x3x2x30（2分） 6.(8分) 解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0， 1QDaij3213453602150∴二次曲线为常态的， (,),且设中心A31A,32A33A33 1426,)25 （4分） 则中心为25(求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 从X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0. 1426X+4Y=(x－25)+4 (y+25)=0→5x+20y+18=0， （2分） 1426X－Y=(x－25)－(y+25)=0→5x－5y－8=0。 （2分） ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉