2021年大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末

考试

欧阳光明（2021.03.07）

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

　). 1. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(（A）f(0)2（B）f(0)1（C）f(0)0（D）f(x)不可导.

1x，(x)333x，则当x1时（　　）1x2. .

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)设(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小. 3. 若

F(x)(2tx)f(t)dt0x，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且

f(x)0，则（）.

（A）函数F(x)必在x0处取得极大值；

（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；

（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

（A）（B）

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. 5. 6.

lim(13x)x02sinxx22x222（C）x1（D）x2.

 .

已知cosxcosx是f(x)的一个原函数,则f(x)dxxx.

n12limn(cos2ncos22ncos2n1)n.

－x2arcsinx11x2dx7. .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

xyyy(x)esin(xy)1确定，8. 设函数由方程求y(x)以及y(0).

*欧阳光明*创编 2021.03.07

12*欧阳光明*创编 2021.03.07

10设函数f(x)连续，，且x0数. 求g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

9.

g(x)f(xt)dtlimf(x)Ax，A为常

1y(1)xy2yxlnx9的解. 10. 求微分方程满足

四、 解答题（本大题10分）

11. 已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任

一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xx0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

12. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x

轴围成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体

的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

13. 设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，

q1f(x)dxqf(x)dx00.

14. 设函数f(x)在0,上连续，且

0f(x)dx0，

0f(x)cosxdx0.证明：在0,内至少存在两个不同的点

x1,2，使f(1)f(2)0.（提示：设

F(x)f(x)dx0）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x0,y0，y(0)1

77x6dxdu 10. 解：ux　　5.

*欧阳光明*创编 2021.03.07

e61cosx2　()c . 6.2x.7. 2. 8.

3*欧阳光明*创编 2021.03.07 11. 解：13f(x)dxxedxx30102xx2dx

12. 解：由f(0)0，知g(0)0。

xlimg(x)limx0x0xf(x)f(u)dux02AAA22，g(x)在x0处连续。

dy2ylnxdxx13. 解：

111yxlnxxy(1),C039 9，

四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且

y2ydxy0x，

将此方程关于x求导得y2yy 2特征方程：rr20解出特征根：r11,r22.

x2xyCeCe12其通解为

代入初始条件y(0)y(0)1，得故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

yC121,C233

2x12xee33

15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)1ylnx0(xx0)x0

，切线方程：

由于切线过原点，解出x0e，从而切线方程为：

1y1xe

则平面图形面积

A(eyey)dy01e12

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线ylnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

6D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq1V11e23

VV1V2(5e212e3)

16. 证明：0f(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)000q

故有：

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07

q1f(x)dxqf(x)dx00证毕。

x0证：构造辅助函数：。其满足在[0,]上连续，

在(0,)上可导。F(x)f(x)，且F(0)F()0

F(x)f(t)dt,0x由题设，有

0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx0000，

有0F(x)sinxdx0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即

F()0

综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用

罗尔定理，知存在

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

*欧阳光明*创编 2021.03.07