二次函数求线段的最大值邹小平

二次函数——线段最大值问题

邹小平

一前提知识:

二典型例题：

1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。 （1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；

（2）点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；

三变式练习: 2.变式1：

点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；

3.变式2：

点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC距离的最大值：

问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？

4.变式3：

①点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），连接PA,PC,求△PAC面积的最大值；

②①点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），连接PA,PC,求△PAC面积的最大值；

③①点P是直线ACy=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），连接PA,PC,求△PAC面积的最大值；

四直通中考：

1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。 （1）求点A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥ AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△ AEM的面积；

26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x+

2

x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴

于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣

x﹣

（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；

（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′

D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．

26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x+

2

x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴

于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣

x﹣

（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值； （2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒

个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′

D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．

【分析】（1）由S△FAD＝S△FAK﹣S△FDK＝求而出点F（，EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；

（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可． 【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），

），而FG+GE＝FG+GP，过点F作

过点D作DM⊥FK于点M， 令y＝﹣

x﹣

＝0，则点A（﹣1，0），

x+

2

设点F坐标为（x，﹣x+），则点K（x，﹣x﹣），

S△FAD＝S△FAK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO

＝（﹣当x＝﹣

x+

2

x++x+）×1＝﹣x+

2

x+，

＝时，S△FAD有最大值，

），

此时点F（，

点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P， 则∠PEG＝30°，∴GP＝GE， ∴FG+GE＝FG+GP，

过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小， 当x＝时，y＝﹣此时点G（，﹣FG+GE最小值为：

x﹣），

； ＝﹣

，

（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，

则C′C＝∴点C′（t，∴AE＝

2

，CF＝CC′＝﹣

′2

t，FC′＝CC′＝t，

）， ，

t），由（1）知点E（4，﹣

2

′2

，AC＝t+4，EC＝t﹣

2

t+

①当AC′＝EC′时， t+4＝t﹣

2

2

t+，解得：t＝；

②当AC′＝AE时， 同理可得：t＝③当AE＝EC′时， 同理可得：t＝5故：t的值为或

； 或5

或5

．

（舍去负值）；