考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷19 (题后含答案及解析)
题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1. 设f(χ,y)=sin,则f(χ,y)在(0,0)处( ). A.对χ可偏导,对y不可偏导 B.对χ不可偏导,对y可偏导 C.对χ可偏导,对y也可偏导
D.对χ不可偏导,对y也不可偏导
正确答案:B
解析:因为不存在,所以f(χ,y)在(0,0)处对χ不可偏导; 因为=0, 所以f′t(0,0)=0,即f(χ,y)在(0,0)处对y可偏导,应选
B. 知识模块:多元函数微分学
2. 设f′χ(χ0,y0),f′y(χ0,y0)都存在,则( ). A.f(χ,y)在(χ0,y0)处连续 B.f(χ,y)存在
C.f(χ,y)在(χ0,y0)处可微 D.f(χ0,y0)存在
正确答案:D
解析:多元函数在一点可偏导不一定在该点连续,A不对; 函数f(χ,y)=在(0,0)处可偏导,但(χ,y)不存在,B不对; f(χ,y)在(χ0,y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件,C不对,应选
D. 事实上由f′χ(χ0,y0)=存在得f(χ0,y0)=f(χ0,y0). 知识模块:多元函数微分学
3. 设f(χ,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足=-3,则函数f(χ,y)在点(0,0)处( ).
A.取极大值 B.取极小值 C.不取极值
D.无法确定是否有极值
正确答案:A
解析:因为=-3,根据极限保号性,存在δ>0,当0<<δ时,有<0,而χ2+1-χsiny>0,所以当0<<δ时,有f(χ,y)-f(0,0)<0,即f(χ,y)<f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处取极大值,选A. 知识模块:多元函数微分学
4. 设f(χ,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足=-3,则f(χ,y)在(0,0)处( ).
A.取极大值 B.取极小值 C.不取极值
D.无法确定是否取极值
正确答案:A 涉及知识点:多元函数微分学
填空题
5. 设z=(χ2+y2)χy,则=_______.
正确答案:(χ2+y2)χy.[yln(χ2+y2)+] 解析: 知识模块:多元函数微分学
6. 设f二阶可导,且z=f(χy),则=_______.
正确答案:-f(χy)+f′(χy)+y2f〞(χy) 解析: 知识模块:多元函数微分学
7. 设f二阶可偏导,z=f(χy,χ+y2),则=_______.
正确答案:f′1+χyf〞11+(χ+2y)f〞12+2yf〞22
解析:=yf′1+f′2, =f′1+y(χf〞11+2yf〞12)+χf〞21+2yf〞22=f′1+χyf〞11+(χ+2y)f〞12+2yf〞22. 知识模块:多元函数微分学
8. 设f(χ,y)连续,且f(χ,y)=3χ+4y+6+o(ρ),其中ρ=,则dz|(1,0)=_______.
正确答案:3dχ+4dy
解析:因为f(χ,y)连续,所以f(1,0)=9, 由f(χ,y)=3χ+4y+6+o(ρ)得 △z=f(χ,y)-f(1,0)=3(χ-1)+4y+o(), 由可微的定义得dz|(1,0)=3dχ+4dy. 知识模块:多元函数微分学
9. 设z=f(χ,y)二阶连续可导,且=χ+1,f′χ(χ,0)=2χ,f(0,y)=sin2y,则f(χ,y)=_______.
正确答案:(+χ)y+χ2+sin2y
解析:由=χ+1得=(χ+1)y+φ(χ), 由f′χ(χ,0)=2χ得φ(χ)=2χ,即=(χ+1)y+2χ, 再由=(χ+1)y+2χ得z=(+χ)y+χ2+h(y), 由f(0,y)=sin2y得h(y)=sin2y,故f(χ,y)=(+χ)y+χ2+sin2y. 知识模块:多元函数微分学
10. =_______.
正确答案:
解析: 知识模块:多元函数微分学
11. 设z=,则=_______.
正确答案: 涉及知识点:多元函数微分学
12. 设z=,则dz=_______.
正确答案:sin2χy(ydχ+χdy)
解析: 知识模块:多元函数微分学
13. 设z=,则=_______.
正确答案:
解析: 知识模块:多元函数微分学
14. 设z=f(χ,y)=χ2arctan-y2arctan,则=_______.
正确答案:
解析: 知识模块:多元函数微分学 15. 设f(χ,y)满足=2,f(χ,0)=1,f′y(χ,0)=χ,则f(χ,y)=_______.
正确答案:y2+χy+1
解析:由=2得=2y+φ1(χ), 因为f′y(χ,0)=χ,所以φ1(χ)=χ,即=2y+χ, 再由=2y+χ得f(χ,y)=y2+χy+1. 因为f(χ,0)=1,所以φ2(χ)=1,故f(χ,y)=y2+χy+1. 知识模块:多元函数微分学
16. z=f(χy)+yg(χ2+y2),其中f,g二阶连续可导,则=_______.
正确答案:-f(χy)+f′(χy)+y2f〞(χy)+2χg′(χ2+y2)+4χy2g(χ2+y2) 涉及知识点:多元函数微分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 设z=yf(χ2-y2),其中f可导,证明:
正确答案:=2χyf′(χ2-y2),=f(χ2-y2)-2y2f′(χ2-y2),则. 涉及知识点:多元函数微分学
18. 设z=,其中f,g二阶可导,证明:=0.
正确答案: 涉及知识点:多元函数微分学
19. 设u=f(χ+y,χ2+y2),其中f二阶连续可偏导,求
正确答案:=f′1+2χf′2,=f′1+2yf′2 =f〞11+2χf〞12+2f′2+2χ(f〞21+2χf〞22)=f〞11+4χf〞12+4χf〞22+2f′2, =f〞11+2yf〞12+2f′2+2y(f〞21+2yf〞22)=f〞11+4yf〞12+4yf〞22+2f′2, 则=2f〞11+4(χ+y)f〞12+4(χ+y)f〞22+4f′2. 涉及知识点:多元函数微分学
20. 设z=f[χg(y),χ-y],其中f二阶连续可偏导,g二阶可导,求
正确答案:=g(y)f′1+f′2, =g′(y)f′1+g(y)[χg′(y)f〞11-f〞12]+χg′(y)f〞21-f〞22 =g′(y)f′1+χg′(y)g(y)f〞11+[χg′(y)-g(y)]f〞12-f〞22. 涉及知识点:多元函数微分学
21. 设z=z(χ,y)由χyz=χ+y+z确定,求
正确答案:令F=χyz-χ-y-z, 涉及知识点:多元函数微分学
22. 举例说明多元函数连续不一定可偏导,可偏导不一定连续.
正确答案:设f(χ,y)=,显然f(χ,y)在点(0,0)处连续. 但不存在,所以f(χ,y)在点(0,0)处对χ不可偏导,由对称性,f(χ,y)在点(0,0)处对y也不可偏导. 所以f(χ,t)在点(0,0)处可偏导,且f′χ(0,0)=f′y(0.0)=0. 因为, 所以(χ,y)不存在,而f(0,0)=0,故f(χ,y)在点(0,O)处不连续. 涉及知识点:多元函数微分学
23. 设f(χ,y)=讨论函数f(χ,y)在点(0,0)处的连续性与可偏导性.
正确答案:因为 所以(χ,y)不存在,故函数f(χ,y)在点(0,0)处不连续. 因为=0, 所以函数f(χ,y)在点(0,0)处对χ,y都可偏导. 涉及知识点:多元函数微分学
24. 讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.
正确答案:因为 所以(χ,y)=0=f(0,0),即函数f(χ,y)在点(0,0)处连续. 因为=0,所以f′χ(0,0)=0,根据对称性得f′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在(0,0)处可偏导. △z=f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=, 因为不存在,所以函数f(χ,y)在(0,0)不可微. 涉及知识点:多元函数微分学
25. 讨论f(χ,y)=在点(0,0)处的连续性、可偏导性及可微性.
正确答案:因为f(χ,y)=0=f(0,0),所以f(χ,y)在点(0,0)处连续. 因为=0,所以f′χ(0,0)=0,由对称性得f′y(0,0)=0,即函数f(χ,y)在点(0,0)处可偏导. △z=f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y=f(χ,y)-f′χ(0,0)χ-f′y(0,0)y-χysin, 因为 所以函数f(χ,y)在点(0,0)处可微. 涉及知识点:多元函数微分学
26. 设z=f(e′sint,tant),求
正确答案:et(sint+cost)f′1+f′2sec2t. 涉及知识点:多元函数微分学
27. 设z=sinχy,求
正确答案: 涉及知识点:多元函数微分学
28. 设z=f(t,et),f有一阶连续的偏导数球
正确答案: 涉及知识点:多元函数微分学
29. 设u=,求du.
正确答案: 涉及知识点:多元函数微分学
30. 设函数z=z(χ,y)由方程χ2+y2+z2=χyf(z2)所确定,其中f是可微函数,计算并化成最简形式.
正确答案:χ2+y2+z2=χyf(z2)两边对χ求偏导得 2χ+2z=yf(z2)+
2χyzf′(z2), 解得 χ2+y2+z2==χyf(z2)两边对y求偏导得 涉及知识点:多元函数微分学
31. 设f(t)二阶可导,g(u,v)二阶连续可偏导,且z=f(2χ-y)+g(χ,χy),求
正确答案:=2f′(2χ-y)+g′1(χ,χy)+yg′2(χ,χy), =-2f〞(2χ-y)+χg〞12(χ,χy)+g′2(χ,χy)+χyg〞22(χ,χy). 涉及知识点:多元函数微分学
32. 设z=f(eχsiny,χ2+y2),且f(u,v)二阶连续可偏导,求
正确答案:=f′1eχsiny+2χf′2, =f′1eχcosy+eχsiny(f〞11eχcosy+2yf〞12)+2χ(f〞21eχcosy+2yf〞22) =f′1eχcosy+f〞11e2χsin2y+2eχ(ysiny+χcosy)f〞12+4χyf〞22. 涉及知识点:多元函数微
分学
33. 设z=f(χ2+y2,χy,χ),其中f(u,v,ω)二阶连续可偏导,求
正确答案:=2χf′1+yf′2+f′3, =2χ(2yf〞11+χf〞12)+f′2+y(2yf〞21+χf〞22)>+2yf〞31+χf〞32 =4χyf〞11+2(χ2+y2)f〞12+f′2+χyf〞22+2yf〞31+χf〞32. 涉及知识点:多元函数微分学
34. 设z=z(χ,y)由χ-yz+yez-χ-y=0确定,求及dz.
正确答案:方程χ-yχ+yz-χ-y=0两边对χ求偏导得 方程χ-yz+yz-χ-y=0两边对y求偏导得 涉及知识点:多元函数微分学
35. 设z=f(χ-y+g(χ-y-z)),其中f,g可微,求
正确答案:等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对χ求偏导得 等式z=f(χ-y+g(χ-y-z))两边对y求偏导得 涉及知识点:多元函数微分学
36. 设u=f(z),其中z是由z=y+χφ(z)确定的z,y的函数,其中f(z)与φ(z)为可微函数.证明:
正确答案:,z=y+χφ(z)两边对χ求偏导得 两边对y求偏导得 涉及知识点:多元函数微分学
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