广东省广州市华师附中番禺学校2014_2015学年七年级数学下学期期中试题(含解析)新人教版

广东省广州市华师附中番禺学校2014-2015学年七年级数学下学期期中试

题

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

A． B． C． D． 2．若a＞b，则下列各式正确的是（ ）

22

A．ac＞bc B．a＞b C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣2＜b﹣2 3．若点A（m，n）在第三象限，点B（﹣m，﹣n）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）

A．∠3=∠4 B．∠B=∠DCE

C．∠1=∠2 D．∠D+∠DAB=180°

2

5．在以下实数：﹣，，π，3.1416，（），，0.15，0.020020002…（2015春•广州校级期中）下列说法中错误的是（ ）

A．数轴上的点与实数一一对应 B．实数中没有最小的数 C．a、b为实数，若a＜b，则

＜

D．a、b为实数，若a＜b，则

＜

7．某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A． B．

C． D．

8．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°

9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（ ） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1

1

10．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠CDE的关系是（ ）

A．∠ABE=2∠D B．∠ABE=3∠D C．∠ABE=∠D+90° D．∠ABE+∠D=180°

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 11．9的算术平方根是 ．

12．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 ． 13．已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点P的坐标是 ．

2

14．若（x﹣1）=4，则x= ． 15．大于﹣

而小于

的整数分别是 ．

16．一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图4所示，则点A102的坐标是 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分68分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解不等式1﹣2x＞3﹣4x

（2）解方程组．

18．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥GF．

19．一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？ 20．（1）计算：

﹣|﹣

|﹣

（

﹣1）

﹣|b﹣a|．

（2）实数a、b在数轴上的位置如图，化简：

2

21．已知关于x、y的方程组的解适合方程2x+y=4，求m的值．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（0，3） （1）将B点向左平移5个单位，得到点C，写出点C的坐标；

（2）以O、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形（D点不同于C点），以O、A、B、E为顶点的四边形也是平行四边形（E点不同于C、D点），请直接写出点D和E的坐标； （3）画出△CDE，并求出它的面积．

23．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上．

（1）当∠1=110°时，求∠2的度数；

（2）直接回答当∠2等于多少度时，D′C′∥BC？

24．如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．

（1）直接写出A、B、C的坐标；

（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标；

3

（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，B点的横坐标为6﹣2t，此时

①CP= ，AQ= （用含t的式子表示）．

②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

25．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．

（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC=180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；

（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；

（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．

4

2014-2015学年广东省广州市华师附中番禺学校七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

A． B． C． D． 【考点】对顶角、邻补角．

【分析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故A选项错误； B、∠1与∠2是对顶角，故B选项正确； C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误； D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误． 故选：B．

【点评】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．

2．若a＞b，则下列各式正确的是（ ）

22

A．ac＞bc B．a＞b C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣2＜b﹣2 【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质进行判断．

【解答】解：A、当c=0时，不等式ac＞bc不成立，故本选项错误；

22

B、当0＞a＞b是，不等式a＞b不成立，故本选项错误；

C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即﹣2a＜﹣2b，故本选项正确； D、在不等式a＞b的两边同时加上﹣2，不等式仍成立，即a﹣2＞b﹣2，故本选项错误； 故选：C．

【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．若点A（m，n）在第三象限，点B（﹣m，﹣n）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标．

【分析】应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而判断点B所在的象限． 【解答】解：∵点A（m，n）在第三象限， ∴m＜0，n＜0， ∴﹣m＞0，﹣n＞0，

即点B（﹣m，﹣n）在第一象限． 故选A．

【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

5

4．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）

A．∠3=∠4 B．∠B=∠DCE C．∠1=∠2 D．∠D+∠DAB=180° 【考点】平行线的判定．

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案． 【解答】解：∵∠3=∠4， ∴AD∥BC， 故A错误； ∵∠B=∠DCE， ∴AB∥CD； 故B正确； ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 故C正确；

∵∠D+∠DAB=180°， ∴AB∥CD， 故D正确； 故选A．

【点评】此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

5．在以下实数：﹣，，π，3.1416，（），，0.15，0.020020002…（2015春•广州校级期中）下列说法中错误的是（ ）

A．数轴上的点与实数一一对应 B．实数中没有最小的数 C．a、b为实数，若a＜b，则

＜

D．a、b为实数，若a＜b，则

＜

2

【考点】实数．

【分析】A、根据实数和数轴上的点一一对应关系即可判定； B、根据实数的定义即可判定；

C、根据实数的定义和算术平方根的定义即可判定； D、根据实数的定义和立方根的定义即可判定．

【解答】解：A、数轴上的点与实数一一对应是正确的，不符合题意； B、实数中没有最小的数是正确的，不符合题意；

C、a、b为实数，若a＜b＜0，它们没有算术平方根，原来的说法是错误的，符合题意； D、a、b为实数，若a＜b，则故选：C．

＜

是正确的，不符合题意．

6

【点评】此题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．

7．某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）

A． B．

C． D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】此题的等量关系有：（1）班得分：（5）班得分=6：5；（1）班得分=（5）班得分×2﹣40． 【解答】根据（1）班与（5）班得分比为6：5，有： x：y=6：5，得5x=6y；

根据（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分，得x=2y﹣40．

可列方程组为．

故选：D．

【点评】列方程组的关键是找准等量关系．同时能够根据比例的基本性质对等量关系①把比例式转化为等积式．

8．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】平行线的性质． 【专题】探究型．

【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°， ∵l1∥l2，

∴∠3=∠4=55°， ∵∠4+∠EFC=90°，

∴∠EFC=90°﹣55°=35°， ∴∠2=35°． 故选B．

7

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（ ） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1 【考点】平方根． 【专题】计算题．

【分析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得到2m﹣4与3m﹣1互为相反数，2m﹣4与3m﹣1也可以是同一个数．

【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根， ∴2m﹣4+3m﹣1=0，或2m﹣4=3m﹣1， 解得：m=1或﹣3． 故选D．

【点评】本题主要考查了平方根的概念，解题时注意要求是一个正数的平方根．

10．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠CDE的关系是（ ）

A．∠ABE=2∠D B．∠ABE=3∠D C．∠ABE=∠D+90° D．∠ABE+∠D=180° 【考点】平行线的性质．

【分析】延长BF与CD相交于M，根据两直线平行，同位角相等可得∠M=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠ABF，从而求出∠CDE=∠ABF，再根据角平分线的定义解答． 【解答】解：延长BF与CD相交于M， ∵BF∥DE， ∴∠M=∠CDE， ∵AB∥CD， ∴∠M=∠ABF， ∴∠CDE=∠ABF， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE=2∠ABF， ∴∠ABE=2∠CDE． 故选A．

8

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，作辅助线，是利用平行线的性质的关键，也是本题的难点．

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 11．9的算术平方根是 3 ． 【考点】算术平方根．

【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．

2

【解答】解：∵（±3）=9， ∴9的算术平方根是|±3|=3． 故答案为：3．

【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．

12．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等 ． 【考点】命题与定理．

【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．

【解答】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．

故答案为如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 13．已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点P的坐标是 （﹣5，2） ． 【考点】点的坐标．

【分析】由点P在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，然后根据点P到两坐标轴的距离确定出点P的坐标即可．

【解答】解：∵x轴的距离为2，到y轴的距离为5， ∴点的纵坐标是±2，横坐标是±5，

又∵第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点的横坐标是﹣5，纵坐标是2． 故此点的坐标为（﹣5，2）． 故答案为：（﹣5，2）．

【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义：横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．

2

14．若（x﹣1）=4，则x= 3或﹣1 ． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【专题】计算题．

【分析】把x﹣1看做整体直接开方后再计算即可求解．

9

【解答】解：x﹣1=±2 x﹣1=2或x﹣1=﹣2 x=3或x=﹣1．

【点评】主要考查直接开平方法解方程．要注意整体思想的运用．

22

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）22

=b（b≥0）；a（x+b）=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 15．大于﹣

而小于

的整数分别是 ﹣2，﹣1，0，1 ．

【考点】估算无理数的大小． 【分析】由【解答】解：∵∴大于﹣

而小于

≈﹣2.2，

≈1.7，由此可得出答案．

≈1.7，

≈﹣2.2，

的整数分别是﹣2，﹣1，0，1．

【点评】本题主要考查了利用数轴估算无理数的大小，注意应先判断所给的无理数的近似值然后解题．

16．一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图4所示，则点A102的坐标是 （51，1） ．

【考点】规律型：点的坐标．

【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A102的坐标．

【解答】解： =25…2，

则A102的坐标是（25×2+1，1）=（51，1）． 故答案为：（51，1）．

【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．

三、解答题（本大题共9小题，满分68分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解不等式1﹣2x＞3﹣4x

（2）解方程组

．

10

【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式． 【专题】计算题．

【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）移项合并得：2x＞2， 解得：x＞1；

（2）方程组整理得：

①×3+②得：7x=42，即x=6， 把x=6代入①得：y=4，

，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥GF．

【考点】平行线的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠1=∠BED， ∵∠1=∠2， ∴∠BED=∠2， ∴BE∥GF．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

19．一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？

【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】应用题．

【分析】本题中的等量关系是：3×大盒瓶数+4×小盒瓶数=108；2×大盒瓶数+3×小盒瓶数=76，依据两个等量关系可列方程组求解．

【解答】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶

则

11

解得

答：大盒装20瓶，小盒装12瓶． 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系：3×大盒瓶数+4×小盒瓶数=108；2×大盒瓶数+3×小盒瓶数=76，列出方程组，再求解．

20．（1）计算：

﹣|﹣

|﹣

（

﹣1）

﹣|b﹣a|．

（2）实数a、b在数轴上的位置如图，化简：

【考点】实数的运算；实数与数轴． 【专题】计算题． 【分析】（1）原式利用立方根定义，绝对值的代数意义，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果； （2）根据数轴上点的位置判断b﹣a的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=﹣2﹣

﹣3+

=﹣5；

（2）根据数轴上点的位置得：a＜0＜b， ∴b﹣a＞0，

则原式=﹣a﹣b+a=﹣b．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．已知关于x、y的方程组的解适合方程2x+y=4，求m的值．

【考点】二元一次方程组的解．

【分析】利用解方程的步骤解得方程组的解，再把方程组的解代入方程2x+y=4，即可求得m的值．

【解答】解：解方程组得，

把方程组的解代入方程2x+y=4得：2（1+m）+2﹣m=4．解得m=0．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解的关键是正确的求出方程组的解．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（0，3） （1）将B点向左平移5个单位，得到点C，写出点C的坐标；

（2）以O、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形（D点不同于C点），以O、A、B、E为顶点的四边形也是平行四边形（E点不同于C、D点），请直接写出点D和E的坐标； （3）画出△CDE，并求出它的面积．

12

【考点】作图-平移变换；平行四边形的性质．

【分析】（1）将点B向左平移5个单位，得到点C，C点坐标为（﹣5，3）； （2）分别作出平行四边形，然后求出点D和E的坐标； （3）根据三角形的面积公式S=×底×高求解． 【解答】解：（1）点C如图所示： C点坐标为（﹣5，3）；

（2）D（5，3），E（﹣5，﹣3）；

（3）S△CDE=×10×6=30．

【点评】本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构和直角坐标系的特点作出各点的位置，然后顺次连接．

23．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上．

（1）当∠1=110°时，求∠2的度数；

13

（2）直接回答当∠2等于多少度时，D′C′∥BC？

【考点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】计算题．

【分析】（1）由ABCD为长方形，利用长方形的性质得到AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补即可求出所求角的度数；

（2）若D′C′∥BC，则有∠EGF=∠D′=90°，此时∠2=∠EGF=90°． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC，

∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=110°， ∴∠2=70°；

（2）由折叠的性质得：∠D′=∠D=90°， 若D′C′∥BC，则有∠EGF=∠D′=90°， ∵AD∥BC，

∴∠2=∠EGF=90°，

则当∠2等于90度时，D′C′∥BC．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

24．如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．

（1）直接写出A、B、C的坐标；

（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标； （3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，B点的横坐标为6﹣2t，此时

①CP= 2t ，AQ= 6﹣t （用含t的式子表示）．

②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．

14

【分析】（1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可；

（2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的，列出方程解答即可；

（3）由B点的横坐标为6﹣2t=﹣6，得出t=6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可．

【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣6，﹣3）、（6，﹣3）； （2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a）， 则×|a﹣3|×6=×12×6 解得：a=﹣1或a=7，

M点坐标为（0，﹣1）或（0，7）． （3）∵B点的横坐标为6﹣2t=﹣6， ∴t=6，

则点P的运动速度为12÷6=2，点Q的运动速度为2÷2=1， ①CP=12﹣2t，AQ=6﹣t； ②不变．

理由：∵四边形PBQD的面积=12×6﹣（6﹣t）×12﹣×2t×6=36， ∴四边形PBQD的面积不发生变化．

【点评】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键．

25．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．

（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC=180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；

（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；

（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠PAQ+∠PCQ=90°，再根据三角形的内角和即可得出∠Q的度数； （2）先延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F，根据平行线的性质得出∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，根据三角形的外角得出∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE），最后根据∠AQC=∠QCF+∠BAE即可得出∠APC=2∠AQC．

（3）连接RQ，并延长RQ，连接RP并延长RP，利用三角形的外角得出∠AQC=∠ARC+∠QCR+∠QAR，

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从而得出2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①，根据∠APC=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②，由①﹣②即可得出2∠AQC﹣∠APC=∠ARC． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵AQ、CQ是∠PAB和∠PCD的平分线， ∴∠Q=90°；

（2）延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F ∵AB∥CD，

∴∠BAQ=∠CFQ，∠PEC=∠BAE，

∴∠APC=∠PCE+∠PEC=∠PCE+∠BAE=2∠QCF+2∠BAE=2（∠QCF+∠BAE）， ∵∠AQC=∠QCF+∠BAE， ∴∠APC=2∠AQC．

（3）连接RQ，并延长RQ， 连接RP并延长RP， ∵∠AQC=∠3+∠4，

∴∠AQC=∠QRC+∠QCR+∠QAR+∠QRA=∠ARC+∠QCR+∠QAR， ∴2∠AQC=2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR ①， ∵∠APC=∠1+∠2，

∴∠APC=2∠QAR+∠ARP+2∠QCR+∠CRP=∠ARC+2∠QAR+2∠QCR ②， ∴①﹣②得，

2∠AQC﹣∠APC=∠ARC．

【点评】此题考查了平行线的性质，用到的知识点是平行线的性质、三角形的外角、三角形的内角和定理，关键是根据题意画出图形作出辅助线．

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