指数与指数函数(经典)

§2.5 指数与指数函数

1．分数指数幂

mn

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分

n

m1

数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0

nn

am的负分数指数幂没有意义．

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ars，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质

＋

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4

(1)(－4)4＝－4.

21

(2)(－1)＝(－1)＝－1.

42

－

( × ) ( × ) ( × ) ( × ) ( × )

(3)函数y＝ax是R上的增函数．

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)． (5)函数y＝2x

－1

是指数函数．

1－

(6)函数y＝()1x的值域是(0，＋∞)．

4

－

－

－

－2

( √ ) ( )

2．若a＝(2＋3)1，b＝(2－3)1，则(a＋1)2＋(b＋1)

12

A．1 B. C.

42答案 D

的值是

2D. 3

解析 a＝(2＋3)－1＝2－3，b＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2

112＝＋＝. 12－6312＋6333．设函数f(x)＝a

－|x|

(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则

B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2)

( )

A．f(－2)>f(－1) C．f(1)>f(2) 答案 A

1－|x||x|1

解析 ∵f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝∴f(－2＝2，22)>f(－1)．

4．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得01

5．已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．

2

5答案

2解析 令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，

1

又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5

2

11＝(t－3)2＋， 22

5

∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.

2

题型一 指数幂的运算

例1 化简：

27－

(2)(－)3＋(0.002)2－10(5－2)1＋(2－3)0.

8

21

思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算．

思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

4

(1)化简16x8y4(x<0，y<0)得

A．2x2y

B．2xy

( )

C．4x2y D．－2x2y

8

答案 (1)D (2)

5

题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数f(x)＝ax

－b

的图象如

( )

图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0(2)若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________.

思维启迪 对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)D (2)1

解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0即e－(－x－μ)2＝e－(x－μ)2，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0， ∴f(x)＝e－x2.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.

思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究．

ex＋ex

(1)函数y＝x－x的图象大致为

e－e

－

( )

(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 答案 (1)A (2)3

ex＋e－x2

解析 (1)y＝x＝1＋，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1xx2－e－ee－1

2

＋2x>1随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数ye－1是奇函数，故只有A正确．

(2)当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]，∴a2－1＝2，即a＝3.

当0例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

1

(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－|x|.

2

3

①若f(x)＝，求x的值；

2②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

思维启迪 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．

解 (1) 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴

下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当01

当x≥0时，f(x)＝2x－x，

2

13

由2x－x＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

22

1

看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，

2∵2x>0，∴x＝1.

11

22t－2t＋m2t－t≥0， ②当t∈[1,2]时，2t22

即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m的取值范围是[－5，＋∞)．

思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．

设函数f(x)＝kax－ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；

3－

(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．

2解 因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1.

1

(1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，

a所以a>1.

因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，

所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0， 所以x>1或x<－4.

所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．

313

(2)因为f(1)＝，所以a－＝，

2a2

－

1

即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．

2

所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2. 令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，

3

即t(x)≥t(1)＝，

2所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，

所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)． 即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.

换元法解决与指数函数有关的值域问题

1

典例：(10分)(1)函数y＝()x2＋2x－1的值域是

2A．(－∞，4) C．(0,4]

B．(0，＋∞)

( )

D．[4，＋∞) 11

(2)函数y＝()x－()x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．

42

1

解析 (1)设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.

21

因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，

2

11

所以022故所求函数的值域为(0,4]．

11

(2)因为x∈[－3,2]，若令t＝()x，则t∈[，8]．

24

13

则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋.

24

13

当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

24

3

所以所求函数值域为[，57]．

43

答案 (1)C (2)[，57]

4

温馨提醒 和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化.

方法与技巧

1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与03．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 失误与防范

1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．

3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

A组 专项基础训练

一、选择题

1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是

( )

答案 C

解析 当x＝1时，y＝0，故函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C符合． 2．已知a＝5－1

，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为( ) 2

B．m＋n>0 D．mA．m＋n<0 C．m>n 答案 D 解析 ∵0<

5－15－1

<1，∴f(x)＝ax＝()x， 22

且f(x)在R上单调递减， 又∵f(m)>f(n)，∴m1－

3．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是

9A．(－∞，2]

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

( )

C．[－2，＋∞) 答案 B

11

解析 由f(1)＝得a2＝，

99

111

∴a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.

333

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.

1

4．若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是

x－1A．(2，＋∞) C．(0,2) 答案 C

1

解析 在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象

x－1知，当a∈(0,2)时符合要求．

5．已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：①0解析 设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，由函数图象，可得 (1)若t>1，则有a>b>0； (2)若t＝1，则有a＝b＝0； (3)若0故①②⑤可能成立，而③④不可能成立． 二、填空题

B．2个

C．3个

( )

B．(0，＋∞) D．(0,1)

( )

D．4个

7．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.

5±1

答案

2解析 若0－1＋5－1－5

即a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝(舍去)．

22若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0， 1＋51－5

解得a＝或a＝(舍去)．

22

5±1

综上所述a＝.

2

8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案 (1，＋∞)

解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个

公共点．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)试确定f(x)；

11

(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

ab解 (1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，

a＝6， ①b·

∴

3

a＝24， ②b·

②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3，

∴f(x)＝3·2x.

1111

(2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立．

ab2311

令g(x)＝()x＋()x，

23则g(x)在(－∞，1]上单调递减，

115

∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，

2365

故所求实数m的取值范围是(－∞，]．

6

10．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解 令t＝ax (a>0且a≠1)， 则原函数化为y＝(t＋1)2－2 (t>0)．

1a，， ①当0a，上为增函数． 此时f(t)在a112

所以f(t)max＝fa＝a＋1－2＝14. 1211

＋1＝16，所以a＝－或a＝. 所以a53

1

又因为a>0，所以a＝.

3

1

②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，a，

1

此时f(t)在a，a上为增函数． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 1

解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.

3

B组 专项能力提升

1x x>0，

1．设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为( )

ex x≤0，A．(－∞，1]

B．[2，＋∞)

C．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 C

D．(－∞，1)∪(2，＋∞)

1

解析 当x>0时，F(x)＝＋x≥2；

x

当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．

2．若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( ) A．(0,1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) 答案 D

解析 方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

1

①当02②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．

B．(0,1)

10， D.2

图(1) 图(2)

1

综上，03x2＋3a

3．关于x的方程2＝5－a有负数根，则实数a的取值范围为__________．

23－， 答案 343x

解析 由题意，得x<0，所以0<2<1， 2＋3a23从而0<<1，解得－11

4．已知f(x)＝(x＋)x3(a>0且a≠1)．

a－12(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．

对于定义域内的任意x，有

11

f(－x)＝(x＋)(－x)3

a－－12ax1＝(＋)(－x)3 x21－a

11

＝(－1－x＋)(－x)3

a－1211

＝(x＋)x3＝f(x)． a－12∴f(x)是偶函数． (2)方法一 当a>1时，

对x>0，由指数函数的性质知ax>1，

11

∴ax－1>0，x＋>0. a－12又x>0时，x3>0，

11

∴x3(x＋)>0，即当x>0时，f(x)>0.

a－12又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 当x<0时，－x>0，有f(x)＝f(－x)>0. 综上知当a>1时，f(x)>0在定义域内恒成立． ax＋1x3

当02a－1当x>0时，1>ax>0，ax＋1>0，

ax－1<0，x3>0，此时f(x)<0，不满足题意； 又f(x)为偶函数，所以当x<0时， －x>0，f(x)＝f(－x)<0，也不满足题意． 综上可知，a的取值范围是a>1. 方法二 由(1)知f(x)为偶函数， ∴只需讨论x>0时的情况．

11

当x>0时，要使f(x)>0，即(x＋)x3>0，

a－12ax＋111

即x＋>0，即x>0， a－122a－1即ax－1>0，ax>1，ax>a0. 又∵x>0，∴a>1. ∴当a>1时，f(x)>0. 故a的取值范围是a>1.

2x

5．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；

(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解 (1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0. 设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 2x

f(－x)＝x＝x＝－f(x)，

4－＋14＋1

2x

∴f(x)＝－x，

4＋1

2－x



∴f(x)＝0， x＝0，

24＋1， x∈0，1.

xx

2x

－x， x∈－1，0，4＋1

(2)设0(2x12x2)(2x12x22x22x1)f(x1)－f(x2)＝ x1x2(41)(41)(2x12x2)(12x1x2)＝，

(4x11)(4x21)∵02x1x2>20＝1，

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数． (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，

212021∴1524＋14＋1

12

同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈(－，－)．

25

1221

又f(0)＝0，当λ∈(－，－)∪(，)，

2552或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解．