多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接罕见类型归纳之马矢奏春创作

创作时间：二零二一年六月三十日 在平常教学中, 立体几何的多面体与球的位置关系, 是培养学生的立体感, 空间想象能力的好教材.可是学生在两个几何体的组合后, 往往感到无从下手.针对这种情况, 笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：

一．正四面体与球

如图所示, 设正四面体的棱长为a, r为内切球的半径, R为外接球的半径.则高SE=23S a,斜高SD=34a, OE=r=SE-SO, 又

O A D E C F SD=BD,BD=SE-OE,则在 r=66a.R=SO=OB=a 124B

特征分析：

1． 由于正四面体是一个中心对成图形, 所以它的内切球与外接

球的球心为同一个.

2． R=3r. r=66a R=a.此结论可以记忆. 124例题一.1、一个四面体的所有棱长都为2, 四个极点在同一球面上, 则此球的概况积为（ ）

创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日

66a=4432分析：借助结论, R=2=,所以S=4R2=3.

2、球的内接正四面体又有一个内切球, 则年夜球与小球的概况积之比是（ ）

分析：借助R=3r, 谜底为9：1.

二、特殊三棱锥与球 四个面都是直角三角形的三棱锥. SA面ABC,ABC为直角三角形，BCAB 因为SAAC, SBBC, 球心落在SC 的中点处.所以R=SC2S S O O C .

C

A A 三．正方体与球. 1．正方体的外接球

B B 即正方体的8个定点都在球面上.

B A O 关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面.设正方体的边长为a, 则AB=2a, BD=2R, AD=a, R=32a.

C

C D D 2． 正方体

的内切球. （1）与正方体的各面相 切.如图：ABCD为正方

创作时间：二零二一年六月三十日

A

B

创作时间：二零二一年六月三十日

体的平行正面的正方形. R= （2）与正方体的各棱相切.

A B a2如图：年夜圆是正方形ABCD的外接圆.AB=CD=a, R=22a.

D C 3． 在正方体以一个极点为交点的三条棱组成的三棱锥, 特征

是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等, 它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球, 再求解.

例题：1.正方体的全面积是24, 它的极点都在同一球面上, 这个球的概况积是

解析：显然, 球是正方体的外接球, a=2, 则R=323, S=122.

2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切, 则球的体积 解析：如果明确了上面的结论, 问题很容易解决.R==V=23221==22 3．将棱长为1 的正方体削成体积最年夜的球, 则球的体积为 解析：削成体积最年夜, 即要求球是正方体的内切球, 与正方体的俄各面都相切.R=, V=.

4．P、A、B、C、是球O面上的四个点, PA、PB、PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积是

创作时间：二零二一年六月三十日

1243创作时间：二零二一年六月三十日

解析：同过条件分析, 可采纳把三棱锥补形成正方体, 则球是正方体的外接球, 所以R=32, V=32.

四、正棱柱与球 1．正三棱柱外接球.

如图所示：过A点作AD垂直BC,D为三角形ABC的中心, D1同样获得.

O A1D1B1 C1 则球心O必落在DD1的中点上.利用三角形OAD为直角三角形, OA=R,可求出R.

2.正四棱柱外接球.

事理与上面相似.主要是找截面, 构造直角三角形, 利用勾股定理求得.

例题：1.已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱, 则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图, OA=21,OD=, AD=求a＝6, V=3.

A A C D B

a23a, 可3B 2. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个极点都在半

O 径为R的球面上, 则正四棱柱的正面积有最值, 为

解析：截面如图：ABCD为正四棱柱的体对角面OD=R, 设AD=a, 底面正方形的边长为b,

创作时间：二零二一年六月三十日

D C 创作时间：二零二一年六月三十日

则有DC=

2b, 则R=（a/2）+（

22

2b/2）,

2

S=4ba2a22b2=42R2.

五、长方体与球 1．长方体的外接球.

截面图如右图：实质构造直角三角形, 联系半径与长方体的长宽高.半径为体对角线的一半.

2．在长方体以一个极点为交点的三条棱组成的三棱锥, 特征是：三棱锥的三

条侧棱互相垂直不相等, 它的外接球可把三棱锥补形生长方体的外接球, 再求解.

例题：一个三棱锥三条棱两两垂直, 其长分别是3, 4, 5, 则它的外接球的概况积是

解析：同过条件分析, 可采纳把三棱锥补形生长方体, 则球是长方体的外接球, 所以R=522D A B O C , S=50.

创作时间：二零二一年六月三十日 创作时间：二零二一年六月三十日