考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷19(题后含答案及解析)

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷19 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(χ，y)＝sin，则f(χ，y)在(0，0)处( )． A．对χ可偏导，对y不可偏导 B．对χ不可偏导，对y可偏导 C．对χ可偏导，对y也可偏导

D．对χ不可偏导，对y也不可偏导

正确答案：B

解析：因为不存在，所以f(χ，y)在(0，0)处对χ不可偏导； 因为＝0， 所以f′t(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)处对y可偏导，应选

B． 知识模块：多元函数微分学

2． 设f′χ(χ0，y0)，f′y(χ0，y0)都存在，则( )． A．f(χ，y)在(χ0，y0)处连续 B．f(χ，y)存在

C．f(χ，y)在(χ0，y0)处可微 D．f(χ0，y0)存在

正确答案：D

解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A不对； 函数f(χ，y)＝在(0，0)处可偏导，但(χ，y)不存在，B不对； f(χ，y)在(χ0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，C不对，应选

D． 事实上由f′χ(χ0，y0)＝存在得f(χ0，y0)＝f(χ0，y0)． 知识模块：多元函数微分学

3． 设f(χ，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足＝－3，则函数f(χ，y)在点(0，0)处( )．

A．取极大值 B．取极小值 C．不取极值

D．无法确定是否有极值

正确答案：A

解析：因为＝－3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而χ2＋1－χsiny＞0，所以当0＜＜δ时，有f(χ，y)－f(0，0)＜0，即f(χ，y)＜f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处取极大值，选A． 知识模块：多元函数微分学

4． 设f(χ，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足＝－3，则f(χ，y)在(0，0)处( )．

A．取极大值 B．取极小值 C．不取极值

D．无法确定是否取极值

正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学

填空题

5． 设z＝(χ2＋y2)χy，则＝_______．

正确答案：(χ2＋y2)χy.[yln(χ2＋y2)＋] 解析： 知识模块：多元函数微分学

6． 设f二阶可导，且z＝f(χy)，则＝_______．

正确答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy) 解析： 知识模块：多元函数微分学

7． 设f二阶可偏导，z＝f(χy，χ＋y2)，则＝_______．

正确答案：f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22

解析：＝yf′1＋f′2， ＝f′1＋y(χf〞11＋2yf〞12)＋χf〞21＋2yf〞22＝f′1＋χyf〞11＋(χ＋2y)f〞12＋2yf〞22． 知识模块：多元函数微分学

8． 设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)，其中ρ＝，则dz｜(1，0)＝_______．

正确答案：3dχ＋4dy

解析：因为f(χ，y)连续，所以f(1，0)＝9， 由f(χ，y)＝3χ＋4y＋6＋o(ρ)得 △z＝f(χ，y)－f(1，0)＝3(χ－1)＋4y＋o()， 由可微的定义得dz｜(1，0)＝3dχ＋4dy． 知识模块：多元函数微分学

9． 设z＝f(χ，y)二阶连续可导，且＝χ＋1，f′χ(χ，0)＝2χ，f(0，y)＝sin2y，则f(χ，y)＝_______．

正确答案：(＋χ)y＋χ2＋sin2y

解析：由＝χ＋1得＝(χ＋1)y＋φ(χ)， 由f′χ(χ，0)＝2χ得φ(χ)＝2χ，即＝(χ＋1)y＋2χ， 再由＝(χ＋1)y＋2χ得z＝(＋χ)y＋χ2＋h(y)， 由f(0，y)＝sin2y得h(y)＝sin2y，故f(χ，y)＝(＋χ)y＋χ2＋sin2y． 知识模块：多元函数微分学

10． ＝_______．

正确答案：

解析： 知识模块：多元函数微分学

11． 设z＝，则＝_______．

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

12． 设z＝，则dz＝_______．

正确答案：sin2χy(ydχ＋χdy)

解析： 知识模块：多元函数微分学

13． 设z＝，则＝_______．

正确答案：

解析： 知识模块：多元函数微分学

14． 设z＝f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，则＝_______．

正确答案：

解析： 知识模块：多元函数微分学 15． 设f(χ，y)满足＝2，f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，则f(χ，y)＝_______．

正确答案：y2＋χy＋1

解析：由＝2得＝2y＋φ1(χ)， 因为f′y(χ，0)＝χ，所以φ1(χ)＝χ，即＝2y＋χ， 再由＝2y＋χ得f(χ，y)＝y2＋χy＋1． 因为f(χ，0)＝1，所以φ2(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1． 知识模块：多元函数微分学

16． z＝f(χy)＋yg(χ2＋y2)，其中f，g二阶连续可导，则＝_______．

正确答案：－f(χy)＋f′(χy)＋y2f〞(χy)＋2χg′(χ2＋y2)＋4χy2g(χ2＋y2) 涉及知识点：多元函数微分学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． 设z＝yf(χ2－y2)，其中f可导，证明：

正确答案：＝2χyf′(χ2－y2)，＝f(χ2－y2)－2y2f′(χ2－y2)，则． 涉及知识点：多元函数微分学

18． 设z＝，其中f，g二阶可导，证明：＝0．

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

19． 设u＝f(χ＋y，χ2＋y2)，其中f二阶连续可偏导，求

正确答案：＝f′1＋2χf′2，＝f′1＋2yf′2 ＝f〞11＋2χf〞12＋2f′2＋2χ(f〞21＋2χf〞22)＝f〞11＋4χf〞12＋4χf〞22＋2f′2， ＝f〞11＋2yf〞12＋2f′2＋2y(f〞21＋2yf〞22)＝f〞11＋4yf〞12＋4yf〞22＋2f′2， 则＝2f〞11＋4(χ＋y)f〞12＋4(χ＋y)f〞22＋4f′2． 涉及知识点：多元函数微分学

20． 设z＝f[χg(y)，χ－y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求

正确答案：＝g(y)f′1＋f′2， ＝g′(y)f′1＋g(y)[χg′(y)f〞11－f〞12]＋χg′(y)f〞21－f〞22 ＝g′(y)f′1＋χg′(y)g(y)f〞11＋[χg′(y)－g(y)]f〞12－f〞22． 涉及知识点：多元函数微分学

21． 设z＝z(χ，y)由χyz＝χ＋y＋z确定，求

正确答案：令F＝χyz－χ－y－z， 涉及知识点：多元函数微分学

22． 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．

正确答案：设f(χ，y)＝，显然f(χ，y)在点(0，0)处连续． 但不存在，所以f(χ，y)在点(0，0)处对χ不可偏导，由对称性，f(χ，y)在点(0，0)处对y也不可偏导． 所以f(χ，t)在点(0，0)处可偏导，且f′χ(0，0)＝f′y(0．0)＝0． 因为， 所以(χ，y)不存在，而f(0，0)＝0，故f(χ，y)在点(0，O)处不连续． 涉及知识点：多元函数微分学

23． 设f(χ，y)＝讨论函数f(χ，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．

正确答案：因为 所以(χ，y)不存在，故函数f(χ，y)在点(0，0)处不连续． 因为＝0， 所以函数f(χ，y)在点(0，0)处对χ，y都可偏导． 涉及知识点：多元函数微分学

24． 讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．

正确答案：因为 所以(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函数f(χ，y)在点(0，0)处连续． 因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，根据对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在(0，0)处可偏导． △z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝， 因为不存在，所以函数f(χ，y)在(0，0)不可微． 涉及知识点：多元函数微分学

25． 讨论f(χ，y)＝在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．

正确答案：因为f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以f(χ，y)在点(0，0)处连续． 因为＝0，所以f′χ(0，0)＝0，由对称性得f′y(0，0)＝0，即函数f(χ，y)在点(0，0)处可偏导． △z＝f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y＝f(χ，y)－f′χ(0，0)χ－f′y(0，0)y－χysin， 因为 所以函数f(χ，y)在点(0，0)处可微． 涉及知识点：多元函数微分学

26． 设z＝f(e′sint，tant)，求

正确答案：et(sint＋cost)f′1＋f′2sec2t． 涉及知识点：多元函数微分学

27． 设z＝sinχy，求

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

28． 设z＝f(t，et)，f有一阶连续的偏导数球

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

29． 设u＝，求du．

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

30． 设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．

正确答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边对χ求偏导得 2χ＋2z＝yf(z2)＋

2χyzf′(z2)， 解得 χ2＋y2＋z2＝＝χyf(z2)两边对y求偏导得 涉及知识点：多元函数微分学

31． 设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z＝f(2χ－y)＋g(χ，χy)，求

正确答案：＝2f′(2χ－y)＋g′1(χ，χy)＋yg′2(χ，χy)， ＝－2f〞(2χ－y)＋χg〞12(χ，χy)＋g′2(χ，χy)＋χyg〞22(χ，χy)． 涉及知识点：多元函数微分学

32． 设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求

正确答案：＝f′1eχsiny＋2χf′2， ＝f′1eχcosy＋eχsiny(f〞11eχcosy＋2yf〞12)＋2χ(f〞21eχcosy＋2yf〞22) ＝f′1eχcosy＋f〞11e2χsin2y＋2eχ(ysiny＋χcosy)f〞12＋4χyf〞22． 涉及知识点：多元函数微

分学

33． 设z＝f(χ2＋y2，χy，χ)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求

正确答案：＝2χf′1＋yf′2＋f′3， ＝2χ(2yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(2yf〞21＋χf〞22)>＋2yf〞31＋χf〞32 ＝4χyf〞11＋2(χ2＋y2)f〞12＋f′2＋χyf〞22＋2yf〞31＋χf〞32． 涉及知识点：多元函数微分学

34． 设z＝z(χ，y)由χ－yz＋yez－χ－y＝0确定，求及dz．

正确答案：方程χ－yχ＋yz－χ－y＝0两边对χ求偏导得 方程χ－yz＋yz－χ－y＝0两边对y求偏导得 涉及知识点：多元函数微分学

35． 设z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))，其中f，g可微，求

正确答案：等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对χ求偏导得 等式z＝f(χ－y＋g(χ－y－z))两边对y求偏导得 涉及知识点：多元函数微分学

36． 设u＝f(z)，其中z是由z＝y＋χφ(z)确定的z，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：

正确答案：，z＝y＋χφ(z)两边对χ求偏导得 两边对y求偏导得 涉及知识点：多元函数微分学