专题29 四点共圆问题(学生版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

【规律总结】

1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

【典例分析】

例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在Rt△ABC中，ACB90，BC3，

AC4，点P为平面内一点，且CPBA，过C作CQCP交PB的延长线于点Q，

则CQ的最大值为（ ）

A．

17 5B．

15 4C．45 5D．65 5例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，AB是RtABC和Rt△ABD的公共斜边，AC=BC，BAD32，E是AB的中点，联结DE、CE、CD，那么ECD___________________．

例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过

O上一点A作两条弦AB、AC，且

（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，A45，

AC交于点E，直线BC，AD交于点F.

（1）请在图1中，按要求补全图形；

（2）在图2中探索线段BE和BF的数量关系，并证明你的结论；

（3）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并直接写出你的结论________.

【好题演练】

一、单选题

1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有A、其中BAD80，C、D四点，B、若弧ABC、弧ADC的长度分别为7、11，则弧BAD的长度为（ ）

A．4 B．8 C．10 D．15

2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将∠ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）

A．1 B．

6 5C．

32 15D．

17 4二、填空题

3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边∠ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝_____．

4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形ABCD中，AB9，点E为AD上一点，且AE:ED1:2，点P为边AB上一动点，连接PE，过点E作EFPE，交射线BC于点F，连接PF，点M为PF中点，连接DM，则DM的最小值为________．

三、解答题

5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：

(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm? (2)如图2，在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(∠O)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的∠O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．

6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知AD为锐角ABC的高，G为AC中点，

DEAB于点E，延长ED至F，使得GFGD．

（1）证明：AEDAFC；

（2）证明：AECF2BEAF2；

（3）若AB6,BC7,CA8，求四边形ACFD的面积．