一种自调整的空间面轮廓度误差的评定方法

第２３卷第２期　计　量　学　报　Ｖｏｌ　２３．№２　２００２年４月　ＡＣＴＡ　ＭＥＴＲＯＬＯＧＩＣＡ　ＳＩＮｌｃＡ　Ａｐｔ．，２００２　文章编号：１（￣Ｏ０．１１５８（２００２）０２．０１０６—０３　一种自调整的空问面轮廓度误差的评定方法　王伯平，　曾建潮　（太原重机学院　太原０３ｏｏ２４）　摘要：基于最小二乘法并结台二维样条插值函数和优化技术．提出一种用于空间面轮郭度误差评　定的数据处理方法，其优点是在轮郭度误差评定过程中、能自动地实现被测轮廓与理论轮廓之间的适应　性词整，从而能够分离并消除被捌轮痹与其测量基准之间的位置误差对轮廓误差评定结果的影响　文　中以汽轮机叶片轮廓的轮廓度误差评定为倒，证实了这种评定方法的优越性。　关键词｛面轮廓度：误差；最小二乘法　中圈分粪号：ＴＢ９２文献标识码：Ａ　Ａｎ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｐａｃｅ　Ｓｕｒｆａｃｅ　Ｐｒｏｆｉｌｅ　Ｅｒｒｏｒ　ＷＡＮＧ　１３ｏ—ｐｉｎｇ，　ＺＥＮＧ　Ｊｉａｎ—ｃｈａｏ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　【Ｔａｌｙｕａｎ　Ｈｅａ￣＇ｙ　Ｍａｃｈｉｎｅｒ．Ｉｙｎ　ｕｔｅ－＿ｒＢ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ａｕｔｏｍａｔｉｃ　ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ　ｄａｌａ　ｐｒｃ（￣ｅｓｓｌｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｏｆｔｈｅ　ｓｐａ￣ｅ　ｓｕ￣ｆａｅｅ　ｐｍｆｉｌｅ　ｅｒ∞ｒ　ｉｓ　Ｄｒ－　ｅｓｅｎｔｅｄ　Ｉｔ　ｉｓ　ｂａｓｅｄ　Ｏｎ　ｔｈｅ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ｍｅｔ｝１０ｄ　ａｎｄ　ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ－ｄｉｒａｅｔ￣ｓｉｏｎａｌ　ｓｐｌｉｎｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏ￣ｉｍｕｍ　ａＩ　－　ｒｉｈｍ　Ｉｔｔｓ　ｄｉｓｄｎｇｕｉｓｈｉａｇ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｉｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅ￣ｕｒｅｄ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｃａｎ　ｂｅ　ａｄｊｕｓｔｅｄ　ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｔｏ　ａｄａ—　ｐｔ　ｔｏ　ａｎ　ｉｄｅａｌ　ｐｍｆｌｅ　ｄｕｒｉｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ａｓ　ａ　ｒｅｓｄｔ，ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｅｌＴＯｙ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｍｅ￣ｕｒｅｄ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ａｎｄ　ｉｓ　Ｉｔｎｅａ　ｍｅｎｔ　ｒｅｆｅ　ｉｓ￣ｐａｚａｔｄ　ａｎｄ　ｅｌｏｉｍｉｏａｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｐｒｏｆｉｌｅ￣ｒｒｏｌ＂．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　０ｒ　ｅｖａｌｎａｆｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｅａｍ　ｔｕｒｂｉｎｅ　Ｖ＆ｔｌ，Ｐ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｅⅡＤｒ　ｖｅｒｉＳｅｓ　ｔｈｅ　ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ　ｏｆ　ｈｉｔｓ　ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｍｅ￣ｏｄ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｓｕｒｆａｃｅ　ｐｍｆｉ￣；Ｅｒｒｏｒ；Ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅ　ｍｅｔｈｏｄ　面轮廓度反映的是被测的空间实际曲面与理想　曲面的符台程度，是针对任意曲面偏离设计给定的　形状而提出的技术指标。在工程中，许多复杂曲面，　如汽轮机叶片和螺旋泵等零件，其面轮廓具有重要　的作用，所以面轮廓度误差的测量、评定和控制就有　着重要的意义。　廓度时应将测量基准与设计基准相重台，由于被测　轮廓与设计基准之间存在的位置误差会对评定结果　产生影响，从而降低了评定精度；对于一些结构复杂　的被测轮廓，又由于按设计基准难以实现测量定位，　故在测量时必须转换基准才可实现面轮廓测量，这　样就难以直接地实现面轮廓度误差的评定。　面轮廓度误差评定通常按照最小区域原则进　行，但复杂的空间曲面实现最小条件比较困难，因而　在生产中，面轮廓度误差常用仿形法、截面样板　法和坐标法进行测量。仿形法中，仿形面轮廓度的　误差将直接影响测量结果。截面样板法是在曲面的　指定位置截面上用样板按光隙法估读间隙大小．所　以是一种精度不高的近似测量。用坐标法测量面轮　收藕日期：１９９９—１２—１８；修订日期：２００１～０７—２ｏ　用最小二乘法则更具实用价值，它具有计算简便、易　于实现的优点，其计算结果与最小条件的计算结果　非常相近。因此，本文提出～种空间面轮廓误差评　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２３卷第２期　王伯平：一种自调整的空间面轮廓度误差的评定方法　定方法，它利用二维样条函数实现理论轮廓曲面拟　合、采用最小二乘法和优化技术实现被测轮廓与理　２确定被测轮廓　论轮廓之间位置关系的自动凋整，并将被测轮廓与　在用坐标法进行面轮廓测量的过程中，往往只　测量基准的位置误差从面轮廓度误差评定结果中剔　能结出测量装置中测球中心轨迹的节点坐标　除出来．以保证评定精度。　值　（　，　），（　＝０，１，…，Ｑ），而被测面轮廓触　ｌ建立理论轮廓关系式　点坐标值是未知的。为了保证面轮廓度误差的评定　精度，必颓依据测球与被测面轮廓触点坐标值　面轮廓度误差评定中有两类理论轮廓关系式：　Ｐ　（　，Ｙ　，。　），（ｋ＝０，１，・－－，Ｑ），对面轮廓度误　一类是以标准曲面方程表达的，如椭圆抛物面、双曲　差进行评定。设测球半径为Ｒ，测球中心轨迹在节　面方程等；另一类是利用列表方式给出的理论轮廓　点Ｐ＾处对　、Ｙ方向的偏导数（斜率）分别为　和　有限个节点坐标值，对这类理论轮廓可用二维样条　ｍ　，则根据在空间坐标系中测球与被测面轮廓　插值函数来代替理论轮廓关系式。　触点Ｐ　（　，Ｙ　，　）与测球中心轨迹节点Ｐ＾（　，　设：在理论坐标系Ｘ。一ｙ０一Ｚ。中，理论轮廓节　，　）二者的换算关系为：　点坐标为　（　，Ｙ　，　），　＝０，１，・一，　。于是，对单　值的非闭合的空间曲面，理论轮廓可用双三次样条　＋　√１　＋　＋ｍ　插值函数关系式Ｓ。（　，Ｙ）来表达：　Ｓ。（　，Ｙ）＝［，。（ｕ）Ｆ．（　）Ｃ。（ｕ）Ｇ．（　）］・　ｙ，　：　＋　：　（２）　√１＋　＋ｍ　［三乏］［，。（　，　（　ｃ。（　ｃ　（　：　（　，　Ｒ　“　一　式中，　（　）、Ｆ．（ｕ）、Ｃ。（　）、Ｇ　（Ⅱ）、Ｆ。（　）、　在这里，同样采用样条函数来求得　和ｍ　，对　，　（　）、　（　）、Ｇ　（　）称为三次混合函数，它们分别　于单值非闭合的曲面轮廓拟台，采用以测球中心点　为：　Ｐ＾（　，Ｙ　，ｚ＾）为原始数据的双三次样条函数拟合法　（Ⅱ）＝（１一　）　（１＋２ｕ）；　求得，从而可正确地评定被测面轮廓。　，　（　）＝（１一　）　（１＋２　）；　，．（Ⅱ）＝ｕ　（３—２ｕ）；Ｆ　（　）＝　！（３—２ｖ）；　３面轮廓度误差的评定　Ｇ　（　）＝　（１一　）　；Ｇ。（　）＝　（１一　）　；　３．１　被测面轮廓触点与理论轮廓之间的偏差　Ｃ，（ｕ）＝Ⅱ　（　—１）；Ｇ　Ｊ（ｐ）：　（口一１）　根据面轮廓度定义可知，当测量节点与理论节　其中，　：三兰　；　：　点的位置一致时，由被测面轮廓触点到理论轮廓的　ｘ　～ｚｌ一１　＇Ｉ一，｝　偏差来评定面轮廓度误差。本文采用与定义相符台　（ｉ＝０，１，・一，ｌｖ：　＝０，１，…，Ｍ）　的方法来评定面轮廓度误差，且考虑到轮廓测量过　式（１）中：　程中采样点和理论点在位置上难以相重合，而且采　ｃ　１．ｊ　‘Ａ　－　慨　；　样点的个数Ｏ大于理论节点的个数　；同时利用双　一三次样条函数拟合的理论轮廓有较好的保凸性和光　顺性并且通过理论节点，这样评定面轮廓度误差不　ｃ　＝【　：　：　＝【　Ｉ　会造成测量信息的损失，有利于保证评定精度。　．　其中，　＝设：在测量坐标系　Ｙ—ｙ—ｚ中，被测面轮廓触　．　，（　．，　）为轮廓区域节点的函数值，　？　－ｆ－￣（　）、　＝ｆ－－ｆ（　）、　＝　ｒ（　点Ｐ　（　，Ｙ　。，　）到理论轮廓Ｓ　（　，Ｙ）之间的偏　＝差为ｄ　（ｋ＝０，１，…，Ｑ）。根据面轮廓度误差定义　）分别为节点沿　、Ｙ两个坐标方向的偏导数（斜　可知，偏差ｄ　即为　（　‘，Ｙ　‘，ｚ　‘）到ｓ。（　，Ｙ）的　率）以及二阶混合偏导数值。通常，　■　ｌｌ、　：　是　法向最小距离，这是一个典型的二维优化问题，其优　以理论节点　（　，Ｙ　，　）为原始数据，根据边界条　化模型为：　件用双三次样条插值计算的通用算法求得。　维普资讯 http://www.cqvip.com

计　量　学　报，　２００２年４月　ｄ　＝ｒａｉｎ√（　一　）　＋（，　一ｙ）　＋［：　一Ｓ　（　，ｙ）］　∈Ｅ　，ｙ∈Ｃ　（　＝０，１，・一，ｐ）　（３）　式（３）中的Ｓ。（　，　）与式（１）相同　该优化问题　定方法的关键。设测量坐标系　—ｙ—ｚ在理论坐　本文采用最速下降法求解，其核心为在理论轮廓　标系　—ｙ０一　下的位置为（ｕ，　，１／３，ｎ，口，７），其　Ｓ。（　，ｙ）上搜索一点使其与Ｐ　（　，Ｙ　，：　）之间的　中（　，。，　）为测量坐标系原点在理论坐标系下的坐　　，　，ｙ）为测量坐标系相对于理论坐标系中的　距离为最小。该算法与牛顿迭代法相比，具有直观、　标值，（简单的优点。　３．２面轮廓度误差的评定　ｚ。轴、　轴、　轴的偏转角，那幺在测量坐标系下　的被测轮廓节点Ｐ　（　，Ｙ　，　）转换到理论坐标　—　一　下的节点　依据被测面轮廓触点尸　到理论轮廓Ｓ。的偏差　系下，就成为理论坐标系　ｄ　之平方和为最小这一原则，调整被测面轮廓触点　在理论坐标系　—　一　（　，　，　）。故依据空间坐标系中的坐标变换　　下的位置，使被测轮廓最　关系有：大限度地适应理论轮廓，是自调整的面轮廓度误差评　ｒ　。　±ＣＯＳｅ　ｃｏｓｆｉ—Ｙ　＾（ｓｉｎｅ　ｃｏｓ７＋ＣＯｇｅ　ｓｉｎｆｌｓｉｎ７）一　【ｓ　ｎａｓｉｎ７一ｃｏｓ￣ｓｉｎｐｃｏｓ７）＋　｛　＝　＾ｓｉｎａｃｏｓｌｆ　Ｙ　＾（ｃｏｓ￣ｃｏ￥７一ｓｉｎｅ　ｓｉｎｆｌｓｉｎ７）＋：　（ｃｏｓａｓｉｎ７＋ｓｉｎｅ　ｓｉｎｆｌｃｏｓ７）＋　（　＝０，１，…，Ｑ）　（４）　Ｉ　‘＝一　＾ｓｉｎｆｌ—Ｙ　±ｃｏｓｆｌｓｉｎ７＋：　＾ｏｏｓｐｃｏｓ７＋　０　ｍｉｎＦ（ｕｍ　，ｎ，ｐ，７）＝∑｛　ｎ　＝『＝　＝　）　（５）　０　本文采用步长加速的坐标交替法来求解该优化　问题。先给定初始设计参数（ｕ。，　。，　。，口。．ｐ。，　）　、初始寻优化步长（ｈ　，ｈ　…ｈ　ｈ　，ｈ　，＾　）。以及　为：面轮廓度误差Ｆ＝Ｏ．０８２　ｍｍ，位置误差（　，　，　，　ｎ，口，７）＝（０．０１１　２　ｈｉｍ，一０．００７　６　ｍｉｌｌ，Ｏ　ＯＯ６　３ｍｍ，　０．００２　７　ｒａｄ，Ｏ　０００　８　ｒａｄ，Ｏ．００１　５　ｔａｄ）。同时也给出　收敛判别系数￡；以理论节点ｐＯ（　＝Ｏ，１，…，Ｑ）为　原始数据拟台双三次样条理论曲面Ｓ。（　，ｙ）：将球　了未进行自调整时的面轮廓度误差评定结果为Ｆ　＝０．１４２　ｍｍ。比较二者可以看出，经过自调整的面　形测头中心轨迹节点Ｐ　（　，　，　）根据式（２）转换　成被测面轮廓触点Ｐ　（　，Ｙ　，：　）；送人步长加速　的坐标交替法的计算软件，即可求出被测轮廓与理　论轮廓处于最适应状况下的测量坐标系在理论坐标　系下的位置（ｕ　，　，　，口　，口　，７　）。，代人式　轮廓误差明显小于未经自调整的，这是由于在评定　过程中通过自适应调整分离并消除了被测轮廓与其　测量基准之间的位置误差（ｕ，　，　，ｄ，口，ｙ）所致，由　此可见自调整评定方法具有较高的评定精度。此　外．此评定方法既可以绐出面轮廓度误差，也能给出　被评定轮廓与其测量基准之间的位置误差（　，　，　，　，（４），求得空间坐标变换后被测轮廓各节点　（　，　，　）（　＝ｏ，１，…，Ｑ）；代人式（３），求得　口，ｙ），这说明它在评定面轮廓度误差的同时还可　用于曲面轮廓位置的评定。本算法具有较高评定精　度的关键是用双三次样条插值函数来拟合理论轮　廓，由于该函数通过理论节点具有较好的光顺性和　保凸性，拟合时只要在曲率变化较大处取较多个理　论节点，则所拟台的理论曲面的拟台误差与被评定　各测点　与理论轮廓Ｓ。（　，　）之间的偏差ｄ　，　当　在Ｓ。（　，Ｙ）上方时ｄ：为正，反之为负。找出　ｄ一＝ｍａｘＩ　ｄ　｝～ｄ＝ｍｉｎ｛ｄ　，最后根据轮廓误差　的定义求出面轮廓度误差为　Ｆ＝ｄ一一ｄ一　（６）　的面轮廓误差相比是可以忽略的。　参考文献　４实例与结论　１］孙家昶样条函数与计算几何［Ｍ］．北京：科学出版　现以汽轮机动叶片轮廓的面轮廓度误差评定为　例进行评定计算　测量了动叶片理论轮廓节点Ｐ　和测量触点Ｐ　坐标原始数据共４９组，２９４个，这里　从略　应用本文算法得出汽轮机动叶片评定结果　社　１９８２，１９１～２３９　［２］何赐方．形位误差测量［Ｍ］北京：中国计量出版杜，　１９９８．７７—８２　３：　陈宝林最优化理论与算法［Ｍ］北京：清华大学出版　社．１９８９，３３４～３４２