蠡县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

蠡县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2

关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．1＜e＜

B．e＞

C．e＞

D．1＜e＜

2． 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

A． B． C． D．

3． 若向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，则实数m的值为（ ） A．﹣ B．

C．2

D．6

4． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A．1：2：3 点位于（ ）

A．点A处 B．线段AD的中点处

C．线段AB的中点处 D．点D处

26． 已知抛物线C：y4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

B．2：3：4

C．3：2：4

D．3：1：2

5． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15)

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7． 已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3

B．a=﹣3

C．a=±3

D．a=5或a=±3

8． 下列函数在（0，+∞）上是增函数的是（ ） A．

B．y=﹣2x+5

C．y=lnx

D．y=

9． 已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A．

B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）

C．x3＞y3 D．sinx＞siny

10．在复平面内，复数（﹣4+5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（ ） A．{﹣1，0，1，2，4}

B．{﹣1，0，2，4}

C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}

12．利用性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（ ） P（K2＞k） k 0.455 A．25%

0.50 0.708

0.40 0.25 1.323 2.072 B．75%

0.15 0.10 2.706 3.841

C．2.5%

x

0.05 5.024

0.025 0.010 6.635 7.879 D．97.5%

0.005 0.001 10.828

二、填空题

13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxe2x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

，则sin（α+

）= ．

，则

x0，使得fx00，则a的取值范围是

14．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=

15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为圆的方程为 ．

16．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

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17．已知（x2﹣

））的展开式中第三项与第五项的系数之比为

n

，则展开式中常数项是 ．

18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）已知函数fxaxbxlnx（a,bR）．

21（2）当a0时，是否存在实数b，当x0,e（e是自然常数）时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求

（1）当a1,b3时，求函数fx在,2上的最大值和最小值；

2出b的值；若不存在，说明理由；

20．已知函数f（x）=alnx+（I）求a、b的值；

（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞

恒成立，求实数k的取值范围．

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．

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21．（本小题满分10分）

已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

22．已知函数f（x）=cos（ωx+；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为

（1）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；

（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值时所对应的x的集合．

23．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)

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24．本小题满分10分选修44：坐标系与参数方程选讲

2x3t2在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长y52t2度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆C的方程为25sin． Ⅰ求圆C的圆心到直线的距离；

Ⅱ设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求PAPB．

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蠡县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO=设直线PF1：y=

=

c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

（x+c），

22222222

代入双曲线方程，可得，（3b﹣a）x﹣2cax﹣ac﹣3ab=0，

则方程有两个异号实数根，

222222

则有3b﹣a＞0，即有3b=3c﹣3a＞a，即c＞

a，

则有e=＞．

故选：B．

2． 【答案】 A

【解析】解：考虑当向高为H的水瓶中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系． 如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V＜水瓶的容积的一半． 对照选项知，只有A符合此要求． 故选A．

【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、几何体的体积的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 3． 【答案】A

【解析】解：因为向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，

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所以﹣3=2m， 解得m=﹣． 故选：A．

【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．

4． 【答案】D 则球的体积V球=

3圆柱的体积V圆柱=2πR

【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，

3

=3：1：2

圆锥的体积V圆锥=

：

故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR：故选D

【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．

5． 【答案】A

【解析】解：如图，

E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E， 对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置， 面BCD1 的面积为定值，

要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大， 而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，

∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大． 故选：A．

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【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

6． 【答案】D 【解析】

考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题

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得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 7． 【答案】B

2

∴2a﹣1=9或a=9，

2

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

2

当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；

∴a=﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．

8． 【答案】C

【解析】解：对于A，函数y=

在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意；

对于B，函数y=﹣2x+5在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴不满足题意； 对于C，函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意； 对于D，函数y=在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意． 故选：C．

【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题，是基础题目．

9． 【答案】C

xy

【解析】解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，

不成立，因此不正确；

22

对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立； 333

对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；

对于D．取y=﹣故选：C．

π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．

10．【答案】B

【解析】解：∵（﹣4+5i）i=﹣5﹣4i， ∴复数（﹣4+5i）i的共轭复数为：﹣5+4i，

∴在复平面内，复数（﹣4+5i）i的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限．

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故选：B．

11．【答案】A

【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A．

【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．

12．【答案】D

【解析】解：∵k＞5、024，

而在观测值表中对应于5.024的是0.025， 故选D． 必得分的题目．

∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，

【点评】本题考查性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们

二、填空题

13．【答案】

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

,故当

时,

单调递增;故且

,解之得,函数

在直线单调递减; ,而当,应填答案

【解析】试题分析:设

的下方.因为

当时,

时,

,函数

,故当

3,1. 2e考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化

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为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得14．【答案】：

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+

）

=．

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

，

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值，

）＞0，

=

．

故答案为：

．

===

15．【答案】 （x﹣1）2+（y+1）2=5 ．

【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r， ∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心（a，b）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①

222

且（2﹣a）+（1﹣b）=r；②

又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，

=

，

且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d=

22

根据垂径定理得：r﹣d=

，

即r﹣（

22

）=③；

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由方程①②③组成方程组，解得；

22

∴所求圆的方程为（x﹣1）+（y+1）=5．

故答案为：（x﹣1）+（y+1）=5．

16．【答案】 ②④

【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），

2

2

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=

2

（k+1）﹣

k2，

2

（k+1），

圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

=

k2=2

k+

，

，

任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

22424

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

17．【答案】 45 ．

24

【解析】解：第三项的系数为Cn，第五项的系数为Cn， 由第三项与第五项的系数之比为

可得n=10，则Ti+1=C10（x）

i

2

10﹣i

（﹣iii）=（﹣1）C10

=，

88

令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）C10=45，

故答案为：45．

18．【答案】 3+

．

【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．

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前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个， 即

个，

个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第3+即为3+故答案为：3+

．

．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．

（2）当a0时，fxbxlnx．

假设存在实数b，使gxbxlnxx0,e有最小值3，

f(x)b1bx1．………7分 xx第 13 页，共 17 页

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①当b0时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)minfebe13,b②当04（舍去）．………8分 e111

e时，f(x)在0,上单调递减，在,e上单调递增， bbb

1∴f(x)ming1lnb3,be2，满足条件．……………………………10分

b14③当e时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)mingebe13,b（舍去），………11分

be2综上，存在实数be，使得当x0,e时，函数f(x)最小值是3．……………………………12分

20．【答案】

【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+f′（x）=﹣

的导数为

，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），

∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）当x＞1时，不等式f（x）＞即（k﹣1）lnx+

，即为（x﹣1）lnx+

＞（x﹣k）lnx，

＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，g′（x）=

+1+

=

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令g（x）=（k﹣1）lnx+

2

令m（x）=x+（k﹣1）x+1，

①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，

所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， 则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞②当

恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）上单调递减，

＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，

且m（1）＜0，故当x∈（1，所以函数g（x）在（1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，

）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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当x∈（1，）时，g（x）＜0与题设矛盾，

综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21．【答案】（1）,0【解析】

6,；（2）1,0.

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：

（1）当a4时，fx6，即恒成立，即1a0.

6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

x2x42x4或或，

4x2x64xx26x4x26解得x0或x6，不等式的解集为,06,；

考

点：不等式选讲． 22．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+∴ω=2，f（x）=cos（2x+令2x+

=kπ，求得x=

）． ﹣

，可得对称轴方程为 x=

≤x≤kπ﹣

，

﹣

，k∈Z．

）的图象的两对称轴之间的距离为

=

，

令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得 kπ﹣

可得函数的增区间为，k∈Z． （2）当2x+当2x+

=2kπ，即x=kπ﹣=2kπ+π，即x=kπ+

，k∈Z时，f（x）取得最大值为1． ，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣1．

，k∈Z}； ，k∈Z}．

∴f（x）取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣f（x）取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+

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23．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

f'(x)0对x0恒成立，即a(x1x)3对x0恒成立，

而当x0时，(x1x)3231，

∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x1x)3对x0恒成立， 这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

（2）由f(x)(1a)x22(a2)x2lnx0， 得(a1)x22(2a)x2lnx，

(11)x22x(lnxx)即alnxxx2，令r(x)lnxxx2，r'(x)x1x2lnxx3x3，得1x2lnx0的根为1，

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则

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考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24．【答案】

【解析】Ⅰ∵C:25sin ∴C:225sin ∴C:x2y225y0，即圆C的标准方程为x2(y5)25． 直线的普通方程为xy530． 所以，圆C的圆心到直线的距离为0553222x1x2x(y5)5Ⅱ由，解得或

y52y51yx53所以

32 ． 2|PA||PB|(31)2(552)2(32)2(551)232第 17 页，共 17 页