2013届高三数学一轮复习资料--立体几何专题

2013届高三数学(理)一轮复习资料-- 立体几何

一、选择题

1 (2012湖南).某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ( D )

2 .已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为( D )

A.

3＋23＋323 B. C. D. 2222

3 已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中为假命题的是 ( D ) A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交

4 (2012安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm 则“”是“ab”的（ A ）

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件

(D) 即不充分不必要条件

5 (2012安师大附中三模)．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于

（ D ）

2

正（主）视图

侧（左）视图第 1 页 共 12 页

4 俯视图

2 2

336 (2012北京) 某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ）

A． 12 B．83 C．

56 D． 4

A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125

7(2012全国) 下列命题正确的是（ C ）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8 (2012全国)已知直二面角l，点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 C (A)236 (B) (C) (D) 1 333

9．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是 ( A) 81π

A．81π B．36π C. D．144π

4

10 .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ( A ) A.

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6367 B. C. D. 4422

二、填空题

11．(2012浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三

棱锥的体积等于___________cm3．

M、N分12 (2012四川)、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，

别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________90 ____。

13．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

AA1DD1B1NCBC1M

则该几何体的体积为 4 m3.

445

14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为___π

318_____．

15 .如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是______________

① BD∥平面CB1D1； ② AC1⊥平面CB1D1；

③ AC1与底面ABCD所成角的正切值是2； ④ CB1与BD为异面直线；

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三、解答体

16 (2012四川)如图，在三棱锥PABC中，

APB90，PAB60，ABBCCA，平面

平面ABC。

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求二面角BAPC的大小。

解法一：

（I）设AB的中点为D，AD的中点为O，连接

PCPABABPO、CO、CD，

由已知，PAD为等边三角形， 所以POAD

又平面PAB平面ABC，平面PAB平面

ABCAD，

所以PO平面ABC

所以OCP为直线PC与平面ABC所成的角

不妨设AB4，则PD2,CD23,OD1,PO3 在RtOCD中，COOD2CD213 所以，在RtPOC中，tanOCPPO339 CO131339………………………….6分 13故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（II）过D作DEAP于E，连接CE

由已知可得，CD平面PAB 根据三垂线定理知，CDPA

所以CED为二面角BAPC的平面角 由（I）知，DE3 在RtCDE中，tanCEDCD232 DE3故二面角BAPC的大小为arctan2…………………………………………12分

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解法二：

（I）设AB的中点为D，作POAB于点O，连结CD

因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD， 所以PO平面ABC 所以POCD

由ABBCCA，知CDAB

设E为AC中点，则EO//CD，从而OEPO,OEAB

、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，以O为坐标原点，OB、OEOxyz，不妨设PA2，由已知可得，AB4,OAOD1,OP3,CD23 所以O(0,0,0),A(1,0,0),C(1,23,0),P(0,0,3)

所以CP(1,23,3)，而OP(0,0,3)为平面ABC的一个法向量 设a为直线PC与平面ABC所成的角，

CPOP0033||则sina| |4CPOP163故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin3…………………………….6分 4（II）由（I）有，AP(1,0,3),AC(2,23,0)

设平面APC的一个法向量为n(x1,y1,z1)，则

(x1,y1,z1)(1,0,3)0nAPnAP0 nACnAC0(x1,y1,z1)(2,23,0)0x13z10从而

2x123y10取x13，则y11,z11，所以n(3,1,1) 设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角 而面ABP的一个法向量为m(0,1,0)，则

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cos|nm15 ||||n||m|53115…………………………………… 5故二面角BAPC的大小为arccos

17 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.

(1)求证：BC⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)求四棱锥D－ABCE的体积. 解：(1)证明：由已知得：

DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE. ∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E， ∴BC⊥平面DCE.

(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH， ∴GH∥BD，FH∥BC，

∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD. 又GH∩FH＝H，

∴平面FHG∥平面BCD，

∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可). 12(3)V＝×1×2×3＝3.

3318 (2012全国)如图，四棱锥SABCD中，AB//CD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，

ABBC2,CDSD1.

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（Ⅰ）证明：SD平面SAB; （Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.

222计算SD=1，AD5,SA2，于是SASDAD，利用勾股定理，可知SDSA，同理，

可证SDSB 又SASBS， 因此，SD平面SAB.

（II）过D做Dz平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz， A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),S(,0,123) 2可计算平面SBC的一个法向量是n(0,3,2),AB(0,2,0) |ABn|2321. |cosAB,n|7|AB||n|2719 (2012北京)所以AB与平如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，

BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

解：（1）CDDE，A1EDE

DE平面A1CD，

又AC平面A1CD， 1DE AC1又A1CCD， 平面BCDE。 AC1第 7 页 共 12 页

（2）如图建系Cxyz，则D2，0，0，A0，0，23，B0，3，0，E2，2，0

∴A1B0，3，23,A1E2，1，0

设平面A1BE法向量为nx，y，z

3zy3y23z0A1Bn02则 ∴ ∴ y2xy0xA1En02∴n1，2，3

zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0)D (-2,0,0)C (0,0,0)x又∵M1，0，3 ∴CM1，0，3

CMn1342∴cos

2|CM||n|14313222，

∴CM与平面A1BE所成角的大小45。

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为0，a，0，则a0，3

则A1P0，a，23，DP2，a，0

设平面A1DP法向量为n1x1，y1，z13zay11ay123z106则 ∴

2xay01xay11112∴n13a，6，3a

。

，

假设平面A1DP与平面A1BE垂直， 则n1n0，∴3a123a0，6a12，a2，

∵0a3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。 面SBC所成角为arcsin

20 (2012浙江)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．

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21. 7

(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接BD．

∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在PBD中，MN∥BD． 又MN平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)如图建系：

A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(N(3，0，0)，C(3，3，0)．

设Q(x，y，z)，则CQ(x3，y3，z)，CP(3，3，26)． ∵CQCP(3，3，26)，∴Q(33，33，26)．

33，，0)， 22由OQCP12326OQCP0，得：． 即：Q(，2，)．

333对于平面AMN：设其法向量为n(a，b，c)．

33∵AM(，，0)，AN=(3，0，0)．

223a3311． ∴n(，，0)． b333c0AMn0则ANn033ab0223a0同理对于平面AMN得其法向量为v(3，，16)．

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为， nv10则cos．

5nv∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为10 521 (2012湖南)如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

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（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，BC3，ABC90,得AC5.

又AD5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CDAE.

PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.

而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BGAE.

由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.

AB4,AG2,BGAF,由题意，知PBABPF,

因为sinPBAPABF,sinBPF,所以PABF. PBPB由DABABC90知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故

GDBC3.于是AG2.

在RtΔBAG中，AB4,AG2,BGAF,所以

AB21685 BGABAG25,BF.

BG25522于是PABF85. 5第 10 页 共 12 页

又梯形ABCD的面积为S1(53)416,所以四棱锥PABCD的体积为 2 V

11851285SPA16. 33515

解法2：如图（2），以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PAh,则相关的各点坐标为：

A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

（Ⅰ）易知CD(4,2,0),AE(2,4,0),AP(0,0,h).因为

CDAE8800,CDAP0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE内的两

条相交直线，所以CD平面PAE.

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，CD,AP分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与

平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以

CDPBPAPBcosCD,PBcosPA,PB,即.

CDPBPAPB由（Ⅰ）知，CD(4,2,0),AP(0,0,h),由PB(4,0,h),故

16002516h解得h200h2h16h2.

85. 5第 11 页 共 12 页

又梯形ABCD的面积为S1(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为 2 V

1185SPA163351285. 15第 12 页 共 12 页