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相关系数检验

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相关系数的显著性检验

相关系数的显著性检验也包括两种情况:一种情况是样本相关系数r与总体相关系数ρ的比较;另一种情况是通过比较两个样本r的差异(r1 - r2)推论各自的总体ρ1和ρ2是否有差异。 一、相关系数的显著性检验

相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。由于相关系数r的样本分布比较复杂,受ρ的影响很大,一般分为ρ=0和ρ≠0两种情况

(一)ρ≠0时

图7—11 样本相关系数r的分布

图7—11表示从ρ=0及ρ=.8的两个总体中抽样(n=8)样本 r的分布。可看到ρ=0时r的分布左右对称,ρ=.8时r的分布偏得较大。对于这一点并不难理解,ρ的值域 -1~+1,r的值域也是 -1~+1,当ρ=0时,的分布理应以0为中心左右对称。而当ρ=0.8时,r的范围仍然是-1~+1,但r值肯定受ρ的影响,趋向+'的值比趋向+1的值要出现得多些,因而分布形态不可能对称。所以,一般认为ρ=0时r的分布近似正态;ρ≠0时r的分布不是正态。

在实际研究中得到r=.30(或其他什么值)时,自然会想到两种情况:①由于r=.30,说明两列变量之间在总体上是相关的(ρ≠0)。②虽然r=.30,但这可能是偶然情况,总体上可能并无相关(ρ=0)。所以需要对r=.30进行显著性检验。这时仍然可以用t检验的方法。

H0 :ρ=0 H1 :ρ≠0

(df=n-2) (2-27)

如果t>t.05/2,则拒绝H0,说明所得到的r不是来自ρ=0的总体,或者说r是显著的。

若t< t.05/2,则说明所得到的r值具有偶然性,从r值还不能断定总体具有相关关系。或者说r不显著。

[例1] 18名被试进行了两种能力测验,结果r=.40,试问这两种能力是否存在相关 解: H0 :ρ=0

H1 :ρ≠0

查附表2,t.05/2=2.12

t=1.798<2.12不能拒绝H0

所以r=.40并不显著,即不能推翻ρ=0的假设。

在实际应用中,更多地是直接查表来断定r是否显著。因为统计学家已根据上述的t检验制成了相关系数显著性用表。(见本书附表7)如上例中r=.40,12=18,则从附表7中找到df=18-2=16与.05水平交叉处的值是.468,这表示当df=16时r只有达到.468才算显著。例中r=.40<.468因此不显著。

(二)ρ≠0时

人们常常说“相关系数r是显著的”(或“不显著”)这都是特指在ρ=0这一前提下的检验结果,这种情况在实际中用得较多。但是它只解决了两个总体是否有相关的问题,或者说由此只能说明 r是否来自

ρ=0的总体。有时在研究中还需要了解r是否来自ρ为某一特定值的总体,即当ρ≠0时r的显著性检验。

在图7—11中已经分析过,ρ≠0时r的样本分布不是正态,因此不能用公式(7—27)进行t检验。这时需要将r与ρ都转换成费舍Zr(见前第四章),r转换为Zr以后,Zr的分布可以认为是正态,其平均数Z

ρ,标准误 ,这样就可以进行Z检验了。

(7-28)

[例2] 某研究者估计,对于10岁儿童而言,比奈智力测驹与韦氏儿童智力测验的相关为.70,今随机抽取10岁儿童50名,进行上述两种智力测验。结果相关系数r=.,试问实测结果是否支持该研究者的估计。

解:查本书附表8、r值的Zr转换表 r=. 得Zr=.604 ρ=.70 得Zρ=.867

1.80<1.96 即P>.05

就是说,实得r值与理论估计值差异不显著,这位研究者的估计不能推翻。 二、相关系数差异的显著性检验

在实践中经常遇到检验两个样本相关系数差异是否显著的问题。这里仅讨论积差相关,分为两种情况。 (一) r1 r2和r2分别由两组彼此的被试得到。

这时将r1和r2分别进行费舍Zr的转换。由于Zr的分布近似正态,同样(Zr1-Zr2)的分布仍为正态,其分布的标准误为

(7—32)

式中n1和n2分别为两个样本的容量。 进行Z检验:

(7—33)

[例3] 某校高中毕业班中理科97名学生毕业考试各科总成绩与瑞文推理测验分数的相关系数.84,文科50名学生各科总成绩与瑞文推理测验分数相关系数为.75,能否认为理科的这一相关系数大于文科。

解:n1=97,r1 =.84 得Zr1=1.22

n2=50,r2=.75 得Zr2=.793

单侧检验,Z.05=1.5

1.39<1.5,即p>.05

因此r1并不显著地大于r2,不能认为理科毕业成绩与瑞文测验的相关系数明显大于文科。 (二)两个样本相关系数由同一组被试算得 这时又分为两种情况:其一是检验ρ

与ρ

的差异,例如一组被试数学与物理成绩的相关系数为r12、

12

1213

数学与化学成绩的相关为 r13,。我们的目的是通过(r12- r13)来检验(ρ12- ρ13)。其二是检验ρ来检验(ρ

- ρ12)。

与ρ

34

差异,例如一组被试数学与物理成绩相关系数为r12、生物与地理成绩相关系数为r34,目的是通过(r12-r34)

12

由于第二种情况在实际中意义不大,而且对其检验结果很难作出解释,所以这里只介绍第一种情况。 这时,应当首先算出三列变量的两两相关系数r12、r13,和r23,然后用下式进行t检验

(7-34)

[例4] 随机抽取123名儿童进行某一项能力测验,同时算出能力测验结果与效标的相关系数是.,研究者嫌该测验对于这组儿童来说效度不理想,在此测验的基础上又编制了一个新测验来测量该项能力(对同一组被试),结果新测验与同一效标分数的相关为.62,而且新旧测验的相关系数是.68,试问新测验的效度是否有显著的提高。

解:n=123

r12=., r13=.62, r23=.68 代入(7-34)式

查附表2 t.05=1.658(df-=120,单侧检验) t=1.43

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