相关系数检验

相关系数的显著性检验也包括两种情况：一种情况是样本相关系数r与总体相关系数ρ的比较；另一种情况是通过比较两个样本r的差异(r1 - r2)推论各自的总体ρ1和ρ2是否有差异。 一、相关系数的显著性检验

相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。由于相关系数r的样本分布比较复杂，受ρ的影响很大，一般分为ρ＝0和ρ≠0两种情况

(一)ρ≠0时

图7—11 样本相关系数r的分布

图7—11表示从ρ＝0及ρ＝．8的两个总体中抽样(n＝8)样本 r的分布。可看到ρ＝0时r的分布左右对称，ρ＝．8时r的分布偏得较大。对于这一点并不难理解，ρ的值域 -1～+1，r的值域也是 -1～+1，当ρ＝0时，的分布理应以0为中心左右对称。而当ρ＝0．8时，r的范围仍然是-1～+1，但r值肯定受ρ的影响，趋向+'的值比趋向+1的值要出现得多些，因而分布形态不可能对称。所以，一般认为ρ＝0时r的分布近似正态；ρ≠0时r的分布不是正态。

在实际研究中得到r＝．30(或其他什么值)时，自然会想到两种情况：①由于r＝．30，说明两列变量之间在总体上是相关的(ρ≠0)。②虽然r＝．30，但这可能是偶然情况，总体上可能并无相关(ρ＝0)。所以需要对r＝．30进行显著性检验。这时仍然可以用t检验的方法。

H0 ：ρ＝0 H1 ：ρ≠0

(df=n-2) (2-27)

如果t>t.05/2，则拒绝H0，说明所得到的r不是来自ρ＝0的总体，或者说r是显著的。

若t< t.05/2，则说明所得到的r值具有偶然性，从r值还不能断定总体具有相关关系。或者说r不显著。

[例1] 18名被试进行了两种能力测验，结果r＝．40，试问这两种能力是否存在相关 解： H0 ：ρ＝0

H1 ：ρ≠0

查附表2，t．05／2＝2．12

t＝1．798<2．12不能拒绝H0

所以r＝．40并不显著，即不能推翻ρ＝0的假设。

在实际应用中，更多地是直接查表来断定r是否显著。因为统计学家已根据上述的t检验制成了相关系数显著性用表。(见本书附表7)如上例中r＝．40，12=18，则从附表7中找到df＝18-2＝16与．05水平交叉处的值是．468，这表示当df=16时r只有达到．468才算显著。例中r＝．40<．468因此不显著。

(二)ρ≠0时

人们常常说“相关系数r是显著的”(或“不显著”)这都是特指在ρ＝0这一前提下的检验结果，这种情况在实际中用得较多。但是它只解决了两个总体是否有相关的问题，或者说由此只能说明 r是否来自

ρ＝0的总体。有时在研究中还需要了解r是否来自ρ为某一特定值的总体，即当ρ≠0时r的显著性检验。

在图7—11中已经分析过，ρ≠0时r的样本分布不是正态，因此不能用公式(7—27)进行t检验。这时需要将r与ρ都转换成费舍Zr(见前第四章)，r转换为Zr以后，Zr的分布可以认为是正态，其平均数Z

ρ，标准误 ，这样就可以进行Z检验了。

(7-28)

[例2] 某研究者估计，对于10岁儿童而言，比奈智力测驹与韦氏儿童智力测验的相关为．70，今随机抽取10岁儿童50名，进行上述两种智力测验。结果相关系数r＝．，试问实测结果是否支持该研究者的估计。

解：查本书附表8、r值的Zr转换表 r＝. 得Zr＝.604 ρ＝.70 得Zρ＝.867

1.80<1.96 即P>.05

就是说，实得r值与理论估计值差异不显著，这位研究者的估计不能推翻。 二、相关系数差异的显著性检验

在实践中经常遇到检验两个样本相关系数差异是否显著的问题。这里仅讨论积差相关，分为两种情况。 (一) r1 r2和r2分别由两组彼此的被试得到。

这时将r1和r2分别进行费舍Zr的转换。由于Zr的分布近似正态，同样(Zr1-Zr2)的分布仍为正态，其分布的标准误为

(7—32)

式中n1和n2分别为两个样本的容量。 进行Z检验：

(7—33)

[例3] 某校高中毕业班中理科97名学生毕业考试各科总成绩与瑞文推理测验分数的相关系数．84，文科50名学生各科总成绩与瑞文推理测验分数相关系数为．75，能否认为理科的这一相关系数大于文科。

解：n1＝97，r1 ＝.84 得Zr1＝1.22

n2＝50，r2＝.75 得Zr2＝.793

单侧检验，Z.05＝1.5

1.39<1.5，即p>.05

因此r1并不显著地大于r2，不能认为理科毕业成绩与瑞文测验的相关系数明显大于文科。 (二)两个样本相关系数由同一组被试算得 这时又分为两种情况：其一是检验ρ

与ρ

的差异，例如一组被试数学与物理成绩的相关系数为r12、

12

1213

数学与化学成绩的相关为 r13，。我们的目的是通过(r12- r13)来检验(ρ12- ρ13)。其二是检验ρ来检验(ρ

- ρ12)。

与ρ

34

的

差异，例如一组被试数学与物理成绩相关系数为r12、生物与地理成绩相关系数为r34，目的是通过(r12-r34)

12

由于第二种情况在实际中意义不大，而且对其检验结果很难作出解释，所以这里只介绍第一种情况。 这时，应当首先算出三列变量的两两相关系数r12、r13，和r23，然后用下式进行t检验

(7-34)

[例4] 随机抽取123名儿童进行某一项能力测验，同时算出能力测验结果与效标的相关系数是．，研究者嫌该测验对于这组儿童来说效度不理想，在此测验的基础上又编制了一个新测验来测量该项能力(对同一组被试)，结果新测验与同一效标分数的相关为．62，而且新旧测验的相关系数是．68，试问新测验的效度是否有显著的提高。

解：n=123

r12=.， r13=.62， r23=.68 代入（7-34）式

查附表2 t.05＝1．658(df-＝120，单侧检验) t＝1．43