人教版数学高一-浙江省衢州市仲尼中学高一数学《求解函数解析式》教案

教材分析：

本课内容是处于函数的定义和函数表示法学习之后的一节自备内容，虽然教材上没有，但是在高中数学的学习中求函数的解析式历来都是一个主打内容，习题中考试中都是比较常见的一类题目。因为有必要为学生总结并指导其处理此类问题的方法。

学情分析：函数这部分内容在初中已经考试涉及，随着高中学习的深入，函数的种类也不断增多，求函数解析式也是大部分学生学习函数的一个难点，很多学生不知道如何入手。 教学目标：

1、理解函数的定义，一般函数求值问题 （C类要求） 2、掌握配凑法，换元法，以及待定系数法的一般步骤 （B类要求） 3、熟练应用求解析式的三种方法，解决相应的函数解析式的求解问题（A类要求） 教学重点及难点：

配凑法，换元法，以及待定系数法的一般步骤及应用 教学过程： 一、复习回顾

（1）函数的定义：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

（2）函数的表示法：解析法，图像法，列表法

二、【求函数解析式的方法】

【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?

解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17， ∴f(x)=2x+7

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【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴ax+b(a+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1 【评注：】

待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

【换元法】（注意新元的取值范围）

已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设tg(x)，从而求得xg(t)，然后

132代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

【配凑法（整体代换法）】

若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，（如g(x)不存在反函数）可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

【例题3】已知f(x-1)= x-4x，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==(x1)-2(x-1)-3，∴f(x)=x-2x-3 f(x+1)=(x1)-2(x+1)-3=x-4，∴x-4=0，x=±2

解2：f(x-1)=x-4x，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=(x2)-4(x+2)=x-4，∴x-4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=(t2)-4(t+2)=t-4 ∴f(x+1)=x-4，∴x-4=0，∴x=±2

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评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。 解法1，采用配凑法；

解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3，采用换元法，

这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。

【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

【例题4】已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)．

1x1x113 把①中的x换成，得2f()f(x) ②，

xxx3①2②得3f(x)6x，

x1∴f(x)2x．

x【课堂小结：】

解： 2f(x)f()3x ①，

本节学习了函数解析式的一般求法：待定系数法，凑配法，换元法，方程组法 【板书设计：】

求函数的解析式 高中数学

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1.待定系数法 例1、【例1】已【例题3】已知练习： 知函数f(x)是一次函f(x-1)= x-4x，解数，且满足关系式方程f(x+1)=0 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+12 若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列 7，求f(x)的解析式。 方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 2凑配法 换元法 3 方程组法 练习：

（C类）（1）已知f(3x+1)=4x+3， 求f(x)的解析式. （2）已知f(x1)x3x2，求f(x),f(x3)

（B类）若f()21xx，求f(x). 1x（B类）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)； （A类）已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)．

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