重庆市巫山中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析)

重庆市巫山中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（ ） A． {3，5} B． {1，2，3，4，5，6} C． {7} D． {1，4，7}

2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（ ） A．

B． ﹣

C． 2

D． ﹣2

3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ ） A． =x+1

4．已知函数f（x）=e﹣x+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（ ） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，2）

5．要得到函数 A． 向左平移 C． 向左平移

6．在等比数列{an}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（ ） A． ±8 B． 4 C． 8 D． 64

7．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

个单位长度 个单位长度

的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（ ）

B． 向右平移D． 向右平移

单位长度 个单位长度

x

2

B． =x+2 C． =2x+1 D． =x﹣1

A． 7

B． 9

C． 10

D． 11

8．已知△ABC中，∠A=的概率为（ ）

，AB=3，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2

第1页（共18页）

A．

B． C． D．

9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且则

=（ ）

B． ﹣

C． 0

D． 4

，

A． ﹣

10．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则 A．

B． 8

的最小值为（ ）

C．

D．

11．等比数列{an}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记Tn为它的前n项之积，则Tn最大时，n的值为（ ） A． 9

B． 11

2

2

C． 12

2

D． 13

12．已知关于x的函数f（x）=x+2mlog2（x+2）+m﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b

22333

满足a+b=m，且a+b+1=t（a+b+1），则t的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是 ．

14．已知sin（α+

15．若非零向量f（x）满足||=为 ．

16．若c=2，∠C=

且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围 ．

||，且

，则与的夹角

）=，α∈（﹣

，0），则tanα= ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

*

17．已知数列{an}满足an+1=3an+4，（n∈N）且a1=1，

第2页（共18页）

（Ⅰ）求证：数列{an+2}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．

19．已知=（

sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．

（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程； （Ⅱ）若x∈[0，

20．设函数f（x）=a﹣（k﹣1）a（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数

2

（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围； （Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a+a

21．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1﹣an（n∈N）． （Ⅰ）试求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设cn=

，求证：数列{cn}的前n项和Pn＞2n﹣．

*

2x

﹣2x

]时，f（x）的最小值为5，求m的值．

x﹣x

﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角， ①求最大角的余弦值；

②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

第3页（共18页）

重庆市巫山中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（ ） A． {3，5} B． {1，2，3，4，5，6} C． {7} D． {1，4，7}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 由A与B，找出两集合的交集即可．

解答： 解：∵A={1，3，5，6}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：A． 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（ ） A．

B． ﹣

C． 2

D． ﹣2

考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 直线与圆． 分析： 由已知条件推导出

，由此能求出m的值．

解答： 解：∵直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行， ∴

，

解得m=．

故选：A． 点评： 本题考查实数m的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．

3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ ） A． =x+1

B． =x+2

C． =2x+1

D． =x﹣1

考点： 线性回归方程． 专题： 计算题． 分析： 根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．

第4页（共18页）

解答： 解：∵

=3.5，

∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）

把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立， 故选A 点评： 本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．

4．已知函数f（x）=e﹣x+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（ ） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，2）

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．

x2

分析： 构造函数g（x）=e，h（x）=x﹣8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．

x2

解答： 解：∵函数f（x）=e﹣x+8x，

x2

令g（x）=e，h（x）=x﹣8x，

x

2

画出图象判断交点1个数． ∵g（0）=1，h（0）=0，

第5页（共18页）

g（﹣1）=e，h（﹣1）=9， ∴g（0）＞h（0），g（﹣1）＜h（﹣1）， ∴交点在（﹣1，0）内，

x2

即函数f（x）=e﹣x+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（﹣1，0） 故选：B 点评： 本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可．

5．要得到函数 A． 向左平移 C． 向左平移

个单位长度 个单位长度

的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（ ）

B． 向右平移D． 向右平移

单位长度 个单位长度

﹣1

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析： 由于将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移的图象，从而得出结论．

解答： 解：将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移

个单位长度，即可得函数个单位长度，即可得函数

的图象， 故选C． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．

6．在等比数列{an}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（ ） A． ±8 B． 4 C． 8

考点： 等比数列的性质；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用

可知q=4（q为公比），通过a5=a4•q计算即得结论．

4

2

D． 64

解答： 解：∵a3=4，a7=16， ∴q=

4

=

2

=4（q为公比），

∴a5=a4•q=a4•=4•2=8，

故选：C． 点评： 本题考查等比数列，注意解题方法的积累，属于基础题．

7．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

第6页（共18页）

A． 7 B． 9

考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图．

分析： 算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg

C． 10

D． 11

的值，根据条件确定跳出循环的i值．

的值，

解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg

=lg

＜﹣1，

∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9． 故选：B． 点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

8．已知△ABC中，∠A=的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

，AB=3

，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2

考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 首先解三角形求出BC，然后利用几何概型求概率． 解答： 解：在△ABC中，∠A=﹣18所以BC=3，

在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的点P在距离C的一端BC的内，由几何概型线段PB的长大于2的概率为；

故选：A 点评： 本题考查了余弦定理的运用，几何概型的概率求法；正确运用余弦定理求出BC长度是关键．

9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且则

，AB=3，AC=3，所以BC=AB+AC﹣2AB×AC×cos∠A=27+9

222

=9，

，

=（ ）

第7页（共18页）

A． ﹣ B． ﹣ C． 0 D． 4

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 以CB，CA两直线分别为x，y轴，建立坐标系，根据条件可求出C，A，B，D几点的坐标，设P（x，y），而根据

即可求出点P的坐标，从而得出向量

的坐标，然后进行数量

积的坐标运算即可．

解答： 解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则： C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（1，1）； 设P（x，y），∵

；

（x，y）=（1﹣x，1﹣y）；

∴；

解得∴∴故选B．

；

，．

，

；

点评： 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标求数量积的方法，由点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的数乘、数量积的运算．

第8页（共18页）

10．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（ ）

C．

D．

A． B． 8

考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 变形利用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵设a＞0，b＞1，a+b=2， ∴

=（a+b﹣1）

=4+

=4+2，

当且仅当a=∴

（b﹣1）=

．

时取等号，

的最小值为4+2

故选：D． 点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

11．等比数列{an}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记Tn为它的前n项之积，则Tn最大时，n的值为（ ） A． 9 B． 11 C． 12 D． 13

考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 先判断|Tn+1|与|Tn|的大小关系，结合等比数列的性质进行比较即可． 解答： 解：∵

10

11

=|

|=|an+1|=2015•（），

n

∵2=1024，2=2048

∴当n≤10时，|Tn+1|＞|Tn|， 当n≥11时，|Tn+1|＜|Tn|， 故|Tn|max=|T11|，

又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0， ∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者， ∵

=a10a11a12=[2015（

）]＞1，

103

∴T12＞T9

因此当n=12时，Tn最大． 故选：C 点评： 本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式是解决本题的关键．

第9页（共18页）

12．已知关于x的函数f（x）=x+2mlog2（x+2）+m﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b

22333

满足a+b=m，且a+b+1=t（a+b+1），则t的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

222

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由偶函数f（x）=

=0，进而求出m=1；进而令a=cosθ，b=sinθ，法和反比例函数的和性质，可得t的最小值． 解答： 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）=零点．

∴f（0）=0，解得，m=1或﹣3， 又∵m＞0， ∴m=1， 22

∴a+b=1， 令a=cosθ，b=sinθ，

则由a+b+1=t（a+b+1）得：

．

3

3

3

有唯一的零点．可得：f（0）

，根据三角函数的图象和性质及常数分离

有唯一的

，

令 x=cosθ+sinθ，则 ，且．

于是．

因为函数

．

在上单调递减，因此，t的最小值为

故选：A

点评： 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，偶函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，常数分离法和反比例函数的和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是 4 ．

第10页（共18页）

考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 画出不等式组表示的平面区域．设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可看作是斜率为﹣1的直线系方程，z为直线的纵截距，只需找到直线y=﹣x+z经过此区域，且纵截距最大的位置即可得到x+y的最大值．

解答： 解：作出直线x=1，y=2，x﹣y=0，从而得到不等式组表示的平面区域，如右图

所示的阴影部分．

设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可表示一系列斜率为﹣1的平行直线， 当直线经过点A时，直线在y轴上的截距z最大，此时，由从而zmax=x+y=2+2=4，即x+y的最大值是4． 故答案为：4．

，得

，即A（2，2），

点评： 本题主要考查了数形结合思想及转化与化归思想的运用，考查了利用不等式组表示的平面区域解决最值问题．求解此类问题的一般步骤是：

1．正确画出不等式组表示的平面区域；2．根据目标函数的几何意义进行处理．

14．已知sin（α+

）=，α∈（﹣

，0），则tanα= ﹣2 ．

考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 由α∈（﹣

，0）sin（α+

）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．

）=，

解答： 解：∵sin（α+∴cosα=， 又α∈（﹣∴sinα=﹣

，0）， ，

）=cosα，sin（α+

第11页（共18页）

∴tanα==﹣2．

故答案为：﹣2． 点评： 本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

15．若非零向量f（x）满足||=

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由并带入

即可得到

，便得到

，从而得出

，进行数量积的运算，．

||，且

，则与的夹角为 ．

解答： 解：根据条件，

=

；

∴∴

∴与的夹角为故答案为：

．

． ；

；

点评： 考查数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，以及已知三角函数值求角．

16．若c=2，∠C=

且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围 （2

+2，6] ．

考点： 余弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 通过角的范围，利用正弦定理推出a+b的关系，利用两角和的正弦函数，化简函数的表达式，求出a+b的取值范围，从而可求周长的取值范围． 解答： 解：由∠C=由正弦定理得∴a=b=

×sinA=sinB=

sin（

sinA，

﹣A），

第12页（共18页）

且三角形是锐角三角形可得

，

，

∴a+b=∴∴

[sinA+sin（＜

，

﹣A）]=（sinA+cosA）=4sin（A+），

＜A+

＜sin（A+）≤1，即 2＜a+b≤4

∴△ABC周长l=a+b+c∈（2+2，6]．

故答案为：（2+2，6]． 点评： 本题考查两角和的正弦函数、正切函数以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 17．已知数列{an}满足an+1=3an+4，（n∈N）且a1=1， （Ⅰ）求证：数列{an+2}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．

考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）利用an+1=3an+4计算

n*

即得结论；

（Ⅱ）通过a1=1可知a1+2=3，进而an=3﹣2，利用等比数列的求和公式计算即得结论． 解答： （Ⅰ）证明：∵an+1=3an+4， ∴

∴{an+2}是公比为3等比数列； （Ⅱ）解：∵a1=1， ∴a1+2=1+2=3，

n﹣1n

∴an+2=3•3=3，

n

∴an=3﹣2， ∴

． ，

点评： 本题考查等比数列的判定、数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．

18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．

第13页（共18页）

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；

（Ⅱ）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可． 解答： 解：（Ⅰ）[120，130）内的频率为：

1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；…（5分）

（Ⅱ）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）． [120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）． …（7分）

∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m、n； …（8分） 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a、b、c、d； …（9分） 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A， 则基本事件共有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种．…（10分）

则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种． …（11分） ∴

．…（12分）

点评： 本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．

19．已知=（

sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．

（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程； （Ⅱ）若x∈[0，

]时，f（x）的最小值为5，求m的值．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算． 专题： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

第14页（共18页）

分析： （Ⅰ）先进行数量积的坐标运算，并应用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可求得x=

，令2x+

，从而得出f（x）=2sin（2x=

的范围：

）+2m，根据函数y=sinx的对称轴为

，解出x即得f（x）的对称轴方程；

，从而得到f（x）的最小值

（Ⅱ）由x的范围便可求出2x+﹣1+2m=5，解出m即可． 解答： 解：（Ⅰ）∴令2x

=

，k∈Z；

=

；

=；

∴f（x）的对称轴方程为：x=（Ⅱ）x∈∴∴2x

=

； ；

时，f（x）min=2

，k∈Z；

+2m=5；

∴m=3． 点评： 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的对称轴，正弦函数在闭区间上的最．

20．设函数f（x）=a﹣（k﹣1）a（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数

2

（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围； （Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a+a

2x

﹣2x

x﹣x

﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．

考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出k的值，根据f（1）＞0求出a的值，根据函数的单调性将不等式进行转化即可，

（Ⅱ）由f（1）=，求出a的值，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行求解． 解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2． ∵函数f（x）=a﹣a（a＞0且a≠1）， ∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，又 a＞0，∴a＞1．

由于y=a单调递增，y=a单调递减，故f（x）在R上单调递增．

2

不等式化为：f（x+tx）＞f（﹣2x﹣1）．

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x

﹣x

x﹣x

∴x+tx＞﹣2x﹣1，即 x+（t+2）x+1＞0 恒成立，

2

∴△=（t+2）﹣4＜0，解得﹣4＜t＜0． （Ⅱ）∵f（1）=，∴a=3，或 a=﹣（舍去）．

∴g（x）=3+3﹣2m（3﹣3）=（3﹣3）﹣2m（3﹣3）+2．

﹣xx

令t=f（x）=3﹣3， 由（1）可知k=2，

故f（x）=3﹣3，显然是增函数． ∵x≥1，∴t≥f（1）=，

令h（t）=t﹣2mt+2=（t﹣m）+2﹣m（若

，当t=m时，

2

2

2

x

﹣x

22

，即3a﹣8a﹣3=0，

2

2x﹣2xx﹣xx﹣x2x﹣x

），

，

∴m=2（舍去） 若

，当t=时，＜，

．

，

解得m=

综上可知m=

点评： 本题主要考查指数函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性求出参数，利用换元法转化为一

元二次函数是解决本题的关键．

21．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1﹣an（n∈N）． （Ⅰ）试求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设cn=

，求证：数列{cn}的前n项和Pn＞2n﹣．

*

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出； （II）由已知得：当n=1时，

，结论成立，当n≥2时，

，化简利用“放缩法”即可

证明．

解答： （Ⅰ）解：∵Sn=1﹣an（n∈N*），∴Sn+1=1﹣an+1，作差得：

，

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又当n=1时，，故．

，结论成立，

（Ⅱ）证明：由已知得：当n=1时，

当n≥2时，=

=

，结论也成立，

综上知，对∀n∈N*，都成立．

点评： 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“分组求和”、“放缩法”不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角， ①求最大角的余弦值；

②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

考点： 余弦定理． 专题： 计算题；解三角形．

*

分析： （1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N且n＞1），根据两边之和大于第三边和C为钝角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三边长分别为2，3，4．最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值；

（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函数的关系算出sinC=m、n，可得它的面积为S=mnsinC=

，设平行四边形两边分别为

mn，再根据m+n=4用基本不等式求最值，即可得到当且仅

当m=n=2时平行四边形面积最大值为．

*

解答： 解：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N且n＞1）， ∵（n﹣1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数

∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，

22222

由余弦定理得：（n+1）=（n﹣1）+n﹣2n（n﹣1）•cosC＞（n﹣1）+n，

2222

即（n﹣1）+n＜（n+1）⇒n﹣4n＜0⇒0＜n＜4，

因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．

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∵cosC===﹣

∴最大角的余弦值为﹣

（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC=设夹角C的平行四边形两边分别为m、n， ∵m+n=4，∴mn≤

=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4

mn≤

×4=

=

，

因此，平行四边形的面积S=mnsinC=

∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为． 点评： 本题给出三边长为连续整数的三角形，且最大角为钝角时求最大角的余弦之值，并依此求一个平行四边形的面积最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识，属于中档题．

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