人教版九年级数学上册第二十三章旋转压轴题专题训练【含答案】

1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°

（1）观察猜想

将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　　°．（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展

将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转　　°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）

2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

，PC＝1，求

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝　　°，所以∠BPC＝∠AP′B＝　　°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为　，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝　　°，∠BPC＝∠AP′B＝　　°，等边

三角形ABC的边长为　　．

（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

，PB＝

3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．

（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值．

（2）探究：当m为何值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值．

4．问题的提出：

如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？

问题的转化：

把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定

PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．

问题的解决：

当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置　　．问题的延伸：

如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

5．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，

的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直

请你帮他求出此时BE的长．

6．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为　　；（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；

（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．

（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　　度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．

（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．

8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．

（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3EF，求线段EF的长；

，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接

（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．

10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE；

（2）当α等于多少度时，四边形AFDE是平行四边形？并说明理由．

11．如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，

①求证：DA＝CE；

②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．

12．已知如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，

∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F．

（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；

（2）将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EF＝EH，连接AB，BH，试判断△ABH的形状，并说明理由．

13．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD

上，连接BE，BG，且BG交AE于P．（1）求证：∠CBE＝

∠BAE；

（2）求证：BG＝2PB；（3）若AB＝

，BC＝3，直接写出BG的长．

14.如图①，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°．

（1）求∠BCD的度数；

（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．

15．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4

，求点G到BE的距离．

16．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．

（1）求证：BF＝NF；

（2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长；（3）已知∠MEF＝30°，求

的值．

参

1．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°

（1）观察猜想

将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝　105　°．（2）操作探究

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展

将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转　75或255　°时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON，

∴∠DON＝∠MPN＝×90°＝45°，

∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，

∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，∵CD∥MN，

∴∠OFD＝∠M＝60°，

在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，

当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，

∴∠DFO＝∠M＝60°，

在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°+180°＝255°，

综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．故答案为：75或255．

2．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求

∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝　150　°，所以∠BPC＝∠AP′B＝　150　°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为　

　，问题得到解决．

（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝　150　°，∠BPC＝∠AP′B＝　150　°，等边三角形ABC的边长为　

　．

，PB＝

（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

解：（1）根据旋转可知：

∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等边三角形ABC的边长为故答案为150°、150°、

．．

（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．

连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，∵PB＝BP′＝

，∠PBP′＝90°，

∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．

在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝∵12+22＝（

）2，

，

即AP′2+PP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°．∴∠AP′B＝135°，∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．

过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B＝45°．又∵BP′＝

，

∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵BE＝1，AE＝2，∴由勾股定理，得AB＝

．

．．

综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为

3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m≥0，四边形ABCD是菱形．

（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值．

（2）探究：当m为何值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值．

解：（1）如图1中，作DF⊥y轴于F．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠DFA＝∠AOB＝90°，∴∠DAF+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DFA≌△AOB（AAS），∴DF＝AB，AF＝OB，

∵A（0，3），D（n，4），∴OA＝3，OF＝4，AF＝1，∴DF＝3，OB＝1，∴m＝1，n＝3．

（2）如图2中，作DF⊥y轴于F，CE⊥x轴于E．

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，

∵AD∥BC，DF∥BE，

∴∠ADF＝∠CBE，∵∠AFD＝∠CEB＝90°，∴△DFA≌△BEC（AAS），∴EC＝AF＝1，

∴点C的运动轨迹是直线y＝1，

由题意m＞0，观察图形可知当点B与原点重合时，AC的值最小，此时菱形的边长＝3，

作CH⊥OA于H．则CH＝，

∴AC的最小值为24．问题的提出：

．

＝2，AC＝＝＝2

如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？问题的转化：

把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定

PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．

问题的解决：

当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置　∠APB＝∠APC＝120°　．问题的延伸：

如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．解：问题的转化：

如图1，由旋转得：∠PAP'＝60°，PA＝P'A，

∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA，∵PC＝P'C，

∴PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．问题的解决：

满足：∠APB＝∠APC＝120°时，PA+PB+PC的值为最小；

理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，∵∠APB＝120°，∠APP'＝60°，∴∠APB+∠APP'＝180°，∴B、P、P'在同一直线上，

由旋转得：∠AP'C'＝∠APC＝120°，∵∠AP'P＝60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P＝180°，∴P、P'、C'在同一直线上，∴B、P、P'、C'在同一直线上，∴此时PA+PB+PC的值为最小，故答案为：∠APB＝∠APC＝120°；问题的延伸：

如图3，Rt△ACB中，∵AB＝2，∠ABC＝30°，∴AC＝1，BC＝

，

把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'C'，BC＝BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'＝PB，

∵∠ABC＝∠APB+∠CBP＝∠APB+∠C'BP'＝30°，∴∠ABC'＝90°，由勾股定理得：AC'＝

＝

＝

，

∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'＝AC'＝，

．

则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为

5．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；

的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△ABE，∴∠AGD＝∠AEB，∵∠HBG＝∠EBA，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∴DG⊥BE；

（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，∵ABCD和AEFG为正方形，∴在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS），

∴DG＝BE，∵∠APD＝90°，∴AP＝DP＝∵AG＝2∴PG＝

，

＝

，

，

∴DG＝DP+PG＝∵DG＝BE，∴BE＝

+

．

+，

6．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为　AC＝CN　；

（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；

（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

解：（1）AC与CN数量关系为：AC＝CN．理由如下：∵△BAD≌△BCE，∴BC＝AD，EC＝AB．∵EN∥AD，∴∠MEN＝∠MDA．在△MEN与△MDA中，

，

∴△MEN≌△MDA（ASA），∴EN＝AD，∴EN＝BC．

在△ABC与△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC＝CN．

（2）结论仍然成立．理由如下：

与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN＝BC．设旋转角为α，则∠ABC＝120°+α，

∠DBE＝360°﹣∠DBA﹣∠ABC﹣∠CBE＝360°﹣30°﹣（120°+α）﹣60°＝150°﹣α．∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝

（180°﹣∠DBE）＝15°+

α．

∵EN∥AD，

∴∠MEN＝∠MDA＝∠ADB+∠BDE＝60°+（15°+

α）＝75°+

α．

∴∠CEN＝∠CEB+∠BED+∠MEN＝30°+（15°+α）+（75°+α）＝120°+α，

∴∠ABC＝∠CEN．在△ABC与△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），∴AC＝CN．

（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．如下图所示：

此时旋转角为60°或240°，点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC．

（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　160　度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．

（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD．

解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1＝20°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA1＝90°﹣20°＝70°，∴∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1，＝70°+90°，

＝160°；

②∵AB⊥A1B1，

∴∠A1DE＝90°﹣∠B1A1C＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACA1＝∠A1DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴旋转角为30°；

（2）∵AB∥CB1，

∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°，∵∠BAC＝30°，∴CD＝

AC，

又∵由旋转的性质得，A1C＝AC，∴A1D＝CD．

8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD+CE＝AD+BE；

（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，而AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，

∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）如图3，

∵△ABC中，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，CE＝AD，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD；

DE、AD、BE之间的关系为DE＝BE﹣AD．

9．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，且∠ADB＝90°．（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD＝3EF，求线段EF的长；

（2）如图2，若△ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与△ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：∠DAH＝∠DBH．

，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接

（1）解：如图1，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，

设BD＝x，则AB＝2x，由勾股定理得：

，

x＝3或﹣3（舍），∴AB＝2x＝6，∵AC＝AB＝6，

∵点E、F分别为AB、BC边的中点，∴EF＝

AC＝3；

（2）证明：如图2，由旋转得：△ADB≌△AGC，∴AG＝AD，∠AGC＝∠ADB＝90°，CG＝BD，∴∠AGD＝∠ADG，∵∠ADB＝90°，∴∠ADG+∠BDH＝90°，∵∠AGD+∠MGC＝90°，∴∠MGC＝∠BDH，

在GH上取一点M，使GM＝DH，∴△CGM≌△BDH，

∴CM＝BH，∠GCM＝∠DBH，

∵∠CMH＝∠MGC+∠MCG，∠CHM＝∠BDH+∠DBH，

∴∠CMH＝∠CHM，∴CM＝CH＝BH，∵AC＝AB，

∴AH⊥BC，即∠AHB＝90°＝∠ADB，∵∠AOD＝∠BOH，∴∠DAH＝∠DBH．

10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE；

（2）当α等于多少度时，四边形AFDE是平行四边形？并说明理由．

（1）证明：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；

（2）当∠BAD＝108°时，四边形AFDE是平行四边形，理由如下：∵∠BAD＝108°，AB＝AD，∴

，

∴∠DAE＝∠ADB，∴AE∥FD，

又∵∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝72°，∴

，

∴∠CAD＝∠ADE，∴AF∥ED，

11．如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；

②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．

（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，

在等边△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，∵∠CBE＝60°+∠FBA，∴∠DBA＝∠CBE，∴△BAD≌△BEC，∴DA＝CE；

②∠DEC+∠EDC＝90°，∵DB＝DC，DA⊥BC，∴

，

∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC＝90°；

（2）分三种情况考虑：

①当点A在线段DF的延长线上时，由（1）可得，△DCE为直角三角形，

∴∠DCE＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，由（1）得DA＝CE，∴CD＝DA，

在等边△DBC中，BD＝CD，∴BD＝DA＝CD，∴∠BDC＝60°，∵DA⊥BC，∴

，

在△BDA中，DB＝DA，∴

，

在△DAC中，DA＝DC，∴

，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．；②当点A在线段DF上时，

∵以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°，

在等边△BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°，

∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC，即∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，

在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC，

∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，

由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°．

③当点A在线段FD的延长线上时，同第②种情况可得△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB，

在等边△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DA⊥BC，∴

，

∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°，∴∠ECB＝∠ADB＝150°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°，

当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，

∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AD＝CD＝BD，

∵∠ADB＝∠ADC＝150°，∴

，

，

∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，综上所述，∠BAC的度数为150°或30°．12．已知如图，△ADC和△BDE均为等腰三角形，

∠CAD＝∠DBE，AC＝AD，BD＝BE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F．

（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；

（2）将图1中△BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EF＝EH，连接AB，BH，试判断△ABH的形状，并说明理由．

解：（1）∵AC∥EF，∴∠ACG＝∠FEG，∵点G为CE的中点，∴CG＝EG，

又∵∠AGC＝∠FGE，∴△ACG≌△FEG，∴AG＝FG，∴G为AF的中点；

（2）△ABH为等腰三角形．理由：同（1）可证△ACG≌△FEG，∴AC＝FE，

又∵AC＝AD，FE＝HE，∴AD＝HE，①∵AC∥EF，

∴∠GFE＝∠CAD＝∠DBE，∵EF＝EH，∴∠EFH＝∠EHF，∵∠EFH+∠GFE＝180°，∴∠FHE+∠DBE＝180°，

∴四边形BDHE中，∠BEH+∠BDF＝180°，又∵∠BDA+∠BDF＝180°，∴∠BEH＝∠BDA，②又∵BD＝BE，③

∴由①②③，可得△ADB≌△HEB，

∴AB＝HB，即△ABH是等腰三角形．

13．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P．（1）求证：∠CBE＝

∠BAE；

（2）求证：BG＝2PB；（3）若AB＝

，BC＝3，直接写出BG的长．

解：（1）∵矩形ABCD中，∠CBA＝90°，∴∠CBE+∠ABE＝90°，即2∠CBE+2∠ABE＝180°，①由旋转可得，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，

∴∠BAE+2∠ABE＝180°，②由①②可得，∠BAE＝2∠CBE，

∴∠CBE＝∠BAE；

（2）如图，过B作BH⊥AE于H，则∠C＝∠BHE＝90°，由（1）可得，∠ABE＝∠AEB，∵AB∥CE，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠BEC＝∠BEH，即BE平分∠CEH，∴BH＝BC，

由旋转可得，AG＝AD＝BC，∠GAP＝∠BAD＝90°，∴AG＝HB，∠GAP＝∠BHP，又∵∠APG＝∠HPB，∴△APG≌△HPB，∴GP＝BP＝

BG，

即BG＝2PB；

（3）∵AB＝，BC＝3＝BH，

＝4

，

∴Rt△ABH中，AH＝

∵△APG≌△HPB，∴PH＝AP＝

AH＝2

，

∴Rt△BHP中，BP＝＝，

∴BG＝2BP＝2．

14．如图①，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上且∠ADC＝45°．

（1）求∠BCD的度数；

（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．解：（1）∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠CBA＝∠CAB＝30°，∵∠ADC＝45°，

∴∠BCD＝∠ADC﹣∠CBA＝15°＝∠BC'D'；

（2）①由旋转可得CB＝C'B＝AC，∠C'BD'＝∠CBD＝∠A＝30°，

∴∠CC'B＝∠C'CB＝75°；

②证明：∵AC＝C'B，∠C'BD'＝∠A，∴∠CEB＝∠C'CB﹣∠CBA＝45°，∴∠ACE＝∠CEB﹣∠A＝15°，∴∠BC'D'＝∠BCD＝∠ACE，在△C'BD'和△CAE中，

，

∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．

15．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE＝DG；

（2）如图3，如果α＝45°，AB＝2，AE＝4，求点G到BE的距离．

解：（1）由旋转的性质可知：∠BAE＝∠DAG，由正方形的性质可知：AB＝AD，AE＝AG．

∵在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG．∴BE＝DG．

（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．

当α＝45°时，则∠BAE＝45°．∵∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠EAH＝∠GAH＝45°．又∵AE＝AG，∴AH⊥GE．

又∵AH⊥AB，∠EAH＝45°，∴△AHE为等腰直角三角形．∴EH＝AH＝

AE＝4．

∴EG＝2EH＝8．

∴S△BEG＝

EG•AH＝×8×4＝16．

设点G到BE的距离为h．BE＝＝2

S△BEG＝EB•h＝16，即×2

•h＝16，解得h＝．

∴点G到BE的距离为．

16．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．

（1）求证：BF＝NF；

（2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长；（3）已知∠MEF＝30°，求

的值．

解：（1）连结BE，EN，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BFE＝90°，由旋转得BE＝EN，∴BF＝NF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BF＝AE，EF＝AB，

由旋转得EH＝EA，∵BF＝NF，∴EH＝NF，

∵∠BFE＝∠GHE＝90°，∠NGF＝∠HGE，∴△NGF≌△HGE，∴FG＝GH，

设EG＝x，则GF＝GH＝2﹣x，由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2＝1，解得x＝

，

∴EG＝；

（3）∵EF∥DC，

∴∠DME＝∠MEF＝30°，设DE＝x，∵∠D＝90°，

∴ME＝DC＝AB＝2x，DM＝∴MC＝（2﹣

）x，

x，

∵∠NME＝90°，∠DME＝30°，∴∠NMC＝60°，∴∠MNC＝30°，∴MN＝2MC＝2（2﹣

）x，

∴BC＝AD＝DM+MN＝2（2﹣∴

＝

．

）x+x＝（5﹣2）x，