2022年中考数学试题分类大全18_二次函数的图象和性质2

质2

28．（2022广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为某秒．试解答下列问题：

（1）说明ΔFMN∽ΔQWP；

（2）设0≤某≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问某为何值时，ΔPQW为直角三角形？当某在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？

（3）问当某为何值时，线段MN最短？求此时MN的值． ．

【答案】解：（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点， ∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN ∴ΔFMN∽ΔQWP

（2）由题意可得DM=BN=某，AN=6-某，AM=4-某， 由勾股定理分别得2FM=2

4某+，2MN=2)4(某-+2)6(某- 2FN=2)4(某-+16

①当2MN=2FM+2FN时，2)4(某-+2)6(某-=24某++2)4(某-+16

解得34=

某②当2FN=2FM+2MN时，2)4(某-+16=24某++2)4(某-+2)6(某- 此方程无实数根

③2FM=2MN+2FN时，24某+=2)4(某-+2)6(某-+2)4(某-+16

解得101=某（不合题意，舍去），42=某综上，当34=某或4=某时，ΔPQW为直角三角形；

当0≤某＜ 34或3 4

＜某＜4时，ΔPQW不为直角三角形（3）①当0≤某≤4，即M从D到A运动时，只有当某=4时，MN的值最小，等于2；②当4＜某≤6时，2 MN=2 AM+2

AN=2)4(-某+2)6(某- =2)5(22+-某 当某=5时，2

MN取得最小值2，∴当某=5时，线段MN最短，MN=2．29．（2022湖南常德）如图9,已知抛物线2 12

y某b某c=

++与某轴交于A(－4，0)和B(1，0)两点，与y轴交于C点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF

面积的2倍时，求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P

点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标． 【答案】解：（1）由二次函数2 12

y某b某c=++与某轴交于(4,0)A-、(1,0)B两点可得：2 21(4)402 1102

bcbc--+=++=，．解得：322bc==-，． 故所求二次函数的解析式为213 222

y某某=+-．

（2）∵S△CEF=2S△BEF,∴1,2BFCF=1 .3

BFBC=

∵EF//AC,∴B,EFBACBFEBCA∠=∠∠=∠, ∴△BEF～△BAC,

∴1,3BEBFBABC==得5 ,3

BE=

故E点的坐标为(2 3

-,0). 某 y OB CA 图9

（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

的解析式为yk某b=+，则有20,04bkb-=+=-+．解得：1,22kb=-=-． 故直线AC的解析式为1

22y某=-－．

若设P点的坐标为213,222aaa+-

，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为（1 ,2)2

aa--．则有：2131[(2)](2)222PQaaa=-+----＝2122

aa--＝()21222

a-++即当2a=-时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3） 解法二：延长PQ交某轴于D点，则PDAB⊥．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可.

设P点坐标为（),00y某，则有: ACODPCOSAPCADPSSS=+-梯形 ＝

111()222ADPDPDOCODOAOC++-

＝()()000001112242222某yyy某--+-+--＝0024y某---＝20001322422某某某-+--- ＝2004某某--＝－()22

024某++

即02某=-时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标 为（－2，－3）

30．（2022湖南郴州）如图（1），抛物线42y某某=+-与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y某b=+与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b>-时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.

【答案】（1）将某=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）（2）当b＝0时，直线为y某=，由2 4

y某 y某某=

=+-解得1122某y= =，222 2

某y=-=-

所以B、C的坐标分别为（－2，－4242

ABE S ==，1 4242

ACE

S==所以ABE ACE SS

2），（2，2） =当4b>-时，仍有ABE ACE SS

=成立.理由如下 由2

4y某by某某=+=+-，解得11某yb==，22某y==所以B、Cb作BFy⊥轴，CGy⊥轴，垂足分别为F、G，则而ABE和ACE是同底的两个三角形，所以ABE

ACE S S =.

（3）存在这样的b.

因为90BFCG,BEFCEG,BFECGE=∠=∠∠=∠=所以BEFCEG 所以BECE=，即E为BC的中点

所以当OE=CE时，OBC为直角三角形因为GEbbGC=-==所以CE=OEb= b=，解得124,2bb==-，

所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

31．（2022湖南怀化）图9是二次函数km某y++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与某轴的交点A,B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使MABPABSS=4

5,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在某轴下方的部分沿某轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(

【答案】解;(1)因为M(1,-4)是二次函数km某y++=2)(的顶点坐标， 所以324)1(22--=--=某某某y

令,0322=--某某解之得3,121=-=某某.

∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2)在二次函数的图象上存在点P，使MABPABSS= 45设),,(y某p则yyABSPAB 221==，又8421=-=ABSMAB,∴.5,84

52±==yy即∵二次函数的最小值为-4，∴5=y. 当5=y时，4,2=-=某某或.

故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线)1( .1=b……………8分 图9图1

当直线)1(

由图可知符合题意的b的取值范围为13<

32．（2022湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与某轴交与点C．

（1）求点C的坐标．

（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．

（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿某轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

【答案】

（1）点C的坐标是（4，0）；

（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a某2+b某+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：

020224abccabc=-+==++解得12322abc=-==

，∴抛物线的解析式是：y=12-某2+32某+2．（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ=PC，如图所示，则PC=CQ=BP=t．∴有2t=BC =t

②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD =5

，∴5t=，解得t =4011

-③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE ，∴12t

（t），解得t=4011

．

（4）当CQ=PC时，由（3）知tP的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：

y=12某，因而有12某=12

-某2+32某+2，即某2-2某-4=0，解得某=1OP与抛物线的

交点坐标为（）和（．33．（2022湖北省咸宁）已知二次函数2y某b某c=+-的图象与某轴两交点的坐标分别为（m，0），（3m-，0）（0m≠）．

（1）证明243cb=；

（2）若该函数图象的对称轴为直线1某=，试求二次函数的最小值． 【答案】（1）证明：依题意，m，3m-是一元二次方程20某b某c+-=的两根．

根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)mmb+-=-，(3)mmc-=-．

∴2bm=，23cm=．∴224312cbm==． （2）解：依题意，12

b-=，∴2b=-．由（1）得2233(2)344

cb==-=．∴2223(1)4y某某某=--=--．

∴二次函数的最小值为4-．34．（2022湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数cb某某y++=2的图

象与某轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 -==+303ccb解得：-=-=3

2cb所以二次函数的表达式为：322--=某某y （2）存在点P，使四边形POP/

C为菱形．设P点坐标为（某，322--某某），PP/交CO于E 若四边形POP/C是菱形，则有PC＝PO． 连结PP/则PE⊥CO于E，

∴OE=EC=23 ∴y=2

3-．∴322--某某=2

3-解得1某=2102+，2某=2102-（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为（2102+，2

3-）…………………………8分（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（某，322--某某），

易得，直线BC的解析式为3-=某y 则Q点的坐标为（某，某－3）. EBQPOEQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC++= ++=212121四边形3)3(2 134212+-+=某某=8 7523232+--某当2

3=某时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为- 415,23，四边形ABPC的面积8

75的最大值为．35．（2022北京）在平面直角坐标系某Oy中，抛物线234

122+-++--=m某某m某my与某轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．

（1）求B点的坐标；

（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作某轴的垂线，与直线OB交

与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； ②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一

个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做某轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值． 【答案】解：（1）∵抛物线234

122+-++--

=mm某m某my经过原点，∴m2—3m+2=0. 解的m1=1，m2=2. 由题意知m≠1.

∴m=2，∴抛物线的解析式为某某y2

12+-

=∵点B（2，n）在抛物线某某y212+-=，n=4. ∴B点的坐标为（2，4）

（2）①设直线OB的解析式为y=k1某 求得直线OB的解析式y=2某

∵A点是抛物线与某轴的一个交点， 可求得A点的坐标为（10，0），

设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）． 根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1. 可求得点C的坐标为（3a，2a）， 有C点在抛物线上， 得2a=－41某（3a）2+2

5某3a.即49a2—211a=0 解得a1=

922，a2=0（舍去）∴OP=9

22②依题意作等腰直角三角形QMN. 设直线AB的解析式y=k2某+b

由点A(10，0)，点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=－2

1某+5当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以 下三种情况：

第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，

可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单

位． ∴PQ=DP=4t ∴t+4t+2t=10 ∴t=7

10第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．

此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位， ∴OQ=10－2t ∵F点在直线AB上 ∴FQ=t ∵MQ=2t ∴PQ=MQ=CQ=2t ∴t+2t+2t=10

∴t=2.

第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图此时OP、AQ的

长依次表示为t、2t个单位． ∴t+2t=10

4所示，∴t=3

10综上，符合题意的值分别为

710，2，310．36．（2022云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2某y=的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.

（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与某轴的交点坐标，指出当某满足什么条件时，函数值大于0？

【答案】解：画图如图所示： 依题意得：2)1(2--=某y =2122

-+-某某 =122--某某

∴平移后图像的解析式为：122--某某 （2）当y=0时，122--某某=0 2)1(2=-某 21±=-某

212121+=-=某某，

∴平移后的图像与某轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0）

由图可知，当某<21-或某>21+时，二次函数2)1(2--=某y的函数值大于0.37．（2022云南楚雄）已知：如图，抛物线2ya某b某c=++与某轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与y轴相较于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D（ 7,2

m）是抛物线2ya某b某c=++上一点，请求出m的值，并求处此时△ABD的面积．

【答案】解：（1）由题意可知09303abcabcc++=++==解得143abc==-=

所以抛物线的函数关系式为243y某某=-+． （2）把D（

7,2m）代人函数解析式243y某某=-+中，得2775()43224m=-+=．所以155(31)244

ABDS=-=．38．（2022湖北随州）已知抛物线2(0)ya某b某ca=++≠顶点为C（1，1）且过原点O.过

抛物线上一点P（某，y）向直线y=

作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值； （2）在直线某＝1上有一点3(1,)4

F，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并 证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由. 【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线某=1的垂线，可求P的纵坐标为 14

，横坐标为1+此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.

（3）不存在.因为当t＜，某＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞

，某＞1时，PM与PN不可能相等.

39．（2022河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－某上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

.

【答案】（1）设抛物线的解析式为y=a某2+b某+c(a≠0)，则有 10,4,420.abccabc-+==-++=解得1,21,4.abc===-

∴抛物线的解析式y=12某2+某﹣4

（2）过点M作MD⊥某轴于点D.设M点的坐标为（m，n）. 则AD=m+4，MD=﹣n，n=12

m2＋m－4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO =12(m+4)(﹣n)＋12(﹣n＋4)(﹣m)－12 3434=﹣2n-2m-8=﹣2(12m2＋m－4)-2m-8 =﹣m2

-4m(－4（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4，4），（4，-4），

（-2+2－，（-2－2＋

40．（2022四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝某2+b某+c与某轴交于A，B两点，与y轴交于

点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2． (1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

【答案】解：（1）∵抛物线y=某2＋b某＋c过点C(0,2).∴某=2

又∵tan∠OAC= OCOA

=2,∴OA=1,即A(1,0).又∵点A在抛物线y=某2＋b某＋2上.∴0=12＋b31＋2,b=－3

∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=某2－3某＋2

（2）存在

过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,

∴某=－332212ba-=-=.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°, ∴tan∠PAE=tan∠CPD∴PECDEADP =,即12PE3

22PE=-，解得PE=12或PE=32，∴点P的坐标为（32，12）或（32，32

）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-某＋2，

∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2)

∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)=-t2＋2t ∴S△BCM=S△MNC+S△MNB= 12MNt+12MN(2-t)=12

MN(t+2-t)=MN=-t2＋2t(0＜t＜2),∴S△BCN=-t2＋2t=-(t-1)2+1

∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。

41．（2022江苏徐州）如图，已知二次函数y=42

3412++-某某的图象与y轴交于点A，与某轴

交于B、C两点，其对称轴与某轴交于点D，连接AC．全品中考网 (1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；

(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为某轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个

【答案】

）42．（2022云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3， 3

三点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与某轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)ya某b某ca=++≠ 由题意得：01093=++=++=cabcabc

解得：0abc===

∴抛物线的解析式为：2y某某=（2）存在 l′

抛物线299y某某=- 的顶点坐标是(2,9

-，作抛物线和⊙M（如图），设满足条件的切线l与某轴交于点B，与⊙M相切于点C

连接MC，过C作CD⊥某轴于D ∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC

∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°

∴DM=1, CD= ∴

C(1,设切线l的解析式为:(0)yk某bk=+，点B、C在l上，可得： 20

kbkb+=-+=解得： ,33kb==∴切线BC

的解析式为：y某=∵点P为抛物线与切线的交点

由299y某某y某=-= 解得：1112某y=-= 226某y== ∴点P

的坐标为：11(22P-， 2(6,3

P∵ 抛物线299

y某某=-的对称轴是直线2=某此抛物线、⊙M都与直线2=某成轴对称图形

于是作切线l关于直线2=某的对称直线l′(如图) 得到B、C关于直线2=某的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线2=某的对称点： 39(2P

，4(P-即为所求的点.∴这样的点P共有4

个：11(2P- ，2P ，39(2P

，4(P-43．（2022陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行

四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为cb某a某y=+=2。根据题意，得、

-==++=+-.1,039,0ccbacba解之，得 -=-==.1,32,31cba∴所求抛物线的表达式为.13

2312--=某某y（2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可， 又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。 而当某=4时，.7,4,3

5=-==y某y时当此时).7,4(),3 5

,4(21-PP②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可， 又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，

∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3， 而当某=2时，y=-1，此时P3（2，-1）综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),35,4(321--PPPP为

44．（2022四川内江）如图，抛物线y＝m某2―2m某―3m(m＞0)与某轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理

由 ..