二维抛物型方程的高精度分支稳定隐格式

詹涌强;杨小辉;谭志明

【摘 要】用待定系数法构造了求解二维抛物型方程的高精度分支稳定隐式差分格式.格式的截断误差达到O(△t2+ △x4).证明了当r≥1/6时,差分格式是稳定的.通过数值试验,比较了差分格式的解和精确解的区别,说明了差分格式的有效性. 【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2015(038)003 【总页数】5页(P233-237)

【关键词】二维抛物型方程;隐式差分格式;截断误差 【作 者】詹涌强;杨小辉;谭志明

【作者单位】华南理工大学广州学院计算机工程学院,广东广州510800;广东警官学院计算机系,广东广州510440;广东理工职业学院数学教研室,广东中山528458 【正文语种】中 文 【中图分类】O241.82

在渗流、扩散、热传导等领域中经常会遇到求解二维抛物型方程的初边值问题,在二维情形，其模型问题为

对问题(1)的求解，有限差分法是解决此类问题的常用方法，常见的差分格式[1-2]，如古典显式格式，Crank-Nicolson格式等，古典显式格式稳定性条件为，Crank-Nicolson格式为无条件稳定，但它们的精度不高，局部截断误差为O(Δt+Δx2).对上述问题的改进，目前已经有了许多好的研究成果[3-7],在这些研究成果中，有

一些高精度的差分格式，如文[6]给出了一个高精度差分格式，截断误差达到O(Δt2+Δx4)，稳定性条件为.文[7]也构造了一个截断误差为O(Δt2+Δx4)的高精度三层显格式，稳定性条件为，稳定性范围均较小.本文则利用待定参数法构造了一个分支稳定的三层隐式格式，格式的截断误差亦达到了O(Δt2+Δx4)，同时证明了当时，格式是稳定的.与文[6]、[7]相比，r的取值范围扩大了.

令Δx=Δy与Δt分别表示空间和时间方向的步长，用如下含参数的差分方程逼近微分方程(1)

▯+η2◇)▯+η4◇)▯+η6◇)，

其中表示在节点(jΔx,kΔy,nΔt)处的网函数值，，且记 ▯,◇

其余类推，η1～η6为待定参数，适当选择这些参数，可以使(2)逼近(1)具有尽可能高阶的误差和较好的稳定性.

当(1)的解充分光滑时，如下关系式成立 (m,n为非负整数) (3)

将(2)式中各节点上的u在节点(jΔx,kΔy,nΔt)处作Taylor展开，并利用关系式(3)整理可得 ).

为了使格式(2)的截断误差达到O(Δt2+Δx4)，须满足下面方程组 (4)

其中.在方程组(4)中，令η4=η,η5=θ,η6=ω，可解得 .

将所得各值代入(2)式，可得截断误差为O(Δt2+Δx4)的三参数三层隐式差分格式 □-rω◇)□◇]□+rη◇]. (5)

2 稳定性和收敛性

利用Fourier分析法讨论格式(5)的稳定性，首先写出与之等价的两层格式组 (6)

取，其中，代入(6)式，并利用， ◇,计算整理得 其中， , [0,2].

传播矩阵G(s1,s2)的特征方程为 λ2-g11λ-g12=0. (7)

引理1[8] 特征方程(7)的根满足|λ1,2|≤1的充要条件是 |g11|≤1-g12≤2. (8)

引理2[8] 差分格式(5)稳定，即矩阵族Gn(s1，s2)(0≤s1,s2≤2，n=1,2,…)一致有界充要条件是

(1)|λ1,2|≤1(λ1,2是方程(7)的两个根)；

(2)使成立的(s1,s2)或不存在，或不属于区域[0,2]×[0,2]. 定理1 差分格式(5)稳定的一个充分条件是

(9)

证明 当g12≠-1时，对所有的s1和s2都不成立，因此由(8)式知，格式(5)稳定的条件为-1+g12≤g11≤1-g12<2. 由g11≤1-g12可得 . (10)

为确定起见，不妨假定 1+2rθs2+4rωs1>0，

由s1,s2的取值范围可知，该式成立的一个充分条件是

当(11)，(12)两式成立时，可验证(10)式亦成立.而当(11)，(12)两式成立时，由1-g12<2可得 . (13)

(13)式成立的一个充分条件为 即， (14)

再由-1+g12≤g11 可得 . (15)

(15)式成立的一个充分条件为

由条件(14)，可得(16)，(17)两式成立的一个充分条件为

综合(11)、(12)、(14)、(18)、(19)式，由Lax的稳定性与收敛性等价定理即证得本定理.

3 参数的选取及差分格式的确定

格式(5)中的参数应按定理1的条件(9)选取，现提供如下方法：

，另外考虑到条件(14)还有，因此得到，此时θ≥0，为确定起见，取θ=0，并取，格式(5)成为 ◇)□◇]□◇]， (20)

其截断误差为O(Δt2+Δx4)，稳定性条件为. ，即，此时，为确定起见，取，并取格式(5)成为 □◇]□◇]□◇]， (21)

其截断误差为O(Δt2+Δx4)，稳定性条件为.

联合格式(20)与(21)，则对任意，就构成了一个稳定且收敛的截断误差为O(Δt2+Δx4)的三层隐格式，由于当时，格式(20)、(21)化为同一格式，称格式(20)、(21)为分支稳定的隐格式. 4 数值例子 对初边值问题

(22)

利用格式(20)与(21)求数值解，并与精确解进行比较.

取Δx=Δy=0.1，Δt=rΔx2=r/100，r=1/6,1/2,1,2计算.为方便起见，用式(22)的精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y)计算第一层的值.按格式(20)、(21)计算到n=300时的结果如表1.

表1 格式(20)和(21)数值解与精确解的比较r项目

(x,y)(0.1,0.1)(0.3,0.3)(0.5,0.5)(0.7,0.7)(0.9,0.9)16精确解格式(20)解

0.1204990400.1204990360.3424729710.3424729460.5103779510.5103779100.59770740.59770410.5906684460.59066843712精确解格式(20)解0.1151444280.1151444220.32725120.32724740.4876983050.4876982430.5711452580.5711452080.209330.209211精确解格式(21)解0.0938447460.0938447410.2667182180.2667181870.3974827480.3974826970.46934910.46934500.4600130480.4600130382精确解格式(21)解0.0730863620.0730863630.2077203570.2077203630.3095598750.3095598840.3625266950.3625267030.3582585220.358258524

由表1可以看出，对满足稳定性条件不同的r，本文格式解与精确解均有很好的吻合，这与理论分析完全一致.

A High Accuracy Implicit Difference Scheme With Branching Stability for Solving Two-Dimension Parabolic Equation

ZHAN Yong-qiang1， YANG Xiao-hui2， TAN Zhi-ming3

(1.School of Computer Engineering， Guangzhou College of South China University of Technology，Guangzhou 510800, China；2.Department of

Computer, Guangdong Police College, Guangzhou 510440，

China;3.Department of Mathematics Education， Guangdong Polytechnic Institute， Zhongshan 528458， China)

Abstract：Proposed in the paper was an implicit difference scheme with high accuracy and branching stability for solving two-dimension parabolic equation by the method of undetermined parameters. The truncation error of the scheme wasO(Δt2+Δx4). The difference scheme was proved to be stable if . The numerical experiment showed the numerical solutions of difference scheme and the precise solutions were matched and the difference scheme was effective.

Key words：two-dimension parabolic equation; implicit difference schemes; truncation error

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.004 收稿日期：2014-05-10

基金项目：国家自然科学基金项目(61070165)；广东省教育部产学研结合项目(2011B090400458)

作者简介：詹涌强(1978-)，男，广东潮州人，硕士，讲师；研究方向：微分方程数值解法.

引用格式：詹涌强，杨小辉，谭志明.二维抛物型方程的高精度分支稳定隐格式[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2015，38(3)：232-237. 中图分类号：O 文献标志码：A

文章编号：1001-2443(2015)03-0233-06

▯,◇

其余类推，η1～η6为待定参数，适当选择这些参数，可以使(2)逼近(1)具有尽可能高阶的误差和较好的稳定性.

当(1)的解充分光滑时，如下关系式成立 (m,n为非负整数)

将(2)式中各节点上的u在节点(jΔx,kΔy,nΔt)处作Taylor展开，并利用关系式(3)整理可得 ).

为了使格式(2)的截断误差达到O(Δt2+Δx4)，须满足下面方程组 其中.在方程组(4)中，令η4=η,η5=θ,η6=ω，可解得 .

将所得各值代入(2)式，可得截断误差为O(Δt2+Δx4)的三参数三层隐式差分格式 □-rω◇)□◇]□+rη◇].

利用Fourier分析法讨论格式(5)的稳定性，首先写出与之等价的两层格式组 取，其中，代入(6)式，并利用， ◇,计算整理得 其中， , [0,2].

传播矩阵G(s1,s2)的特征方程为 λ2-g11λ-g12=0.

引理1[8] 特征方程(7)的根满足|λ1,2|≤1的充要条件是 |g11|≤1-g12≤2.

引理2[8] 差分格式(5)稳定，即矩阵族Gn(s1，s2)(0≤s1,s2≤2，n=1,2,…)一致有

界充要条件是

(1)|λ1,2|≤1(λ1,2是方程(7)的两个根)；

(2)使成立的(s1,s2)或不存在，或不属于区域[0,2]×[0,2]. 定理1 差分格式(5)稳定的一个充分条件是

证明 当g12≠-1时，对所有的s1和s2都不成立，因此由(8)式知，格式(5)稳定的条件为-1+g12≤g11≤1-g12<2. 由g11≤1-g12可得 .

为确定起见，不妨假定 1+2rθs2+4rωs1>0，

由s1,s2的取值范围可知，该式成立的一个充分条件是

当(11)，(12)两式成立时，可验证(10)式亦成立.而当(11)，(12)两式成立时，由1-g12<2可得 .

(13)式成立的一个充分条件为 即，

再由-1+g12≤g11 可得 .

(15)式成立的一个充分条件为

由条件(14)，可得(16)，(17)两式成立的一个充分条件为

综合(11)、(12)、(14)、(18)、(19)式，由Lax的稳定性与收敛性等价定理即证得本定理.

格式(5)中的参数应按定理1的条件(9)选取，现提供如下方法：

，另外考虑到条件(14)还有，因此得到，此时θ≥0，为确定起见，取θ=0，并取，格式(5)成为 ◇)□◇]□◇]，

其截断误差为O(Δt2+Δx4)，稳定性条件为. ，即，此时，为确定起见，取，并取格式(5)成为 □◇]□◇]□◇]，

其截断误差为O(Δt2+Δx4)，稳定性条件为.

联合格式(20)与(21)，则对任意，就构成了一个稳定且收敛的截断误差为O(Δt2+Δx4)的三层隐格式，由于当时，格式(20)、(21)化为同一格式，称格式(20)、(21)为分支稳定的隐格式. 对初边值问题

利用格式(20)与(21)求数值解，并与精确解进行比较.

取Δx=Δy=0.1，Δt=rΔx2=r/100，r=1/6,1/2,1,2计算.为方便起见，用式(22)的精确解u(x,y,t)=e-2tsin(x+y)计算第一层的值.按格式(20)、(21)计算到n=300时的结果如表1.

由表1可以看出，对满足稳定性条件不同的r，本文格式解与精确解均有很好的吻合，这与理论分析完全一致.

【相关文献】

[1] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解法[M].北京：清华大学出版社，2010：112-114. [2] 戴嘉尊，邱建贤.微分方程数值解法[M].南京：东南大学出版社，2008：95-103.

[3] REN Zong-xiu, CHEN Zhen-zhong, WANG Xiao-feng. A family of high-order accuracy explicit difference schemes for solving 2-D parabolic partial differential equation[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2002,17(3)：57-61.

[4] 詹涌强，陈妙玲，谭志明.二维抛物型方程的分支稳定显式差分格式[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2013,34(5)：467-470.

[5] 曾文平.解二维抛物型方程的恒稳高精度格式[J].华侨大学学报：自然科学版，1999,20(1)：18-24.

[6] 马明书.二维抛物型方程的一族两层显式格式[J].河南师范大学学报：自然科学版，2002,30(1)：23-25.

[7] 马明书，申培萍，张利霞.二维抛物型方程的高精度分支稳定显格式[J].工程数学学报，1999,16(3)：139-142.

[8] 马驷良.二阶矩阵族Gn(k,Δt)一致有界的充要条件及其对差分方程稳定性的应用[J]. 高等学校计算数学学报,1980:2(2)：41-53.