ｏｃｔ．２０１５ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭ ｒＩＣＳ Ｖｏ１．３２ ＮＯ．５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００５—３０８５．２０１５．０５．０１１ Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ：１００５・－３０８５（２０１５）０５－－０７２６－－１７ Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ术 ＬＥ Ｇ Ｗｅｉ （Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１９０） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｂｌｏｃｋ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ．Ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｄｏｍａｉｎ ｉＳ ｉｒｓｔｌｙ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｈｉｆｅｒａｒｃｈｉｃａｌｌｙ ｉｎｔｏ ｍａｎｙ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｏｎ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅｌｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗａｖｅｓ ｔｏ ｏｕｔ—ｇｏｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｏｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ａｒｅ ｓｅｔ ｕｐ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅｌｓ ｔｏ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉＳ ｏｆ １ＯＷ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ａｎｄ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ，２Ｄ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｈａｌｆ ｂｉｌｌｉｏｎ ｕｎｋｎｏｗｎｓ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｅｆｉｃｉｅｎｔｌｆｙ ｏｎ ｍａｓｓｉｖｅｌｙ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍａｃｈｉｎｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ；ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ；ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ； ＰＭＴ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：ＡＭＳ（２０００）６５Ｎ２２；６５Ｆ１０ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ ＣＯｄｅ：Ａ ＣＬＣ ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ２４１．８２；Ｏ２４１．６ １ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｐａｃｅ ｗｉｔｈ Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ ｒａｄｉａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ △ ＋ｋ２ｕ一．厂，ｉｎ 。， （１） ｒ１ （ 一 尼ｕ）＿÷。，ａｓ ｒ＝ ＿÷。。， ｗｈｅｒｅ ｋ ｉＳ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｎｕｍｂｅｒ． Ｍａｎｙ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｖｅ ｒｅｃｅｎｔｌｙ ｂｅｅｎ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅｍ ａｒｅ ｎｏｎ—ｏｖｅｒｌａｐｐｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｊｏｒ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅｓ ｂｅ— ｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ ａｒｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｅｎｇｑｕｉｓｔ ａｎｄ Ｙｉｎｇ［ ， ］ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ｓｗｅｅｐｉｎｇ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：０１ Ｊｕｎｅ ２０１５． Ａｃｃｅｐｔｅｄ：１２ Ａｕｇ ２０１５． Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：Ｌｅｎｇ ｗｅｉ（Ｂｏｒｎ ｉｎ １９８４），Ｍａｌｅ，Ｄｏｃｔｏｒ，Ａｓｓｉｓｔａｎｔ Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｉｅｌｄ：ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ ８６３ Ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（２０１２ＡＡＯ１Ａ３０９）． ＮＯ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７２７ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｂｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ Ｓｃｈｕｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ＬＤＬｔ ｆａｃｔｏｒ— ｉｚａｔｉｏｎ，Ｓｔｏｌｋ［３．ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ａ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉ０ｎ ｃｏｎｄｉ— ｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｅｒｆｅｃｔ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒｓ，Ｖｉｏｎ ａｎｄ Ｇｅｕｚａｉｎｅ［４］ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａ ｄｏｕｂｌｅ ｓｗｅｅｐ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｔｈａｔ ｕｓｅ ａ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｎｖｏｌｖｅｓ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ—ｔｏ－Ｎｅｕｍａｎｎ （ＤｔＮ）ｏｐｅｒａｔｏｒ，Ｚｅｐｅｄａ ａｎｄ Ｄｅｍａｎｅｔ［ ］ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｏｌａｒｉｚｅｄ ｔｒａｃｅ ｔｈａｔ ｕｓｅ ａ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍ，Ｌｉｕ ａｎｄ Ｙｉｎｇ［。】ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ａｎ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉ０ｎｅｒ ｔｈａｔ ｕｓｅ ａ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｂｕｉｌｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｗａｖｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ．Ｃｈｅｎ ａｎｄ Ｘｉａｎｇ［７，ｓ］ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｉｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ， ａｎｄ ｒｅｃｅｎｔｌｙ Ｄｕ ａｎｄ Ｗ＿ｕ［。Ｊ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ａｐｐｌｉｅｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ｕｓｕａｌｌｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｖａｒｙｉｎｇ ｍｅｄｉｕｍ，ｅｉｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｃｏｎ— ｄｉｔｉｏｎ ｏｒ ｗｉｔｈ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ Ｇｒｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｕｓ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ａｓ ｐｒｅｃｏｎ－ ｄｉｔｉｏｎｅｒｓ ｆｏｒ Ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｃｈ ａｓ ＧＭＲＥＳ． Ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ，ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｗａｖｅ ｔｒａｙ－ ｅｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ，ｗｈｉｃｈ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｙｅｒｓ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｎｓｕｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｇｏｏｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍ— ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｍａｋｅｓ ｉｔ ｔｈｅ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｂｌｏｃｋ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ． Ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｓｕｆｆｅｒｓ ｆｒｏｍ ｓｌｏｗ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｌａｒｇｅ，ｔｈｕｓ ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｇｒｉｄ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａ－ ｔｉｏｎ ｉｓ ｂｒｏｕｇｈｔ ｔｏ ｆａｒ ａｗａｙ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐａｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｗａｙ． Ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｌｅｖｅｌ ｇｒｉｄ ｆｏｒ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｔｙｐｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｃｏａｒｓｅｒ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ｆａｓｔ ａｓ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｇｒｏｗｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ，ｔｈｅ ｇｒｉｄ ｓｉｚｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｓｍａｌｌ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｗａｖｅ ｓｈａｐｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｌｅｖｅｌ ｇｒｉｄ．Ｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ，ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ，ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｏｎ ｕｐｐｅｒ ｌｅｖｅｌ ｇｒｉｄ ｉｓ ｎｏｔ ｆｏｒｍｉｄａｂｌｅ． Ｔｈｅ ｆｓｔａ ｍｅｔｈｏｄ ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｉｒｓｔ ｓｅｔｕｐ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅｌｓ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｌｅｖｅ１．ａｎｄ ｐｒｏｐａｇａｔｅ ｏｎ ｈｉｇｈｅｒ ａｎｄ ｈｉｇｈｅｒ ｌｅｖｅｌｓ ｔｉｌｌ ｔｈｅ ｔｏｐ ｌｅｖｅｌ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｈｉｇｈ ｌｅｖｅｌｓ ａｒｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｌｏｗｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｌｅｖｅｌ，ａｔ ｌｓｔ ｔｈｅ ｔｒａｃｅｓ ｉａｎ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｌｅｖｅｌｉｓ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｂａｃｋ ｔｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ．Ｉｎ ｓｕｃｈ ｕｐ ａｎｄ ｄｏｗｎ ｐｒｏｃｅｓｓ．ｔｈｅ ｗａｖｅ ｔｒａｖｅｌｓ ｔｏ ｆａｒ ａｗａｙ ｒｅｇｉｏｎｓ ｖｉａ ｔｈｅ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｈｉｇｈ ｌｅｖｅｌｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｏｒｇａｎｉｚｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ．Ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ ２，ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ７２８ ＣＨＩＮＥＳＥ Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０Ｌ．３２ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ．Ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ ３．ｔｈｅ ｆａｓｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ．Ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍ－ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｑｕａｄｔｒｅｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｂｕｉｌｔ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｂｕｉｌｄ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｔｈｅｎ ｓｏｕｒｃｅ—ｕｐ ａｎｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ—ｄｏｗｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｆｏｒ Ｍａｒｍｏｕｓｉ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｓｅｃｔｉｏｎ ４． ２ Ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ＤＤＭ Ｔｈｅ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉＳ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅ— ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｐｏｓｅ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ＳＴＤＤＭ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ，ｔｈｅｎ ｒｅｖｉｓｅ 讧 讦 讦 ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｆ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎｔｏ ｍａｐｐｉｎｇ，ａｎｄ ａｔ ｌａｓｔ ｐｒｏｐｏｓｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｂｌｏｃｋ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｓｔ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． ２．１ ＳＴＤＤＭ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ 。，ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｆ ｉｓ ｇｉｖｅｎ， ａｎｄ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ｉＳ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｌａｙｅｒｓ Ｙ＜－ｄ， ｋ（ｙ）＝ ｄ Ｙ ｄ， Ｙ＞ｄ， ｓ ｓｈｏｗｎ ｉａｎ Ｆｉｇｕｒｅ １．Ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｙ＝ｄ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ Ｆ１，ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｙ＝－ｄ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ Ｆ２． ｙ…ｗ 、、 、、ｌ … 、 ｙ ｒｌ ．一 ｄ ； ｛ Ｘ Ｘ ＸＦ２ 一一 ｄ 一一— Ｆｉｇｕｒｅ ｌ Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ Ｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｌａｙｅｒｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ＮＯ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｏｎ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ｄｏｍａｉｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｅｒｆｅｃｔ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ ａｓ ｔｈｅ ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ［１０，１１］．Ｔｏ ｓｏｌｖｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｐｒｏｂｌｅｍ（１），ｔｈｅ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ ｉｓ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ｔｏ ａ ｒｅｃｔａｎｇｌｅ［一ｌ１，ｚ１］×［一ｌ２，ｆ２］ｊ ｗｉｔｈ ａ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ｌｐｍｌ ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ｄｏｍａｉｎ Ｑ ｂｅｃｏｍｅｓ【－１１一ｌｐｍｌ，ｌｌ＋ｌｐｍ１】×［一１２—１ｐｍｌ，１２＋ｌｐｍｌ】． Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ａｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｏｆ ｄｏｍａｉｎ Ｑ，ｄｅｎｏｔｅｄ Ｑ．Ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ，ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ １１＋／ｐｍｌ ａｓ １１． Ｔｈｅ ｕｎｉａｘｉａｌ ＰＭＬ ｍｅｔｈｏｄ［ｕ】ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｉｓ ｓｔｒｅｔｃｈｅｄ ｉｎ Ｘ ａｎｄ Ｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ ｆｘｊ （ ）＝／ａｊ（ｔ）ｄｔ，Ｊ＝１，２， Ｊ０ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｈａｔ （ ）＝０ ｆｏｒ Ｉｔｆ ｌｊ，ａｎｄ （ ）＞０ ｉｎ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ Ｉｔｌ＞ｌ，．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｊ－１ ・（ＡＶｕ）＋ｋ２ｕ＝ｆ，ｉｎ Ｑ， ｗｈｅｒｅ （３） 一ａｉａｇｆ ＯＡ（ｘ） ／１（Ｘ１）， ）， Ｊ（ｘ） ＝Ｏ／１ １） ２ ２） Ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｄｏｍａｉｎ ｉｓ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｔｏ ｔｗｏ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ，ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｏｎｅ Ｑ１＝［一１—１，ｌ—１］×［一 —ｌｐ ｌ，ｌ２＋ｚｐ １］ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ｏｎｅ Ｑ２＝［一ｌｌ，１１］×［一１２一ｌｐｍｌ，ｌ＋ ／ｐｍ１］，ｗｉｔｈ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ【＿．１．１，＿１１×［１］＿ｉ，２），ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ １．Ｓｉｍｉｌａｒ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｓ（３１ ａｒｅ ｂｕｉｌｔ ｏｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ａ ａｎｄ Ｊ ｉｎ ｔｈｅ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ｄｅｎｏｔｅｄ Ａ ａｎｄ ｏｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｆｎ Ｑｔ，ｉ＝１，２． Ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｉｒｓｔ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ．（ＡｔＶｕｔ）＋ｋ２ｕｔ＝ ，ｉｎ Ｑｔ，ｉ：ｌ，２， （４） ｗｈｅｒｅ ｆｌ＝．厂． ＜０ ｆｏｒ １，ａｎｄ，２：．厂・）（ ≥０ ｆｏｒ Ｑ２，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｆｏｒ ｉ＝１，２． Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ ｗａｖｅ ｆｉｅｌｄ ｉｎ １ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ ａｓ ｓｏｕｒｃｅ ｔｏ ２ ｍｅａｎｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｉｆｅｌｄ ｉｎ Ｑ２ ｉｓ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ ａｓ ｓｏｕｒｃｅ ｔｏ Ｑ１，ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ ｓｏｕｒｃｅｓ ｔｈｅ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ａｒｅ ｓｏｌｖｅｄ ａｎｄ ｎｅｗ ｗａｖｅ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ，ａｎｄ ＳＯ ｏｎ ・（Ａ１ ｕｉ十 ）＋ｋｓ ８１十 ＝ １（ ；）， ｉｎ Ｑ１， ・（ＡｌＶｕ￣）一南 ， ｉｎ Ｑ１， （５） １（ ）＝一 ・（Ａ２Ｖ钆 十 ）＋ 。 ；十 ＝ ２（ ）， ｉｎ Ｑ２， （６） 皿２（ ；）＝一 Ｖ・（Ａ２Ｖｕ￣）一后 ， ｉｎ Ｑ２， ７３０ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０Ｌ．３２ ｗｈｅｒｅ １ ａｎｄ皿２ ａｒｅ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｔｅｐ，８＝０，１，２，…． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ ｓｏｕｒｃｅ １（ ）＝０ ｆｏｒ Ｙ＜ｌ ｏｒ Ｙ＞ｌ＋／ｐｍｌ，ｔｈｕｓ ｉｔ ｈａｓ ａ ｃｏｍｐａｃｔ ｓｕｐｐｏｒｔ ｉｎ ｔｈｅ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ，ＳＯ ｄｏｅｓ １（ ）．Ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅ ＰＭＬ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ａｒｅ ｓｕｍｍｅｄ ｕｐ ａｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏ。 ｒ“ＤＤＭ＝＝＝ ∑（札 ＋ｕ ）． ｓ＝０ （７） Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎ（４）－（６）ｓｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ（７）ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ（３）ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｂｙ ）１ ，＝ （Ｎ ＋钆 ）１ ＋ ）一，＋ （∑（“， （∑（ ＋乱一Ⅳ ｓ＝Ｏ ｓ＝１ Ｎ ＝一 （ｕ ）一 （ ）＋ （ １＋札２１）＋ （∑（ｕｉ＋ ）） ｓ＝２ Ｎ ＝一 （ｕ ）一 （ ）＋ （“， ＋ ）＋ ｆ ∑（ｕ ＋ｕ ）） ｓ＝３ ＝ ＝…（ｕ ＋ ）， —÷。ｏ．ｗｈｉｃｈ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｅｎｓｕｒｅｄ ｂｙ ＿÷０ ａｓ Ｎａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｔｅｒｍ （ ＋ ） ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ＰＭＬ ｍｅｔｈｏｄ［ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｗａｖｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｉｎ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ（７）ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗａｖｅｓ，ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ａｎｄ ｒｅｆｒａｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｔｈａｔ ｐｒｏｐａｇａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｙｅｒｓ［ 引ａｓ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ２． ，ｒ ｒ Ｆｉｇｕｒｅ ２ Ｗａｖｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ抽ｔｈｒｅｅｌａｙｅｒｅｄｍｅｄｉｕｍ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｗａｖｅ ｕ０ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｌａｙｅｒ，ｔｈｅｎ ａｔ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｆ１，ｕ０ ｃａｕｓｅｓ ａ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅ ｕ００ ｇｏｉｎｇ ｕｐｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｌａｙｅｒ ａｎｄ ａ ｒｅｆｒａｃｔｅｄ ｗａｖｅ Ｕｏｌ Ｎ０．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７３１ ｇｏｉｎｇ ｄｏｗｎｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｌａｙｅｒ．Ｔｈｅ ｗａｖｅ Ｕｏ＋Ｕｏｏ＋Ｕｏｌ ｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ２ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ（４）ｗｉｔｈ ｉ＝１． Ｔｈｅｎ ａｔ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｆ２，Ｕ０１ ｃａｕｓｅｓ ａ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅ Ｕｏ１２ ｇｏｉｎｇ ｄｏｗｎｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ｌａｙｅｒ ａｎｄ ａ ｒｅｆｒａｃｔｅｄ ｗａｖｅ Ｕｏ１１ ｇｏｉｎｇ ｕｐｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｌａｙｅｒ．Ｔｈｅ ｗａｖｅ １＋ １２＋Ｕｏ１１ ｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ５ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ（６）． Ｔｈｅｎ ａｔ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｆ１，Ｕ０１１ ｃａｕｓｅｓ ａ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅ Ｕ０１１１ ｇｏｉｎｇ ｄｏｗｎｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｌａｙｅｒ ａｎｄ ａ ｒｅｆｒａｃｔｅｄ ｗａｖｅ Ｕ０１ １０ ｇｏｉｎｇ ｕｐｗａｒｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｌａｙｅｒ．Ｔｈｅ ｗａｖｅ １１＋ ｌ１０十Ｕ０１１１ ｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ（５）． Ｔｈｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｇｏｅｓ ｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｗａｖｅｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ （３）， ｕ＝Ｕ０＋Ｕ００＋Ｕ０１＋Ｕ０１２＋Ｕ０ｌ１＋ １１０＋Ｕ０１１１＋Ｕ０１１１２＋Ｕｏ１１１１＋…， （８） ａｎｄ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ（８）ｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ（７）． Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｒｅｌａｔｅｓ ｃｌｏｓｅｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｙｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ． Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｌｉｅｓ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ ｍｉｄｄｌｅ ｌａｙｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ， ｅ．ｇ．，ｌ＜ｄ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ（８）．Ｔｈｅ ｗｏｒｓｔ ｃａｓｅ ｈａｐｐｅｎｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｎａｒｒｏｗ ｗａｖｅ ｇｕｉｄｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｏｍａｉｎ ｌｉｅｓ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｇｕｉｄｅ，ｅ．ｇ．ｋ２＞ｋｌ＝ｋ３，ｌ＜ｄ ａｎｄ ｄ ｉｓ ｓｍａｌ１．Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｓｕｃｈ ｃａｓｅ，ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｈａｖｅ ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｍｉｎｉｍｕｍ ｓｉｚｅ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎ－ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ＤＤＭ ｍｉｇｈｔ ｄｅｔｅｒｉｏ－ ｒａｔｅ ｉｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｌｉｅｓ ｒｉｇｈｔ ｉｎ ａ ｗａｖｅｇｕｉｄｅ．Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｗｏ ｒｅｍａｒｋｓ ｏｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ． Ｒｅｍａｒｋ １ Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｎａｂｌｅｓ ｄｉｒｅｃｔ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｕｓｅ ｉｔ ８８ ａ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ ｆｏｒ ｏｕｒ ｎｅｗ ｆｓｔ ｍｅｔｈｏｄ．ａ Ｒｅｍａｒｋ ２ Ａｎ ｅｘｔｅｎｄ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ａｎｄ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｌａｙｅｒ ｔｈａｔ ｄｏｅｓｎ’ｔ ａｂｓｏｒｂ ａｔ ａｌｌ，ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｌａｙｅｒ［一ｌｌ，ｌ１］× 【０，２＋２ｐ １］ｉｓ ａｎ ｅｘｔｅｎｄ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ．Ｓｉｎｃｅ ｉｔ’ｓ ａｌｌ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｍａｋｅ ａ ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｙ ｃａｌｌ ｔｈｅｍ ｔｈｅ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ． ２．２ Ｍａｐｐｉｎｇ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ Ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅｖｉｓｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｆ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ（５）ａｎｄ（６）ｉｓ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｂｙ ｍａｐｐｉｎｇ． Ｆｏｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ１，ａ ｍａｐｐｉｎｇ １ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｒａｃｅ Ｕ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅ［一ｌｌ，１１］ｘ ０ ｔｏ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｑ】ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｓ ａｆｏｌｌｏｗｓ：Ｇｉｖｅｎ Ｕ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅ【一ｌ１，ｌ１】×０，ｓｏｌｖｅ ７３２ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＶｏＬ．３２ ａｓ ｉｔｓ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ・（Ａ２ 也）＋ ＝０， ｉｎ【－ｌｌ，ｌ１］×【０，ｌ＋／ｐｍ￣］， （９） （１０） ＝Ｕ ，ｏｎ［一１１，＿１１１×０．］ Ｉｔ’Ｓ ｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ ｉｆ Ｕ ｉｓ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ（６），ｔｈｅｎ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈａｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ［＿．１．１，ｌ—１］Ｘ［０，ｊ，＋ｆｐｍｌ】．Ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅｎ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ａｓ ｓｏｕｒｃｅ １（ ）＝一 Ｖ・（Ａ１ 也）一 ， ｉｎ Ｑｌ， ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｆｉｅｌｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ＰＭＬ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ １ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｆ ・（Ａ１ 面）＋ 面＝ １（ ）， ｉｎ Ｑ１． （１２） Ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ＝ １（ ）． Ａｎｏｔｈｅｒ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｒａｃｅ Ｕ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅ［－／１，２１】×０ ｔｏ ｔｈｅ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ ＵＦ ｏｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｌｉｎｅ，ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ Ｆ＝７１（ｕ ）全Ｇ１（ ）ｌ［－ｈ，＿１】 ０． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅ［一１１，１１】×０，ｉｔ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｓ ａｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｒ ｉｆｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ，ｒｅｓｐｅｃｔｆｕｌｌｙ．Ｆｏｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ２，ｓｉｍｉｌａｒ ｍａｐｐｉｎｇ ２ ａｎｄ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｌａｙ－ ｅｒｅｄ ｍｅｄｉｕｍ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅｖｉｓｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：ｆｉｒｓｔ，ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｓｏｕｒｃｅ ・（Ａ Ｖｕ ）＋ｋ２ｕｔ＝ ，ｉｎ Ｑｉ，ｉ＝１，２， （１３） ｗｈｅｒｅ＾＝，・ ＜０ ｆｏｒ Ｑ１，ａｎｄ，２＝．厂・）（ ｏ ｆｏｒ Ｑ２，ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｆｏｒ ｉ＝１，２，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ’。：ｕ ×０１ ｆｏｒ ｉ：１，２． Ｔｈｅｎ ｅａｃｈ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｔａｋｅｓ ｉｔｓ ｎｅｉｇｈｂｏｒ’Ｓ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｓ ｉａｔｓ ｏｗｎ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ，ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｆｉｌｅｄ ｔｒａｃｅ，ａｎｄ ＳＯ ｏｎ ，＝ ，ｕ，ｉｎ Ｑ１， ｉｎ Ｑ２， ’卧 ＝ （ Ｉ ）， ｉｎ Ｑｌ， ｎ Ｑ２， （ “）， ｉ¨＝ “＝ ，ｏｒ ８＝０，１，２，…，ａｎｄ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｆｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ 咖Ｍ： ＋ｕ。＋ （∑ ）＋ ｆｚ ｓ＝１ Ｎｏ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ２．３ ＳＴＤＤＭ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ Ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｉｎ Ｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｅａｓｉｌｙ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｚ ａｎｄ Ｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｍａｊｏｒ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｉＳ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ，ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ａｒｅ ａ ｌｉｔｔｌｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｆｏｒ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ． Ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｄｏｍａｉｎ Ｑ ｉｓ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ ｆｏｕｒ ｓｍａｌｌｅｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ＱｔＪ，ｉ，Ｊ＝１，２． ，Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ（ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ）ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑｔ，Ｊ ａｒｅ ｄｅｎｏｔｅｄ Ｑｔ，Ｊ，ｔｈｅｙ ａｒｅ ｎｏｎ—ｏｖｅｒｌａｐｐｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｕｎｉｏｎ ｉＳ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａ１ ｄｏｍａｉｎ，ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３（ａ），ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｈａｔｃｈｅｄ ａｒｅａ ｉｓ ｔｈｅ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ．Ｅａｃｈ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｊ ｈａｓ ｌｔｓ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ｌｉｅ ｉｎ ｉｔｓ ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ，ｄｅｎｏｔｅｄ ｆ，ａｎｄ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｉｆｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ，ｄｅｎｏｔｅｄ ｒ ，ｆ０ｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ Ｊ ａｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３（ｂ）－Ｆｉｇｕｒｅ ａ（ｄ）ａｎｄ Ｆｉｇｕｒｅ ３（ｅ）－Ｆｉｇｕｒｅ ａ（ｇ）ｒｅｓｐｅｃｔｆｕｌｌｙ，ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｈａｄｏｗｅｄ ３］ｙｅａ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｒｅｇｉｏｎ．ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｏｒ ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ． ２，ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｆｏｒ ｗａｖｅ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ２．ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ１２ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３（ｂ），ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｆｏｒ ｗａｖｅ ｇｏｅｓ ｔｏ ，ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ１２ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３（ｆ）． ，～ ～ Ｑ１２ ．Ｑ２２ ．Ｑ１１ ．２．１ Ｑ２２ ．（ａ） （ｅ） Ｆｉｇｕｒｅ ３：Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ （ｇ） Ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ ，ａｒｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ａｓ Ｕ Ｉ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ＦＴｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｒｏｍ ｔｈｅ ｉｆｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｆ Ｆｊ ａｒｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ｓ Ｕ，ａ．．“ｆ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑｔ，，， ，ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ． ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑｉｆ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ， Ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ １． Ｉｎ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｖｉａ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ （３）一（７），ｗｅ ｃａｌｌ ｉｔ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｄ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ｆｒｏｍ ｎｏｗ ｏｎ． ７３４ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０Ｌ．３２ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ １ Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ，１：Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ，Ｊ ｏｎ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ＱｔＪ，ｉ，Ｊ＝１，２， ｗｉｔｈ ｄｉｒｅｃｔ ｓｏｌｖｅｒ． ２：Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ ＱｔＪ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ ，，Ｊ＝， ， ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ３：ｗｈｉｌｅ∑Ｉｌ ４： ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ５： ６： ＞￡ｄｏ ｊ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ Ｕ Ｓｅｎｄ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ Ｑ ’ｓ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ Ｒｅｃｏｒｄ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ Ｕ Ｉ’ Ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ Ｕ Ｆ， ＝ ，Ｊ（ “） ７： Ｓｅｔ ８＝ｓ＋１ ８：ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ Ｊ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｕｓｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔ ９：Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ Ｑｔ，ｓ。ｌｖ ｅｒｊ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉ０ｎ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｇ （ 嗜）． １０：Ｓｕｍ ｕｐ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｌｌ ｓｕｂｄｏｍａｉｎｓ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ＝＝＝ ＞∑（』＿－ Ｉ一 、 ０＋ ， 十 ｉ Ｉ （ 、∑Ｕ ）●＿＿一 一，ｌ ），Ｉ ． ＝ｔ，Ｊ＝１，２ ８＞０ ３ Ｔｈｅ ｆａｓｔ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ３．１ Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ Ａ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｄｏｍａｉｎ ｏｆ［一Ｌ，Ｌ］ｉｓ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ ｓｍａｌｌｅｒ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｂｌｏｃｋｓ ｆｏｒ ｓｕｂｄｏｍａｉｎ１ ｏｎ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅｌｓ．Ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｅｖｅｌｓ ａｓ ＮＬ＋１，ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ Ｚ＝０ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｌｅｖｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｌ＝ＮＬ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｔｏｐ ｌｅｖｅ１． Ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｂｌｏｃｋｓ ｉｎ Ｘ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｔ ｌｅｖｅｌ ｆ ｉｓ ２ＮＬ一，ｗｈｅｒｅ ｌ＝０，１，…＝， ．Ｌｅｔ ｆ１，２，…，２ＮＬ １，ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ １，ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ —ｔｈ ｂｌｏｃｋ ｉｎ Ｘ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｊ—ｔｈ ｂｌｏｃｋ ｉｎ Ｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ，ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ，Ｊ；ｌ，ｗｈｅｒｅ ｉ，Ｊ∈厶．Ｅａｃｈ ｂｌｏｃｋ ｓｈａｒｅｓ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ／ｐｍｌ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｎｅｉｇｈｂｏｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｌｅｖｅ１． Ｔｈｅ ｑｕａｄｔｒｅｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌｅｖｅ１ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ａｓ ｆｏｌ— ２ ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ＝２ＮＬ～，…ｌｏｗｓ．Ｅａｃｈ ｂｌｏｃｋ Ｑｔ；， ，１ ｈａｓ ｆｏｕｒ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ２ｔ，２ｊ一１；２—１， Ｑ２ｔ２Ｊ；ｌ一１ ，２Ｊ；ｌ一１， ２ １，２Ｊ一１；ｆ一１， Ｑ２ 一１，ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ一１．Ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ，ｔｈｅ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ｏｆ ｂｌｏｃｋ ＱｔＪ；１ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ Ｑ ，；１—１，ｗｈｅｒｅ ，ｉ ＝２ｉ一１，２ｉ，Ｊ ＝２ｊ一１，２ｊ．Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，ｅａｃｈ ｂｌｏｃｋ Ｑｉ，Ｊ；ｌ ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ ｈａｓ ａ ｊ／２１：／＋１ ｏｎ ｌｅｖｅｌ １＋１，ｗｈｅｒｅ ｌ＜ＮＬ．Ｔｈｅ ｆａｔｈｅｒ—ｓｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｔｈｅｒ￣ｒｉｌ２１ｒ．Ｎ０．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７３５ ｂｌｏｃｋｓ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｑｕａｄｔｒｅｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈｅ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ４ ｌｅｖｅｌｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ４． Ｆｉｇｕｒｅ ４：Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ Ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｊ如４ ｌｅｖｅｌｓ Ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｎｄ ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｏｎ ｂｌｏｃｋ ，ｊ；１ ｉｎｃｌｕｄｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｓ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ３，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｔｓ ａｓｃｅｎｄａｎｔｓ’ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｎｄ ｉｆｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ，ａｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ５，ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｈａｔｃｈｅｄ ａｒｅａ ｉｓ ｔｈｅ ＰＭＬ ｌａｙｅｒ， ｔｈｅ ｓｈａｄｏｗｅｄ ａｒｅａ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｒｅｇｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｏｒ ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｒｅｇｉｏｎ ｆｏｒ ａｓｃｅｎｄａｎｔｓ ｏｆ ｃｈｉｌｄ Ｑ２ｔ２ｊ；ｌ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ５（ｂ）一Ｆｉｇｕｒｅ ５（０，ａｎｄ ，ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｒｅｇｉｏｎ ｏｒ ｃｈｉｆｌｄ ２ｔ２Ｊ；ｚ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ，ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ５（ｇ）．Ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｂｌｏｃｋ ，Ｊ；ｌ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｒｌ ｚ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ Ｊ；ｌ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ Ｆ Ｆｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｂｌｏｃｋ ｇｔｉ；ｚ． ，， Ｗｅ ｓｅｅ ；ｃ Ｃ ， Ｊ，．１—１ ａｎｄ Ｆ Ｆ；ｚ ｃ ，ｒ Ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ 拍，ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ，Ｊ；１． Ｑ２ 一１２ｊ：ｚ ．Ｑ２ ２ｊ：ｌ ．（Ｃ） ２ １．２ｊ一１：ｚ Ｑ２ ２ｊ—ｌ：ｚ ．（ａ） （ｅ） （ｇ） Ｆｉｇｕｒｅ ５：Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ａｎｄ ｆｉｅｌｄ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ７３６ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０Ｌ．３２ ３・２ Ｓｅｔｕｐ ｐｈａｓｅ Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｔｕｐ ｐｈａｓｅ，ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｏｔｔｏｍ ｕｐ ｌｅｖｅｌ ｂｙ ｌｅｖｅ１．Ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｂｌｏｃｋ Ｑ ｊ，ｉＪ∈／０ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｗｉｔｈ ，ｅｘｔｅｒｎａｌ ｄｉｒｅｃｔ ｓｏｌｖｅｒ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｂｌｏｃｋ Ｑ ，． ｏｆ ｌｅｖｅｌ ｌ＞０ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｌｉｅｓ ｉｎ 州，ｉｔ ｍｕｓｔ ｌｉｅ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈｉｌｄｒｅｎ，ｄｅｎｏｔｅｄ ａｓ Ｑ 。；ｆ～１．Ｆｉｒｓｔ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ 。；ｚ一１ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ｒ ．ｆ＿ｌ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｍａｐｐｉｎｇ ，。，如“一１．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｆ Ｑ 。；ｌ一１ ｉｓ ｓｅｎｄ ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓａｎｄ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｄ ｆｉｌｅｄ ｔｒａｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｐｐｌｉｅｓ．Ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｖＵｔ，Ｊ，；ｌ－ｌ￣ｗｈｅｒｅ ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｎ ，一１ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ， ＿ｌ１１ ａｌｏｎｇ ｗｉｔｈ ，ａｒｅ ａｄｄ ｕｐ ａｓ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ 川ｏｎ 训 ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｏｎ Ｑ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ５， Ｕ Ｙ． ＂￣ｉ０，ｊｏ；Ｉ－１（ ） ＋∑ ， ；ｚ ，／，●一／ ，； ｉ ，Ｊ ） ， （１５） （１６） ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｉｓ ∑ ｃ（ ）＝％ Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｒｏｍ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ｉｓ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ２ Ｂｕｉｌｄ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａ ２：ｆｏｒ ｌｅｖｅｌｓ ｌ：１，…３： ４： ５： 西 —————一 ． １：Ｏｎ ｌｅｖｅｌ ０，ｂｕｉｌｄ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈ ｄｉｒｅｃｔ ｓｏｌｖｅｒ， ， ｄｏ Ｏｎ ｂｌｏｃｋ ， ｏｒ ｉｆｎｃｉｄｅｎｔ ｌｉｅｓ ｉｎ Ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ；ｆ ｄｏ 。；ｆ＿１ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｌｉｅｓ ｉｎ Ｆ Ｉ． １ ６： Ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ Ｑ ０；ｆ一１， 一１， ．ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｏ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ Ｕ Ｆ。， ａｎｄ ａｄｄ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅｍ ｔｏ ｆａｔｈｅｒ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ Ｕ Ｆ， ７： ｓｅｔ ；ｆ－１＝Ｕ Ｆ ｆ＿１ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ Ｑ ；ｆ＿１＝０ ｏｎ ｏｔｈｅｒ ｃｈｉｌｄｒｅｎ Ｑ Ｊ，；ｆ＿１． 一， ａｎｄ ｓｅｔ ８： ９： ｗｈｉｌｅ∑ｌ ｕ／Ｆ， ，ｓ１『Ｉ＞￡ｄｏ ， Ｉｆ＿】 Ｓｅｎｄ ｔｈｅ ｃｈｉｌｄｒｅｎ’ｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ．一１ ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ Ｖ ｉＩ，，ｓｑ ，１ １０： Ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ’ １： ，，』＇；／－－１＼ －ＴＩ， ｓ＋ｌ，－２１） Ｎｏ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７３７ １１： １２： Ｓｅｔ ８＝８＋１ ｅｎｄ Ｗｈｉｌｅ １３： Ｍａｐ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ， ａｎｄ ａｄｄ ｔｈｅｍ ｔｏ ｆａｔｈｅｒ’Ｓ ｉｆｅｌｄ％ １４： ｅｎｄ ｆ１０ｒ １５：ｅｌｌｄ ｆｏｒ ３．３ Ｓｏｌｖｅ ｐｈａｓｅ Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｔｏ ｆｉｌｅｄ ｔｒａｃｅｓ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｏｎ ｅａｃｈ ｂｌｏｃｋ ｏｆ ａｌｌ ｌｅｖｅｌｓ，ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｉｎ ｔｗｏ ｐｈａｓｅｓ，ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ—ｕｐ ｐｈａｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ－ｄｏｗｎ ｐｈａｓｅ． ３．３．１ Ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ－ｕｐ ｐｈａｓｅ Ｉｎ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ—ｕｐ ｐｈａｓｅ，ｔｈｅ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｅｓ ｏｎ ａｌｌ ｌｅｖｅｌｓ ｂｏｔｔｏｍ ｕｐ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ．Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ＱｔＪ；１，ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ ，ｉｔｓ ｆｏｕｒ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ａｒｅ ｋｎｏｗｎ，ｅ．ｇ．， ∥；ｆ＿ｌ，ＳＯ ｄｏｅｓ ｔｈｅｉｒ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ；ｌ－’－ｌ￣ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｕｉ ２ ｏｎ Ｑ ；ｌ，ａｎｄ ｉｔｓ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ 矗Ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｄ ｉｆｌｅｄ ｔｒａｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｐｐｌｉｅｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ，ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓ ａ，ｌ２—１，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｎ Ｑ ；ｚ ｉｓ Ｕｉ，ｊ；ｌ＝∑（ ０ ＋ ｉ，ｊｌ；ｌ－１（∑咙， ）．）， ｉ ｝ｊｆ ８ （１７） ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔ１Ｊ ｉｓ ，Ｕ Ｆ，Ｊ； ＝ ｉＩ ， （ ｕ／Ｆ，０ 一 ＋ １，ｊ，；ｌ－１（∑叱 ’ ，Ｊ；ｚ 、８ …ｔ，Ｊ；Ｉ ） （１８） Ｒｅｖｉｅｗ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｗｅ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｎｅｘｔ ｌｅｖｅｌ，ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ， ，一１ ｏｆ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ，ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ，川一１（∑ ８ 一１）ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｐｏｓｔ ｐｒｏｃｅｓｓｅｄ．Ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｒｏｍ ｂｏｔｔｏｍ ｌｅｖｅｌ ｔｏ ｔｏｐ ｌｅｖｅｌ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｏｕｒｃｅ—ｕｐ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ３ Ｓｏｕｒｃｅ—ｕｐ Ｒｅｑｕｉｒｅ：Ｒｉｇｈｔ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｆ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ Ｅｎｓｕｒｅ：Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ ｏｎ Ｑ ， ，ａｎｄ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｏｎ ＱｉＪ；ｌ ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ＞０ １：Ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ＝０． ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ Ｑ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅ ２：ｆｏｒ ｌｅｖｅｌｓ ｌ＝１，…，ⅣＬ ｄｏ ＝， ， ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ‰ａｎｄ ｔｈｅ ｉｔｓ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅ Ｕ Ｆ．，０ ａｒｅ ｒｅｃｏｒｄｅｄ． ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＶｏＬ．３２ ３： Ｏｎ ｂｌｏｃｋ ， ， 一１ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｃｈｉｌｄｒｅｎ’Ｓ ∥Ｉｌ＿１ ｌ ｕｓｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ａｄｄ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｊ －ｌｊ ｔｏ ｓｅｔ ｕ／Ｆ０ ，，Ｊ１＝ ，，州＿１１ ４： ｗｈｉｌｅ ｌ ｌＴ￣ｔＦ，，；ｆ一１ｌＩ＞ ｄｏ ｆｓ，５： ６： ７： ８： Ｓｅｎｄ ｃｈｉｌｄｒｅｎ’ｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｉｆｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ 多；ｆ＿１ ｓ＋ｌ ＝ 一 ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ Ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｏ ｆｉｅｌｄ Ｓｅｔ ８＝８＋１ ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ （ ９： Ｓｕｍ ｕｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ∑ Ｓ 一１ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ， ｍａｐ ｔｈｅｍ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ， ｔｈｅｎ ａｄｄ ｔｏ Ｕ Ｆ，Ｊ．；ｚ． １０：ｅｎｄ ｆｏｒ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃｏｕｌｄ ｔｈｅｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ：＝： ｉ，ｊＥｌｏ ） ∑ 钆‰＋ ￡．・ ￡．－０ ∑（￣ｉ＇，ｊｔ；１－１（∑咙， ）／＞０ ｉ，ｊ∈ｊｌ ｉ ，ｊ 。 （１９） ３．３．２ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ－ｄｏｗｎ ｐｈａｓｅ Ｉｎ ｔｈｅ ８ｏｌｕｔｉｏｎ－ｄｏｗｎ ｐｈａｓｅ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｅｓ ｏｎ ａｌｌ ｌｅｖｅｌｓ ｔｏｐ ｄｏｗｎ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ（１９）ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｆｒｏｍ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ３ ｓｔｉｌｌ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｄｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ ｇｉｖｅｎ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｏｎ ｂｌｏｃｋｓ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｌｅｖｅｌｓ，ｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ，ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｂｒｅａｋ ｄｏｗｎ ｔｏ ｌｏｗｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｌｅｖｅｌ ｔｉｌｌ ｌｅｖｅｌ ０．Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ：ｏｎ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ Ｑｔ ，ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ Ｆｉｒｓｔ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ％；ｆ（％；２）． 刊ｉｓ ｄｉｖｉｄｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅｓ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ，Ｕ Ｉ；ｆ＝ ．∑ ５＋ ０—１，ｔｈｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｏ ｉｆｅｌｄ ｍａｐｐｉｎｇ ， 一ｌ ｏｎ ｅａｃｈ ｃｈｉｌｄｒ ｅｎｊ ｆｉｅｌｄ （ ）＝∑（￣ｉｔ，ｊ＇；ｌ－１（∑ 一 ））． Ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｒｏｍ ｌｅｖｅｌ ｌ＝帆（２０） ｔｏ ｌ＝１，ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｒｅａｄｙ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ∑ 一１ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ ｂｌｏｃｋｓ ｆ－ｌ，ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ∑ ’ 一１ ｆｒｏｍ Ｑ训 ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｄｄｅｄ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． ＮＯ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７３９ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ４ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ－ｄｏｗｎ Ｒｅｑｕｉｒｅ：Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ ０，；１ ｏｎ Ｑｔ，， ａｎｄ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｏｎ Ｑｔｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ＞０ ， Ｅｎｓｕｒｅ：Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ １：ｆｏｒ ｌｅｖｅｌｓ Ｚ＝ⅣＬ，…，１ ｄｏ ２： Ｏｎ ｂｌｏｃｋ Ｑ｛ｆ；ｚ，ｄｉｖｉｄｅ ｔｈｅ ｓｕｎｌ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｏ ｉｔｓ ｃｈｉｌｄｒｅｎ， ，诅 ； ｌ一厶 ｉ一、 Ｉ ，ｏ，Ｊ ；ｌ－１ ｔ ，Ｊ ３ Ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｔｏ ｉｆｅｌｄ ￣ｒ／Ｆ∥，１．１＿１＝ ，∥｜ｆ－１（ ｗｈｉｌｅ ｌＩ 一 ＩＩ＞￡ｄｏ ５： Ｓｅｎｄ ｃｈｉｌｄｒｅｎ’ｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ ；ｆ＿１ ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｂｌｉｎｇｓ ａｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ∥ｓ＋ｌ；ｆ－１ ６： Ｍａｐ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｔｒａｃｅ ｔｏ ｆｉｅｌｄ ｔｒａｃｅ 川，ｓｑ－１１＝ ，—， ｆ＿１＼（ ｆｒＩ，ｓ ＋ｌ，ｆ＿１） ７： Ｓｅｔ ８＝８＋１ ｓ Ｊ ８： ｅｎｄ ｗｈｉｌｅ ９： Ａｄｄ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ｏｎ ｃｈｉｌｄｒｅｎ Ｑ ，；ｌ－１， 『７Ｉｉ ．一 ，Ｊ ；ｌ－－１‘一 ∑ 一 ＋∑ ｆ一１ １０：ｅｎｄ ｆｏｒ １１：Ｏｎ ｌｅｖｅｌ Ｚ＝０． ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎ Ｑ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｃｉｄｅｎｔｓ ， ａｎｄ ａｄｄ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｏｔａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｕ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ＝∑（ ＋ 。（ ∑ ｖｉ， ｊ；。））． （２１） ｔ，ｊＥＩｏ ４ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ Ｔｈｅ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｔｅｓｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ２Ｄ Ｍａｒｍｏｕｓｉ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｓｅｉｓｍｏｌｏｇｙ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ３，０００ ｍ ｄｅｅｐ ａｎｄ ９，２００ ｍ ｗｉｄｅ．Ｏｎｌｙ Ｐ—ｗａｖｅ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ｔｈｕｓ ｅｌｓａｔｉｃ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｅｃｏｍｅｓ ａｎ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｐｒｏｆｉｌｅ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ ６，ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ ５５００ ｋｍ／ｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｉｓ １５００ ｋｍ／ｓ． Ｎｏ．５ Ｌｅｎｇ Ｗｅｉ：Ａ Ｆａｓｔ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ７４１ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｉｓ Ｏ（Ｎ。／ ｌｏｇⅣ１．Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｔｉｍｅ ｃｏｓｔ ｉｎ ｓｅｔｕｐ ｐｈａｓｅ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｔａｂｌｅ ２．Ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｂｌｏｃｋ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｗｉｔｈ ｄｉｒｅｃｔ ｓｏｌｖｅｒ，ｅ．ｇ．ＭＵＭＰＳ［ ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｃｏｓｔ ｉｓ ａｌｍｏｓｔ ｃｏｎｓｔａｎｔ，ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｂｏｔｔｏｍ ｌｅｖｅｌ ｂｌｏｃｋ ｉｓ ｏｆ ｉｆｘｅｄ ｓｉｚｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｃｏｓｔ ｏｆ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｍａｐｐｉｎｇ ｏｎ ｌｅｖｅｌ ｌ＋ｌ ｉｓ ｒｏｕｇｈｌｙ ｔｗｉｃｅ ｏｆ ｌｅｖｅｌ ｌ，ｗｈｅｒｅ １＞０， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｉｍｅ ｃｏｎｓｕｍｉｎｇ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． ５ Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ Ａ ｆａｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｓｅｔｕｐ ｐｈａｓｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ Ｏ（Ｎ。／ ｌｏｇ Ｎ）ａｎｄ ａ ｓｏｌｖｅ ｐｈａｓｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ Ｏ（Ｎ ｌｏｇ Ｎ）． Ｏｕｒ ｆｕｔｕｒｅ ｗｏｒｋ ａｒｅ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｗ ｒａｎｋ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｐｐｉｎｇｓ ａｎｄ ｔｏ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅ ｄｅｎｓｅ ｍａｔｒｉｘ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ＧＰＵ． Ｔａｌｂｅ ｊ：Ｔｉｍｅ ｃｏｓｔ Ｏｎ ｓｅｃｏｎｄｓ）ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ Ｆｒｅｑ Ｎｏ． Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ ＮＬ Ｓｉｚｅ ｗｌ２￣ｒ ｐｒｏｃｓ ｓｅｔｕｐ ｓｏｌｖｅ ｔｏｔａｌ １ ２４００×８００ ３７ １２ ４０ １９５ ２３５ ２ ４８００ ｘ １６００ ７０ ４８ １４０ ２０５ ３４５ ３ ９６００ Ｘ ３２００ １３７ １９２ ３３３ ３０９ ６４２ ４ １９２００ Ｘ ６４００ ２７０ ７６８ １２１２ ６８５ １８９７ ５ ３８４００×１２８００ ５３７ ３，０７２ ２８９１ ８８３ ３７７４ Ｔａｌｂｅ ２ Ｄｅｔａｉｌｅｄ ｓｅｔｕｐ ｐｈａｓｅ ｔｉｍｅ ｃｏｓｔ Ｏｎ ｓｅｃｏｎｄｓ） Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ Ｔｉｍｅ ＮＬ Ｌｅｖｅｌ ０ Ｌｅｖｅｌ １ Ｌｅｖｅｌ ２ Ｌｅｖｅｌ ３ Ｌｅｖｅｌ ４ １ ３９．６ —— —— ２ １００ ４０．１ —— —— ３ ｌ１９ ８６．２ １２８ —— ４ １２７ ７４．７ ２５６ ７５４ ５ １２９ ９８．７ ３５５ ７１６ １５９２ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ： 【１】Ｅｎｇｑｕｉｓｔ Ｂ，Ｙｉｎｇ Ｌ．Ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ：ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａ－ ｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１１，６４（５）：６９７－７３５ ７４２ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ｏＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０Ｌ．３２ Ｅｎｇｑｕｉｓｔ Ｂ，Ｙｉｎｇ Ｌ．Ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙ— ｎ ｏｎ：ｍｏｖｉ￡ｊ ｎｇ ｐｅｒｆｅｒｓ［Ｊ１．ＳＩＡＭ；Ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２０１１，９（２）：６８６—７１０ Ｓｔｏｌｋ Ｃ Ｃ．Ａ ｒａｐｉｄｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２４１：２４０—２５２ Ｖｉｏｎ Ａ，Ｇｅｕｚａｉｎｅ Ｃ．Ｄｏｕｂｌｅ ｓｗｅｅｐ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ Ｓｃｈｗａｒｚ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１４，２６６：１７１・１９０ Ｚｅｐｅｄａ Ｌ Ｎ，Ｄｅｍａｎｅｔ Ｌ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｏｌａｒｉｚｅｄ ｔｒａｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ２Ｄ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ［ＯＬ］．Ａｖａｉｌａｂｌｅ ｆｒｏｍ ｈｔｔｐ：／／ａｒＸｉｖ／ａｂｓ／１４１０．５９１０ｖ２ Ｌｉｕ Ｆ，Ｙｉｎｇ Ｌ．Ａｄｄｉｔｉｖｅ ｓｗｅｅｐｉｎｇ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ［ＯＬ］．Ａｖａｉｌａｂｌｅ ｆｒｏｍ ｈｔｔｐ：／／ａｒＸｉｖ／ａｂｓ／１５０４．０４０５８ Ｃｈｅｎ Ｚ，Ｘｉａｎｇ Ｘ．Ａ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１３，５１（４）：２３３１—２３５６ Ｃｈｅｎ Ｚ，Ｘｉａｎｇ Ｘ．Ａ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ ｐａｒｔ ＩＩ：ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，６（３）： ５３８－５５５ Ｄｕ Ｙ，Ｗｕ Ｈ．Ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｐｕｒｅ ｓｏｕｒｃｅ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ［ＯＬ］．Ａｖａｉｌａｂｌｅ ｆｒｏｍ ｈｔｔｐ：／／ａｒＸｉｖ／ａｂｓ／１５０５．０６０５２ Ｂｅｒｅｎｇｅｒ Ｊ Ｐ．Ａ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｗａｖｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ— ｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９９４，１１４（２）：１８５—２００ Ｃｈｅｗ Ｗ Ｃ．Ｗｅｅｄｏｎ Ｗ Ｈ．Ａ ３Ｄ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｍｅｄｉｕｍ ｆｒｏｍ ｍｏｄｉｉｅｄ Ｍａｘｗｅｌｌｆ’Ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｔｒｅｔｃｈｅｄ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ［Ｊ］．Ｍｉｃｒｏｗａｖｅ ａｎｄ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ，１９９４，７（１３）：５９９—６０４ Ｃｈｅｎ Ｚ，Ｚｈｅｎｇ Ｗ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉａｘｉａｌ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｉｍｅ－ｈａｒｍｏｎｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｔｗｏ－ｌａｙｅｒｅｄ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０，４８（６）：２１５８—２１８５ Ｃｈｅｗ Ｗ Ｃ．Ｗａｖｅｓ ａｎｄ Ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ Ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｍｅｄｉａ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｗｉｌｅｙ—ＩＥＥＥ Ｐｒｅｓｓ，１９９９ Ａｍｅｓｔｏｙ Ｐ Ｒ，Ｄｕｆｆ Ｉ Ｓ，Ｌ’Ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ Ｊ Ｙ，ｅｔ ａ１．Ａ ｆｕｌｌｙ ａｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓ ｍｕｌｔｉｆｒｏｎｔａｌ ｓｏｌｖｅｒ ｕｓｉｎｇ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，２３（１）：１５—４１ 求解Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的快速算法 冷伟 ｆ中国科学院科学与工程计算国家重点实验室，北京１００１９０） 摘要：本文提出了求解Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的一个新的快速算法．该算法是建立在有重叠区域的 区域分解算法之上的．该算法首先对求解区域进行层次的区域分解，然后建立了各层次的子区 域上的入射波到出射波的映射，最后通过层次的传播波的信息，得到Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的解．该 方法具有计算复杂度小、适合大规模并行计算的优点，数值实验表明，该方法能够有效的并行 求解有上亿自由度的二维Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程． 关键词：Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程；有限差分；快速算法；区域分解；完全匹配层
