高中数学-等差数列求和-教师-(三)

中/高中数学备教师 课组 日期 上课时间 学生情况： 班级 学生 主课题： 等差数列前n项和公式 教学目标： 1、熟练掌握等差数列前n项和的求和公式及其相关性质； 2.熟练运用等差数列的求和公式及其性质解决相关数列问题； 3.培养学生分析、推理和计算能力。 教学重点： 等差数列前n项和公式的推导、求解 教学难点： 运用等差数列前n项和公式解决相关问题 考点及考试要求： 数列是高中数学的一项重要内容，也是高考中的一个重点和难点，常与函数、 不等式等知识有联系，也经常以压轴题的形式出现。

教学内容 【知识精要】 1、 等差数列前n项和：Snna1n(n1)dn(a1an) （推导：倒序相加法） 22 注：已知a1、d、n、an、Sn五个中的任意三个，即可求出其余两个（知三求二）。 2、 判定方法：（1）、定义法：an是等差数列an1and； an是公差为k的等差数列anknb(k、b为常数)； （2）、一次函数式： 2 （3）、二次函数式：an是等差数列SnAnBn(A、B为常数)。 （Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式） 22 3、性质： SndSdd，且n(a1)，从而点集{(n,n)}中的所有点共线（此直线的斜率为）n22n2Sd数列{n}也为等差数列（此数列的公差为） n2（1）（2） 若an是等差数列，Sn是前n项和，则： Sk、S2kSk、S3kS2k(kN*)也成等差数列，公差为k2d(或S2k2Sk) （3）等差数列an中， n为奇数：S奇S偶an1，2S奇S偶n1；n为偶数：S偶S奇n1anSnd，奇2 S偶an221（4）等差数列前2n-1项和S2n1a1a2n1(2n1)(2n1)an（此时an为中间项） 2 4. 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用an: 当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an1≤0，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an1≥0，求得n的值 （2）利用Sn： 由Snd2dn(a1)n二次函数配方法求得最值时n的值 22

【热身练习】 1、等差数列an，若公差d=2, a1510, 则a1=__-38____, S15=___-360____ 2、等差数列an中，若a11,an55,Sn405,则n=__15____，公差d=___-4____ 3、 等差数列an中，已知d1，n37，Sn629，则a1=__11____,an=___23___ 34、等差数列an中，若a15,a615,则S10= 140 5、等差数列an中，若a5a8a11a1430，则S18 135 。 6、等差数列an中，已知a1120，则此数列的前21项的和S21___420_____ 3,n17、已知数列的前n项和Sn2n3n2，则通项公式an___ an____ 4n5,n228、等差数列an中，a10,S15S20, 则n=__17或18____时，Sn最大 9、一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,则边数n=_8or9___ 210、已知数列an的前n项和为Sn，则Snanbn(a0)，是{an}为等差数列的（A ） A 充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 11、 设等差数列an共有2k+1项，则其奇数项与偶数项之和的比为（ D ） A 2k4k34k3k1 B C D 2k12k14k2k 12、 一个等差数列的前10项和为20，前20项和为10，求它的前30项和 解：-30 【精解名题】 1. 等差数列前n项和的基本计算问题 例1 等差数列an的前10项和为140，其中项数为奇数的各项和为125，求前100项的和 10a145d140a1113,d22 解：由条件有aaaaa5a10•2d125113579S100100a150•99d97600

例2一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 解：-110 2. 利用简便方法解等差数列前n项和 例3设{an}, {bn}都是等差数列，它们的前n项和分别为An, Bn, （1） 若a5a10a13a16a2120，求S25 （2） 已知An5n3aa,求n以及5 Bn2n1bnb8解：（1）由题意得a134，S2525a13100 1(2n1)(a1a2n1)an2an(a1a2n1)2 （2）⑴ ＝＝ bn2bn(b1b2n1)1(2n1)(b1b2n1)2A2n110n2＝. B2n14n3An5n3 Bn2n1∵{an}, {bn}都是等差数列∴可设An＝kn(5n+3), Bn=kn(2n-1) ∴an=An-An1= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=k(10n-2), bn=Bn-Bn1=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =k(4n-3), a8= b829 例4在等差数列an中，已知前四项的和为26，末四项的和为110，前n项的 和为187，求项数n的值 解：n=11 例5已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和． 解：3b-3a

3. 等差数列奇数项和与偶数项和的相关问题 例6项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及其中间的一项值 解：项数为7，中间项值为11 例7 项数为偶数的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90，末项与首项的差为27，求项数n的值 解： n=10 4. 等差数列前n项和的最值 例8 已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值. 解：n=7 例9等差数列an中，a10且a1a2a66,a1a3a50 （1） 求an的通项公式 （2） 设{ank}前n项和为Sn，若仅当n=8时，的取值范围 解：（1）由SS1S2...n取最大值，求实数k12na1a3a56a32an5n aaa0a01355（2）因为an是等差数列，所以{ank}也为等差数列 Sna1kank92knS,{n}递减 n22nS801SnS1S281k 仅当n=8时，...取最大值212nS909 5. 等差数列前n项和的应用 例10 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元， （Ⅰ）问第几年开始获利？ （Ⅱ）若干年后，有两种处理方案： （1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.

问哪种方案合算. 解：（Ⅰ）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 设纯收入与年数的关系为f(n) ∴f(n)50n1216(84n)9840n2n298 获利即为f(n)＞0 ∴40n2n980,即n20n490 解之得：1051n1051即2.2n17.1 又n∈N，∴n=3，4，…，17 ∴当n=3时即第3年开始获利 （Ⅱ）（1）年平均收入=f(n)402(n49) ∵n49≥2n4914，当且仅当n=7时nnnn取“=” ， ∴22f(n)≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，此时n=7 ； n（2）f(n)2(n10)2102∴当n10,f(n)max102 总收益为102+8=110万元，此时n=10 比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种。 【备选例题】 1．已知数列an是一个以1为首项，的前n项和为Sn，求Sn的值 2n6n79(当n为奇数时) 解：Sn2n(n3)(当n为偶数时)，利用分类讨论思想 922n1为公差的等差数列，bn(1)anan1，数列bn313,5,79,11,13,15,172. 给出数表：19,21,23,25,27,29,3133,35,37,39,41,43,47,49.......，求第n行的所有数的和 解：a中a1(a2a1)(a3a2)...(anan1)1[48...4(n1)] = 144(n1)(n1)2n22n1 2Sn(2n1)(2n22n1)

【巩固练习】 1. 在数列an和bn中，an3n1,bn4n2，设an、bn的公共项组成数列cn，求数列cn的前n项和 2解：Sn6n6n168 2．设等差数列{an}的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）{an}的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |. 4a16d62 解：设等差数列首项为a1，公差为d，依题意得6a115d75解得：a1=－20,d=3。 343⑴ana1(n1)d3n23,Sn(a1an)nn(203n23)n2n； 2222⑵Qa120,d3,an的项随着n的增大而增大 设ak0且ak10,得3k230,且3(k1)230,2023k(kZ),k7,即第7项之前均为负数33 ∴|a1||a2||a3|L|a14|(a1a2La7)(a8a9La14) S142S7147. 23．已知数列an的前n项和Snnna，则 （1）、求通项公式an； （2）、当a为何值时，an为等差数列。 解：（1）an 4. 等差数列an的奇数项之和为51，偶数项之和为42列的末项及通项公式 解：末项为16，通项公式为an3n2 5.已知两等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Sn '2a,n1、当a0时，an为等差数列 2n,n2 （2）1，首项为1，项数为奇数，求此数2

（1）若a256，S170,S180，求{an}公差d的取值范围 （2）若Sn5n3a9*对一切恒成立，求的值 nN'Sn2n1b9S1717a90a90解：（1）8d7 S9(aa)0a09101810 （2）5 2 6. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0．1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？ 解：共绕了40400圈，a12•20.1,a4002•60， 0.12(20.160)S•40032040(mm)≈101m 2 7. 设等差数列an的前n项和Sn(解： Tn(1) nan12n若bn(1)Sn，求数列bn的前n项和Tn )，2n(n1)，利用分类讨论思想 2【自我测试】 1.等差数列an，d2,an11,Sn35,a1__3or-1_____ 2. 在等差数列{an}中，已知该数列的前11项的和S1166，则a6___6___ 3. 若等差数列{an}的公差是1，且S9999，则a3a6a9...a99=___66_____ 4. 集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的所有元素之和为___900______ 5. 等差数列{an}共有2n+1项，其中a1a3...a2n14,a2a4...a2n3，则n=__3__ 6. 在等差数列{an}中，3a47a7,且a10，则数列前n项和Sn取得最大值时，n=__9___ 7. 在等差数列an中，若S1025,S20100,则S30= 225

8. 设等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn，且An7n2a93，则7 Bn7n3b7949.有一个项数为2011项且各项非零的等差数列，其奇数项之和与偶数项之和的比为

1006 100510. 在等差数列an中，若S31S3，则6 S63S121011. 设Sn是等差数列an前n项的和，若已知a4a19的值，由此可以确定（ B ） A、S21的值 B、S22 的值 C、S23 的 值 D、S24 的值 12． 已知数列an的前n项和Sn3an3，则这个数列的通项公式为---------（ D ） 22nA、an2(nn1) B、an32 nC、an3n1 D、an23 13．设数列an是等差数列，且a26,a86，Sn是数列an的前n项和，则（B ） A S4S5 B S4S5 C S6S5 D S6S5 14. 已知数列an是等差数列，a100,a110,且a11a10，Sn是数列an的前n项和，则（B ） A S1,S2,S3,...S10都小于0，S11,S12,S13,...都大于0 B S1,S2,S3,...S19都小于0，S20,S21,S22,...都大于0 C S1,S2,S3,...S5都小于0，S6,S7,S8,...都大于0 D S1,S2,S3,...S20,都大于0，S21,S22,S23,...都小于0 15. 已知an的通项公式an2n49，求当n为何值时，Sn值最小，并求出最小值 解：min=S24=-576

Sn为数列an的前n项的和，16. 在等差数列an中，已知S77,S1575,Tn为数列的前n项和，求Tn 解：由题意可得a12.d1,Sn2n则 Snnn(n1) 2Snn5n(n9)，Tn n2417. 在等差数列an中，a15，它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下的10项平均值是4，求抽取的是第几项 解：由题意可得抽取的值an15，d=2, 5(n1)d15n11 *18. 设Sn12n(nN)，求f(n)Sn的最大值。 (n32)Sn1解：f(n)的最大值为 1，利用基本不等式求解 50