高二暑期文.第1讲 直线与圆的方程 删解析

直线与圆 的方程

总分值晋级

解析几何3级 双曲线与抛物线

初步

解析几何２级 椭圆初步

解析几何１级 直线与圆的方程

<老师备案>本讲是在高一春季学过两讲〔直线方程六大考点和圆的初步〕后的直线与圆的同步讲义，

涉及到的新知识点不多，主要是强化直线与圆的灵敏与综合应用，进一步体会数形结合的思想．每个板块学习前有春季知识回忆，简单的复习一下直线与圆的根底知识点．

1.1直线的三种形式及其灵敏应用

春季知识回忆

π的直线方程为_________________． 3 ⑵过点1，2、2，3的直线方程为_____________． 1．⑴过点2，3且倾斜角为

m和Bm，4的直线与直线2xy10平行，那么m的值为〔 〕 2．过点A2，A．0 B．8 C．2 D．10

【解析】 B．

3．△ABC三边所在直线的方程为：AB:3x2y60，AC:2x3y220，BC:3x4ym0． ⑴ 判断三角形的形状；

⑵ 当BC边上的高为1时，求m的值． 【解析】 ⑴ 直角三角形；

⑵ m25或35；

4．平面内与直线2xy10的间隔 为2xy0或2xy20 【解析】

5的直线方程为 ． 5知识点睛

第 1 页

1．直线的方程：

①点斜式方程：yy0k(xx0)

yy1xx1②两点式方程： y2y1x2x1③一般式：AxByC0〔A、B不全为零〕 2．点到直线的间隔 公式

点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的间隔 d的计算公式：d两条平行直线AxByC10和AxByC20之间的间隔 为Ax0By0CAB2222；

C1C2AB3．两条直线的位置关系l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 ⑴两条直线相交、平行与重合的条件： ①相交的条件：A1B2A2B10

．

②平行的条件：A1B2A2B10且B1C2C1B20 ③重合的条件：A1A2，B1B2，C1C2(0) ⑵两条直线垂直的条件：A1A2B1B20

<老师备案>斜率存在的情况下：两条直线为l1：yk1xb1；l2：yk2xb2

相交的条件：k1k2；平行的条件：k1k2且b1b2；重合的条件：k1k2，b1b2． 两条直线垂直的条件：k1k21．

经典精讲

考点1：直线方程及其灵敏应用 【例1】 ⑴

⑵⑶

直线l过点C3，4，且点A1，1、B5，7到l的间隔 相等，求直线l的方程． 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2xy60上，顶点A的坐标 是1，1，求边AB，AC所在的直线方程．

1作直线l，使它被两直线l1:2xy80和l2:x3y100所截得的线段 过点P0，被点P平分，求直线l的方程．

【解析】 ⑴ x3或y2x2．

⑵ 直线AC的方程为x2y30，

直线AB的方程为3xy40或x3y20．

【例2】

过点P1，2的直线分别交x、y轴的负半轴于A，B两点，当PAPB最小时，求直线l的方程．

尖子班学案1

Q，过P，Q作直线2xy01且斜率为m(m0)的直线l与x，【拓2】 过点A1，y轴分别交于P，S，求四边形PRSQ的面积的最小值． 的垂线，垂足分别为R，【解析】 当m1时，四边形PRSQ的面积有最小值为3.6． 目的班学案1

【拓3】 将一块直角三角板ABO〔45角〕置于直角坐标系中，

11ABOB1，ABOB，点P，是三角板内一点，现因

24三角板中局部受损坏〔△POB〕，要把损坏的局部锯掉，可用

MOPNBxyA经过P的任意一条直线MN将其锯成△AMN，问如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积最大？

11【解析】 当直线MN的斜率为k时，S△AMN获得最大值．

231.2圆的方程形式及其灵敏应用

春季知识回忆

1．求以O0，0，A2，0，B0，4为顶点的△OAB外接圆的方程．

【点评】当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程． 31，，方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圆的个数为〔 〕 2．假设a2，0，4A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】 B；

3．证明：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0． x1x2y1y2x1x2y1y2xy【解析】 ，变形即可得． 2242222知识点睛

1．圆的标准方程

b)为圆心，r为半径的圆的方程：(xa)2(yb)2r2 ⑴以点C(a， ⑵圆心在原点的圆的标准方程：x2y2r2

2．圆的一般方程

说明：⑴x2和y2项的系数相等且都不为零；

⑵没有xy这样的二次项．

1DE⑶表示以,为圆心，D2E24F为半径的圆．

222<老师备案>⑴当D2E24F0时，方程①只有实根xDEDE，y，方程①表示一个点,

2222⑵当D2E24F0时，方程①没有实根，因此它不表示任何图形．

经典精讲

考点2：圆的方程及其灵敏应用 【例3】 ⑴

⑵

2、B3，2，圆心在直线2xy30上的圆的方程． 求经过点A5，1)，B(4，1)且与x轴相切的圆的方程． 求过点A(0，<老师备案>三个条件确定一个圆，一般用待定系数法求圆的方程．假如圆心或半径或圆心到直线

的间隔 可用标准式；假如圆经过某些点常用一般式．

<老师备案>在求圆的方程时，应当注意以下几点：

第 3 页

①确定用圆的标准方程还是一般方程；

②运用圆的几何性质建立方程求得a、b、r或D、E、F； ③在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数．

进步班学案1

【拓1】 过点P(4,2)作圆x2y24的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，那么△OAB的

外接圆方程是〔 〕

A．(x2)2(y1)25 B．(x4)2(y2)220

C．(x2)2(y1)25 D．(x4)2(y2)220

【解析】 A

【选讲】 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交

点，经过这三个点的圆记为C． ⑴ 务实数b的取值范围； ⑵ 求圆C的方程．

0)(0，1)． 【解析】 ⑴ b的取值范围是(，b1(b1)1⑵ 圆C的方程为(x1)y〔或写为x2y22x(b1)yb0〕 242221.3直线与圆的综合

春季知识回忆

0，且与圆x2y21相切，那么l的斜率是〔 〕 1．设直线l过点2，31A．1 B． C． D．3

32【解析】 C

1)，那么直线l的方程为〔 〕 2．圆x2y2ax20与直线l相切于点A(3，A．2xy50 B．x2y10 C．xy20 D．xy40 【解析】 D．

3．直线xy30被圆x1y225所截得的弦长为______．

4．过点P(2，3)作圆(x1)2y225的弦AB，使P为AB的中点，那么弦AB所在直线的方程为〔 〕 A．xy50 B．xy50 C．xy50 D．xy50 【解析】 A

<老师备案>主要是对直线与圆的位置关系、过一点作圆的切线以及圆的弦长的回忆．

2知识点睛

1．直线与圆的位置关系

⑴ 假如直线到圆心的间隔 为d，圆的半径为r，那么： ①假设dr，那么直线与圆相离； ②假设dr，那么直线与圆相切； ③假设dr，那么直线与圆相交．

⑵ 将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二 次方程，求出其的值，然后比拟判别式与0的大小关系， 假设0，那么直线与圆相离； 假设0，那么直线与圆相切； 假设0，那么直线与圆相交． 2．圆与圆的位置关系

平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断． 设O1的半径为r1，O2的半径为r2，两圆的圆心距为d， 当r1r2d时，两圆外离； 当r1r2d时，两圆外切； 当r1r2dr1r2时，两圆相交； 当r1r2dd0时，两圆内切； 当r1r2d时，两圆内含．

3．当圆与圆相交时，求相交两点所在直线的方程时把两圆的方程作差即可．

<老师备案>1．根据直线与圆的方程判断位置关系和求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的间

隔 与半径的关系求解．

2．要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦〞、“圆的切线垂直于经过切点的半径〞、“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线〞等等，寻找解题途径，减少运算量．

3．圆与直线l相切的情形——圆心到l的间隔 等于半径，圆心与切点的连线垂直于l． 4． 圆与直线l相交的情形——圆心到l的间隔 小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．

在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，防止冗长的计算．

经典精讲

考点3：直线与圆根底 【例4】 ⑴

⑵

圆(x2)2y21，求

y的最大值与最小值． x假设圆x2y24与圆x2y22ay60a0的公共弦的长为23，那么

a ．

33y【解析】 ⑴ 的最大值与最小值分别为和．

33x进步班学案2

y2【拓1】 ⑴ x，y满足x2y21，那么的最小值为 ；

x121，且与圆xy23x0的公共弦所在直线过点5，2的圆的方程． ⑵ 求圆心为2，尖子班学案2

【拓2】 假如实数x、y满足(x2)2y23，那么

y的最大值为 ， x2y2的最大值为______．x第 5 页

目的班学案2

【拓3】 ⑴ 圆C:(x2)2y21，P(x,y)为圆上任一点，求

⑵ 两圆x2y24和x2(y8)24．

5xb的两侧，务实数b的取值范围； 25)且和两圆都没有公共点的直线斜率k的取值范围． ② 求经过点A(0，y2的最大、最小值． x1① 假设两圆在直线y【解析】 ⑴

3333y2的最大值为，最小值为 44x1考点4：与圆有关的对称问题 【例5】 ⑴

圆C1:(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，那么圆C2的方程

为〔 〕

A．(x2)2(y2)21 B．(x2)2(y2)21 C．(x2)2(y2)21 D．(x2)2(y2)21 ⑵

一条光线从点P(2,3)射出，经x轴反射，与圆(x3)2(y2)21相切，求反射光线所在的直线的方程．

【解析】 ⑴ B

⑵ 4x3y10或3x4y60．

进步班学案3

【拓1】 点A是圆C:x2y2ax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点也在圆

C上，那么实数a等于 ． 尖子班学案3

【拓2】 圆x2y28x4y0与以原点为圆心的某圆关于直线ykxb对称，求k、b的值． 目的班学案3

【拓3】 自点A3,3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆

C：x2y24x4y70相切，求入射光线l和反射光线所在的直线方程，并求光线自A到切点所经过的路程．

考点5：圆上的点到直线的间隔 问题

圆C:(x3)2(y5)2r2和直线l:4x3y20，

⑴ 假设圆C上有且只有4个点到直线l的的间隔 等于1，求半径r的取值范围； ⑵ 假设圆C上有且只有3个点到直线l的的间隔 等于1，求半径r的取值范围； ⑶ 假设圆C上有且只有2个点到直线l的的间隔 等于1，求半径r的取值范围．

【解析】 方法一采用转化为直线与圆的交点个数来解决；方法二从劣【例6】

弧的点到直线l的最大间隔 作为观察点入手．

【点评】将圆上到直线l的间隔 等于1的点的个数转化为两条直线与圆

Oxr=4l1Cll2r=6y的交点个数，是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别

有效．

0)，点P在圆上，求△PAB面积的最小值． 【备选】 圆C:(x4)2(y3)21和点A(0，1)，B(1，考点6：直线与圆综合 【例7】

如图，圆心坐标为

3，1的圆M与x轴及直线y3x分别相切

yDNBOMA于A、B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y3x分别相切于C、D两点．

⑴ 求圆M和圆N的方程；

⑵ 过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

【解析】 ⑴

M的方程为x3y11，

N的方程为x33y39；

2222C图13.2-3x实战演练

【演练1】过原点O作圆xy6x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段PQ的

长为 ．

22【解析】 4 【演练2】圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，那么圆C的方程为〔 〕

A．(x1)2(y1)22 B．(x1)2(y1)22 C．(x1)2(y1)22 D．(x1)2(y1)22

【解析】 B

【演练3】直线y2x1上的点到圆x2y24x2y40上的点的最近间隔 是〔 〕

A．【解析】 C

【演练4】圆(x3)2(y5)236和点A(2，2)，B(1，2)，假设点C在圆上且△ABC的面积为

451 C．1 D．1 B．5555， 2那么满足条件的点C的个数是〔 〕

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】 C；

【演练5】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x3y60，

1)在AD边所在直线上． 点T(1，y⑴ 求AD边所在直线的方程； ⑵ 求矩形ABCD外接圆的方程． Cy2T【演练6】设点P(x,y)是圆x2y21上任一点，求u的取值范Dx1OxMB围．

A大千世界

1．设足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的间隔 最小的圆的方程．

b，半径为r，那么P到x，y轴的间隔 分别为b，a． 【解析】 设所求的圆的圆心为Ca，第 7 页

由圆截x轴所对的圆心角为90，得圆截x轴所得弦长为2r，故r22b2． 又圆截y轴所得弦长为2，所以有r2a21，从而2b2a21． 设C到直线x2y0的间隔 为d，那么d2a2b5，

于是5d2a2ba24ab4b2≥a22a2b24b22b2a21，当且仅当ab时等号成立，此时ab1或ab1．

故所求的圆的方程为x1y12或x1y12．

2222n〔n0，m0，nm〕，求P点的轨迹． m【解析】 以直线AB为x轴，设A，B的坐标分别为a，0，b，0，P点坐标为x，y，

2．点P到定点A，B的间隔 之比为那么xay22xby2m2n222n，化简得m2n2m2x2y22am2bn2xm2a2n2b20，

即x22am2bn2m2a2n2b2xy0，

m2n22mnabam2bn22即x2 y222mnmnmnabam2bn2，0这是一个以D2为圆心，为半径的圆． 222mnmnmanbmanb，0，F，0．这两点是线段AB的内分点和外分点此圆与x轴交于点EmnmnAEAFn，D是线段EF的中点，这个圆是以EF为直径的圆． EBBFm这个圆通常称为阿波罗尼斯圆．