Banach空间及其相关定理

课程论文

课 程 现代分析基础

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二Ｏ一五年 十二月 四日

目 录

1 绪论.......................................................................................................................................... 1 2 Banach空间基本概念 ................................................................................................... 1

2.1拟范数定义及例子 ............................................................................................................. 1 2.2 Banach空间 ........................................................................................................................ 2 2.3 Banach空间中线性变换及其性质 .................................................................................... 3

3 一致有界定理及其推论 ............................................................................................... 4

3.1问题 .................................................................................................................................... 4 3.2基本概念............................................................................................................................. 4 3.3一致有界定理及其推论 ..................................................................................................... 5 3.4一致有界性定理及其推论的应用 ..................................................................................... 6

4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 ...................................................................... 7

4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 ................................................................................. 7 4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 ................................................................................. 8 4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 ............................................................................. 8 4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 ................................................................................. 9 4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 .............................................................. 9

5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 .............................. 9

5.1开映射定理 ....................................................................................................................... 10 5.2逆算子定理 ....................................................................................................................... 11 5.3闭图像定理 ....................................................................................................................... 12

6 总结....................................................................................................................................... 14 参考文献 ................................................................................................................................. 16

Banach空间及其相关定理

南京理工大学自动化学院，江苏 南京

摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词： Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理

1 绪论

巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到[a，b]上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年里斯，F.(F.)给出[0，1]上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在[0，1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，巴拿赫，S.与维纳，N.相互地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论[1]。由于其在数学和其他学科中的广泛运用，在20世纪30年代就得到了很大的发展，并很快成为一门的学科[2]。Banach空间理论还是泛函分析的主要组成部分，是泛函分析涵盖的其他三个主要研究方向：算子理论，应用泛函分析以及Banach代数的理论基础，影响着他们的发展[3]。20世纪60年代以后，不仅Banach空间理论本身有了深入的发展，更值得注意的是它在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具。

接下来本文将用四章的内容对Banach空间以及Banach空间中的相关定理做一个介绍。本文从第二章的Banach空间的概念开始讲起，逐步引出Banach空间中的相关定理，这其中包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、开映射、闭图像定理以及逆算子定理。泛函科学体系的建立正是得益于20世纪初Banach空间这几个定理的提出。

2 Banach空间基本概念

在探讨Banach空间之前，本文先用一些定义来解释一下Banach空间并就相关的基本概念做一个介绍。 2.1 拟范数定义及例子

定义2.1.1 线性空间：设X为一个线性空间，则在X中对加法满足： (1)x+y=y+x （交换律） (2)(x+y)+z=x+(y+z) （结合律） (3)存在零元θ，使θ+x=x

(4)存在逆元x`使得x`+x=θ，x`记为-x 对数乘满足： (5)1·x=x，θ·x=θ

1

(6)λ(μx)= λμx （结合律） (7) (λ+μ)x=λx+μx （数乘分配律） (8) λ(x+y)= λx+λy

定义2.1.2 设K是实数域R或复数域C，X为数域K上的一个线性空间，若||·||是X到R的映射并且满足：

(1)||x||=0当且仅当x=0，x∈X

(2)存在C≥1对所有的x，y∈X，||x+y||≤C||x||+C||y|| (3)若x∈X而α∈K，则||αx||=|α| ||x||

其中(2)中的常数C不依赖于x，y，则称||·||为X上拟范数，而||x||称为x的拟范数，这时，称(X，||·||)为拟赋范线性空间[4]。

定义2.1.3 设(X，||·||)为拟赋范线性空间，||x||为x的拟范数，则有

||-x||=||x||，lim||αn||=0，lim||αxn||=0[5]

αn→0

||xn||→0

下面给出拟赋范线性空间的例子： 例2.1.1 对于赋范线性空间。 2.2 Banach空间

定义2.2.1 在定义2.1.2的条件下，明显的，若C=1，则(X，||·||)为线性赋范空间。一般的，拟范数||x||不一定就是X上的范数。

定义2.2.2 赋范（拟赋范）线性空间X中若

n,m→∞

p

0≤p＜1，lp={(xi)|xi∈K，∑∞i=1|xi|

<

pp∞}在拟范数||x||=(∑∞i=1|xi|)下是拟

1

lim||xn−xm||=0

则称点列{xn}为柯西点列。

定义2.2.3 赋范（拟赋范）线性空间X如果是完备的，即X中的每一个柯西点列{xn}在X中强收敛于某一点x0：

n→∞

lim||xn−x0||=0

则称线性空间X为Banach空间。（有关强收敛的定义见定义2.2.4）

下面给出Banach空间的例子：

例2.2.1 (1)在C[a，b]中，||x||=max|x(t)|，x(t)∈C[a，b]。

t∈[a,b]

(2)在m中，||x||=sup1<𝑖<∞|ξi|，x=(ξ1,ξ2…ξn,…)∈m。

则C[a，b]，m都是Banach空间。

其中范数||x||可以理解为距离，有了范数的概念，我们可以引入任意的点之间的距离。显然，由d(x，y)=||x-y||定义了X上的一个距离。容易验证，这个距离满足距离的三条公理。第一第二公理是显然的，现给出第三公理—三角不等式的证明：

2

设x，y，z∈X，有

d(x，y)=||x-y||=||x-z+z-y||≤||x-z||+||z-y||=d(x，z)+d(x，y)，证毕。

定义2.2.4 若limd(xn，x)=0，则称点列{xn}强收敛于点x，记为s-limxn=n。

n→∞

n→∞

命题2.2.1 在赋范（拟赋范）线性空间X中，有 (1)若s-limxn=x，则s-lim||xn||=||x||，

n→∞

n→∞

(2)若s-limxn=x，s-limαn=α，则s-limαnxn=αx，

n→∞

n→∞

n→∞

(3)若s-limxn=x，s-limyn=y，则s-lim(xn+yn)=x+y。

n→∞

n→∞

n→∞

下面给出命题2.2.1的证明：

只需证明在实的拟范数意义下(2)成立即可。事实上，由于

||αx-αnxn||≤||(α-αn)x||+||αn(x-xn)||

故只要证明lim||xn||=0意味着lim||αxn||=0对任意关于α的有界集中的α一致成立。(1)

n→∞

n→∞

记pn(α)=||αxn||是定义在实数集R1上的函数，则由(c`)知pn(α)在R1上是连续的，因此由(c`)，limpn(α)=0及Egorov定理，存在Lebesgue测度大于零的可测集A，使得

n→∞

n→∞

limpn(α)=0

在A上一致成立。因为Lebesgue测度关于平移是连续的，若记B⊖C表示对称差(B∪C)\\(B∩C)，则当σ→0时，

|(A+σ) ⊖A|→0。

因此存在正数σ0，使得当|σ|≤σ0时，|(A+σ) ⊖A|<|A|/2。特别的，有|(A+σ)∩A|>0。所以任何满足|σ|≤σ0的实数σ可表示成σ=α-α`，其中α，α`∈A。

故，由pn(σ)=pn(α-α`)≤pn(α)+ pn(α`)，得limpn(α)=0在|σ|≤|σ0|上关于σ一致成立。

n→∞

如果M是任一正数，取正整数k≥M/σ0，则由pn(kσ)≤kpn(σ)知对所有的|α|≤M，(1)成立，证毕。

2.3 Banach空间中线性变换及其性质

定义2.3.1 设T是从赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性变换，定义其范数为

||Tx||

||T||=sup {:x∈X,x≠0}

||x||

若||T||<∞，则称T是有界线性变换。

注1：在上式中，||x||是X中向量x的范数，||Tx||是Y中向量Tx的范数。在几种范数同时出现时，可以根据上下文搞清楚究竟指的是哪一种范数。

注2：由于

||Tx||≤||T|| ||x||

3

以及

||T||=sup {||x||:x∈X,x≠0}=sup {T(||x||):x≠0}≪sup {||Tx||:||x||=1}

因此

||Tx||

||T||=sup {:x∈X,||x||=1}

||x||

这意味着T将X中的闭单位球映到Y中以0为中心，||T||为半径的闭球内。

定义2.3.2 设X为Banach空间，f：X→R的一个泛函。

(1)若对任意x1，x2∈X，f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，α∈R，f(αx)= αf(x)则称f为X上的线性泛函。

(2)若对任意x∈X，存在一个正数M，使|f(x)|≤M||x||，则称f为X上的有界泛函。 (3)若对任意xn，x∈X，xn→x时，必有f(xn) →f(x)，则称f为X上的连续泛函。 定义2.3.3 设T是从赋范（拟赋范）线性空间X到赋范（拟赋范）线性空间Y内的线性变换，则下列命题等价： (1)T是有界的

(2)T是连续的 (3)T在X的某点连续

||Tx||

||Tx||

3 一致有界定理及其推论

上一章本文介绍了有关Banach空间的基本知识，以下的几章将从一致有界定理讲起，对Banach空间中的相关定理做一个介绍。 3.1 问题

设X是赋范线性空间，有界性算子族{Tα：α∈A}⊂B(X→Y)，如果满足条件：∀x∈X，{Tα：α∈A}是X中的有界集，问{Tα：α∈A}是否为B(X→Y)中的有界集？

1927年，Banach（巴拿赫）和Steinhaus（斯蒂豪斯）给出的一致有界性定理回答了这个问题。这个定理也是Banach空间理论的基石之一[6]。 3.2 基本概念

下面介绍一些在学习一致有界定理之前需要知道的基本概念。

定义3.2.1 集E⊆X称为无处稠密的，如果它的闭包̅E不包含X的非空开集。任意一列无处稠密集合列之并称为第一类型集；X的其他集称为第二类型集。

̅)=∅。 显然，E是X中无处稠密集⟺int(E

事实上，如果E是无处稠密集，而int(̅E)≠∅，则存在x∈int(̅E) =∅，故存在r>0，使得U(x,r) ⊂̅E，即E在U(x,r)中稠密，此与定义矛盾。

反之，若int(̅E)=∅。如果M不是无处稠密集，则∃r>0，∃x∈X，使得U(x,r) ⊂̅E，x∈int(̅E)，这与int(̅E)=∅矛盾。

定理3.2.1 (Baire-Hausdroff定理)任意一个完备的度量空间是第二类型集；或者说，X的

4

任意一列稠密开子集的交在X中稠密。（注：这一定理的逆定理是不正确的，Bourbaki（布尔巴基）在1955年给出了反例：一个不完备的空间仍是第二类型集。）

证明：设{Vn}是X中的一列稠密开集，W是X中的任一开集，我们需要证明当W≠∅时，W∩(∩nVn)≠∅。

设d是X的度量，记

S(x,r)={y∈X:d(y,x)̅̅̅̅̅̅̅̅是S(x,r)的闭包，由V1稠密，W∩V1是非空开集，故存在x1和r1使得 并设S(x,r)̅̅̅̅̅̅̅⊆W∩V1，且0̅̅̅̅̅̅̅⊆Vn∩S(xn−1,rn−1)，且0n1

由归纳法，我们得到X中的一个点列{xn}，且当i，j>n时，xi，xj∈B(xn，rn)，因此d(xi，xj)n→∞

2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅（2）表明x在每另一方面，由于i>n时，xi∈S(xn,rn)。于是对每一个n，x∈S(xn,rn)，一个Vn中，由（1），x∈W，证毕。 3.3 一致有界定理及其推论

定理3.3.1 （一致有界定理）设X是B-空间，Y是赋范线性空间，而{Tα：α∈A}是一族有界线性算子，那么或者存在某正数M>0，使得对每个α∈A

|| Tα||≤M，

或者对X的某个稠密Gδ集中的所有点x

sup||Tαx||=∞

这一定理的另一叙述如下：或者Y中存在一个球B（半径为M，中心为0）使每个Tα

映X的单位球到B内，或者存在x∈X，使Y中没有一个球能包含所有的Tαx。

证明：令φ(x)=supα∈A||Tαx||(x∈X)，令

Vn={x:φ(x)>𝑛}(n=1,2,…)。

因为每个Tα连续，并且Y的范数是Y上的连续函数，故x→|| Tαx||在X上连续，因此φ是下半连续的，并且Vn是开集。

如果这些开集中有一个，例如不妨设VN不稠密于X，则一定存在x0∈X和r>0，使||x|||| Tαx||≤|| Tα(x0+x)||+|| Tαx0||≤2N，

这说明对每个α∈A，|| Tα||≤2N/r。

如果每个Vn都在X中稠密，则由Baire-Hausdroff定理，∩nVn是X中一个稠密Gδ集。由于对每个x∈∩nVn，φ(x)=∞，定理证毕。

推论3.3.1 （共鸣定理）设{Tα：α∈A}是一族定义在B-空间X上取值于赋范线性空间

5

Y中的有界线性算子，则{||Tαx||：α∈A}在每一点x∈X有界意味着{||Tα||：α∈A}有界。

证明：由一致有界定理，对任意ɛ>0存在δ>0，当||x||<δ时总有supα∈A||Tαx||<𝜀，因此supα∈A||Tα||≤ε/δ。

推论3.3.2 设{ Tα}是一列定义在B-空间X上取值于赋范线性空间Y中的有界线性算子，如果对每个x∈X，s−limTnx=Tx存在，则T也是映X到Y的有界线性算子，并且

n→∞

||T||≤lim||Tn||

n→∞

证明：由范数的连续性知对每一个x∈X，序列{|| Tnx||}是有界的。因此由推论6.1，supn≥1||Tn||<∞并且||Tnx||≤supn≥1||Tn||∙||x||(n=1,2,…)。再次运用范数的连续性得

||Tnx||=lim||Tnx||=lim||Tn||∙||x||。

n→∞

n→∞

这即为所要证明的不等式。T的线性性显然成立。 3.4 一致有界性定理及其推论的应用

例3.4.1 （傅立叶级数的发散问题）令C2π为定义在实轴上，以2π为周期的实连续函数组成的集合。在C2π中定义范数如下：

||x||=max|x(t)|(x∈C2π)

−∞<𝑡<∞

则C2π是B-空间。

设x∈C2π的傅立叶级数是

1

a+∑(akcoskt+bksinkt) 20

k=1∞

由古典分析可知，上述级数的前n+1项之和为

1

a+∑(akcoskt+bksinkt) 20

k=1∞

1

sin+(n)(s−t)112()()()=∫xs[+∑cosks−t]ds=∫xsds,n=0,1,2,…

1π−π2−π2πsin2(s−t)k=1

π

n

π

令Kn(s,t)=

sin(n+)(s−t)1

212πsin(s−t)

2

，称Kn(s,t)为狄利克雷（Dirichlet）核。

我们的目的是证明：对任意一点t0∈[-π，π]，C2π中必有函数x(t)，它的傅立叶级数在t0发散。因为C2π中的函数均以2π为周期，不妨设t0=0。对每个n，作C2π上的线性泛函

fn(x)=∫−πx(s)Kn(s,t)ds。

则

||fn||=∫|Kn(s,0)|ds,n=0,1,2,…

−ππ

π

6

下面估计积分∫−π|Kn(s,0)|ds。注意到

∫|Kn(s,0)|ds=∫|Kn(s,0)|ds

−π

0

π

2π

π

11

12π|sin(n+2)s|12π|sin(n+2)s|=∫ds≥∫ds s12π02π0sin2s21(2n+1)π|sinu|=∫du π0u最后一个等式中做了变换替换u=(n+2)s。由于

∫

(2n+1)π

|

(k+1)n(k+1)π

|sinu|sinu|1

|sinu|du du=∑∫du≥∑∫

()uuk+1πkπkπ

k=0

k=0

2n2n

2n

1

0

=∑

k=0

2

→∞(n→∞)

(k+1)π因此

||fn||=∫|Kn(s,0)|ds→∞(n→∞)

−ππ

由推论3.3.2，至少存在某函数x0∈C2π，使|fn(x0)|发散，由fn的定义可知，x0的傅立叶级数在t0=0发散。

4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理

本文在上一章主要介绍了Banach空间中一致有界定理以及其推论，这章将介绍Banach空间中的另一个重要定理。

4.1 实线性空间上的Hahn-Banach定理

定理4.1.1 （Hahn-Banach受控延拓定理）设X是实线性空间，p(x)是定义在X的实值函数，满足对任意的x，y∈X及实数α，p(x+y)≤p(x)+p(y)，p(αx)=|α|p(x)（称p是X上的半范数）。M是X的实线性子空间，f0是定义在M上的实线性泛函，对任意的x，y∈M和任意实数α，β，有f0(αx+βy)= αf0(x)+βf0(y)。

如果在M上f0(x)≤p(x)，则存在定义在X上的实线性泛函F满足 (1)F是f0的延拓，即对任意的x∈M，有F(x)= f0(x)；

(2)在X上F(x)≤p(x)。

证明：首先假设X是由M及元素x0∉M张成，即

X={x=m+αx0:m∈M,α是实的}

因为x0∉M，对X中的元素x∈M，上面的表示x=m+αx0是唯一的。因此对任意x，y∈M和任意实数c，如果令

F(x)=F(m+αx0)= f0(m)+ αc，

7

则F是X上的实线性泛函，且是f0的延拓。下面取c，使F(x)≤p(x)，即f0(m)+ αc≤p(m+αx0)。这等价于如下两个条件

f0(m/α)+c≤p(m/α+ x0) α>0， f0(m/(-α))-c≤p(m/(-α)- x0) α<0。

为满足这些条件，只要选取c，使得

f0(m`)−p(m`−x0)≤c≤p(m``+x0)−f0(m``),∀m`,m``∈M。

这种c是可取到的，因为

f0(m`)+f0(m``)=f0(m`+m``)≤p(m`+m``)=p(m`−x0+m``+x0)

≤p(m`−x0)+p(m``+x0)；

我们只需取c介于两数supm`∈M[f0(m`)−p(m`−x0)]和infm``∈M[p(m``+x0)−f0(m``)]之间即可。

考虑f0的所有满足g(x)≤p(x)，x∈D(g)的延拓g组成的集族，如果h是g的一个延拓，则定义h>g，则该集族构成一个偏序集。由Zorn定理，存在f0的最大线性延拓g，对所有x∈D(g)，满足g(x)≤p(x)。下面只要证明D(g)=X即可。否则，将D(g)看作M，g看作f0，则存在g的延拓F满足F(x)≤p(x)，x∈D(F)，这与g是最大延拓矛盾。 4.2 复线性空间上的Hahn-Banach定理

定理4.2.1 设X是复线性空间，p(x)是X上的半范数。设M是X的线性子空间，f是M上的复线性泛函，且在M上|f(x)|≤p(x)，则存在定义在X上的复线性泛函F，使得：(1)F是f的延拓；(2)在X上|F(x)|≤p(x)。

证明：显然如果将数乘运算在实数域上，复线性空间亦可看作是实线性空间。令f(x)=g(x)+ih(x)，其中g(x)和h(x)分别是f(x)的实部和虚部，则g(x)和h(x)是M上的实线性泛函，且在M上满足

|g(x)|≤|f(x)|≤p(x)，|h(x)|≤|f(x)|≤p(x)。

因为对任意x∈M

g(ix)+ih(ix)=f(ix)=if(x)=i(g(x)+ih(x))=-h(x)+ig(x)，

故对x∈M，h(x)=-g(ix)。因此由定理4.4.1存在g的实线性延拓G，满足G(x)≤p(x)。从而-G(x)=G(-x)≤p(-x)=p(x)，故|G(x)|≤p(x)。令

F(x)=G(x)-iG(ix)

则由F(ix)=G(ix)-iG(-x)=G(ix)+iG(x)=iF(x)，易得F是X上的复线性泛函。对任意x∈M，

F(x)=G(x)-iG(ix)=g(x)-ig(ix)=g(x)+ih(x)=f(x)

因此F是f的延拓。

下面证明|F(x)|≤p(x)。记F(x)=re−iθ，因此|F(x)|=eiθF(x)=F(eiθx)是正实数，所以|F(x)|=|G(eiθx)|≤p(eiθx)=|eiθ|p(x)=p(x)。 4.3 赋范线性空间上的Hahn-Banach定理

定理4.3.1 （Hahn-Banach保范延拓定理）设X是赋范线性空间的子空间，M是X的

8

线性子空间，f1是M上的连续线性泛函，则存在X上的连续线型泛函F满足：(1)F是f1的延拓；(2)||f1||=||F||。

证明：令p(x)=||f1||·||x||，则p是X上的连续半范数，并且在M上|f1(x)|≤p(x)。由定理4.2.1，存在f1的线性延拓F满足|F(x)|≤p(x)。因此||F||≤sup||x||≤1p(x)=||f1||。另一方面，因为F是f1的延拓，一定有||f1||≤||F||，故||f||=||F||。 4.4 有关Hahn-Banach定理的一些推论

推论4.4.1 设X是赋范线性空间，对任意的x∈X，x∉θ，则存在f∈X*使得f(x)=||x||且||f||=1。

证明：令M是x张成的一维线性子空间，则M={λx|λ为实数或复数}。令

f(λx)=λ||x||

则f是M上的有界线性泛函，且f(x)=||x||，||f||=1。由定理4.3.1将f由M保范线性延拓成X上的有界线性泛函即可。

推论4.4.2 对于赋范线性空间X内的任意向量x，由

||x||=sup{|f(x)|：f∈X*,||f||≤1}

证明：由|f(x)|≤||f||·||x||及推论1知推论2成立。 4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理

推论4.4.1的几何意义如下：

若x≠θ，令||x||=r，由推论4.4.1，存在f∈X*使得

f(x)=||x||=r且||f||=1，

̅(θ,r)时，||x||≤r，就有 当x∈S

|f(x)|≤||f||·||x||=||x||≤r *

设H={x|f(x)=r}，在几何上，称H为X中的一个超平面(Hyperplane)。超平面的特性是它可以把整个空间分隔为互相隔离的两个部分H-和H+：

H-={x|f(x)≤r}， H+={x|f(x)≥r}。

̅(θ,r)位于超平面H的一侧，即包含在H-中。 其中*式表示整个闭球S

定理4.5.1 （凸集分离定理，Separating Theorem）设X-Banach空间，A，B⊂X 为两个凸集，A∩B=∅，其中有一个凸集有内点，则必存在一个f*∈X*及超平面H={X|f(x)=α}使≤α,x∈A这个超平面H分离凸集A和B，即f(x){}或A⊂H−={x|f(x)≤α}，B⊂H−=

≥α,x∈B{x|f(x)≥α}。

5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理

本文上一章主要叙述了Hahn-Banach定理及其相关推论，本章将重点介绍开映射和闭图像这两个定理，而且本章会用到第三章提到的一些定理及定义。

9

5.1 开映射定理

命题5.1.1 设X，Y是线性拓扑空间，T是X到Y内的连续线性变换，并假设T的值域R(T)是Y中的第二类型集，则对X中0的任意一个邻域U，存在Y中0的邻域V，使得̅̅̅̅。 V⊆TU

证明：设W是X中0的一个邻域，满足W=-W，W+W⊆U。对每个x∈X，当n→∞时

∞x/n→0，因此对充分大的n，x∈nW。因此X=⋃∞n=1(nW)，从而R(T)=⋃n=1T(nW)。由于

̅̅̅̅̅̅̅̅=n(TW)̅̅̅̅̅̅̅，并且因R(T)是第二类型集，故存在n0使得̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T(n0W)包含Y的非空开集。而̅T(nW)̅̅̅̅̅与̅̅̅̅̅同胚，̅̅̅̅̅中也包含了非空开集，设y0=Tx0(x0∈W)是这个开集中的一点，由于为nTWTWTW̅̅̅̅̅̅̅。-y0+T(W)中的元映射x→-x0+x是同胚的，故在Y中存在0的邻域V使得V⊆−y0+T(W)

素可以表示成-y0+Tω=T(ω-x0)，其中ω∈W。故由W的选取得ω−x0∈W+W⊆U。 ̅̅̅̅̅̅̅⊆̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⊆̅̅̅̅̅̅ 因此−y0+T(W)⊆T(U)，取闭包−y0+T(W)T(U)，所以V⊆−y0+T(W)T(U)。

定理5.1.1 （开映射定理）设X是Banach空间，Y是线性赋范空间T：X→Y是有界线性算子并且R(T)是Y中的第二纲集，则T必是开算子（开映射）并且是到上的。

特别的，从Banach空间到Banach空间上的有界线性算子是开算子（开映射）。 ̅+B̅⊂̅̅̅̅̅̅̅证明：a.我们知道，对于线性赋范空间的任意子集A，B，AA+B。现在设

1

U={x∈X;||x||<1},U1={x∈X;||x||<}

2容易验证U1+U1⊂U，−U1=U1。由于T的连续性

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ T(U1)−T(U1)=T(U1)+T(U1)⊂T(U1)+T(U1)⊂T(U) (1) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅我们只要证明了T(U1)含有内点，则T(U)以0为内点。

注意∀x∈X,||n||→0，于是存在n使得n∈U1，即x∈nU1。这说明X=⋃∞n=1nU1，从而

∞∞̅̅̅̅̅̅̅̅T(X)=⋃∞n=1T(nU1)=⋃n=1nT(U1)⊂⋃n=1nT(U1)。 x

x

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅T(X)是第二纲集，故存在n使得nT(U1)具有非空内部，也即T(U1)具有非空内部。此时由上̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅面所说，̅̅̅̅̅̅T(U)以0∈Y为内点。不妨设T(O（为明确起x(0,1))=T(U)⊃Oy(0,δ)，其中δ>0。见我们记X中0点的邻域为Ox，Y中0点的邻域为Or。）由于T是线性的，故∀r>0我们有

̅̅̅̅̅̅(U)=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ OY(0,rδ)=rOY(0,δ)⊂rTT(OX(0,r)) (2)

b.现在我们证明，由(2)可以推出

OY(0,2)⊂T(O(0,r)) (3)

实际上，∀y0∈OY(0,2)，由(2)，

OY(0,

r

rδ

rδ

rδ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅r

)⊂T(O(0,)) 22rδ

rδ

于是存在x1∈OX(0,2)使得||y0−Tx1||<22，即y1=y0−Tx1∈OY(0,22)。再由(2)式，

10

OY(0,

r

rδ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅r̅̅̅̅)⊂T(O(0,)) 2222rδ

rδ

于是存在x2∈Ox(0,22)使得||y1−Tx2||<23，即y2=y1−Tx2∈OY(0,23)，…

一般来说，∃xn∈Ox(0,2n)使得yn=y0−Tx1−⋯−Txn∈OY(0,2n+1)。 现在一方面limyn=0，所以y0=limT(∑ni=1xi)。另一方面

n→∞

n→∞

∞

∑∞i=1||xi||<∑i=1

r2i

r

rδ

=r，

∞

X完备，故存在xn=lim∑ni=1xi并且||x0||≤∑i=1||xi||<𝑟，即x0∈OX(0,r)=U。T连续，

n→∞

故

n

y0=limT(∑xi)=T(x0)

n→∞

i=1

这说明(3)成立。T是开算子。

c.记V=OY(0,2)，像a中证明的一样，这里有Y=⋃∞n=1nV，于是

∞

T(X)=⋃∞n=1nT(U)⊃⋃n=1nV=Y。

rδ

T是到上的。

由于完备度量空间是第二纲集，故最后的结论是明显的。 5.2 逆算子定理

上一节我们了解了开映射定理，本文接下来将要介绍闭图像定理，但在讲闭图像定理之前，我们需要首先了解一下逆算子定理。

在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间。

定义5.2.1 逆算子（广义上）：设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，G⊂X，算子T：G→Y，T的定义域为D(T)=G；值域为R(T)。用T-1表示从R(T)→D(T)的逆映射（蕴含T是单射），则称T-1为T的逆算子（invertiable operator）。

定义5.2.2 正则算子：设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若算子T：G(⊂X)→Y满足

(1)T是可逆算子；(2)T是满射，即R(T)=Y；(3)T-1是线性有界算子，则称T为正则算子（normal operator）。

性质5.2.1 若G(⊂X)→Y是线性算子，则T-1是线性算子。 证明：y1，y2∈Y，α，β∈K，由T线性性知：

T(T−1(αy1+βy2)−αT−1y1−βT−1y2)=TT−1(αy1+βy2)−αTT−1y1−βTT−1y2

=(αy1+βy2)−αy1−βy2=0

11

由于T可逆，即T不是零算子，于是T−1(αy1+βy2)=αT−1y1+βT−1y2，故T-1是线性算子。

定理5.2.1 逆算子定理：设T是Banach空间X到Banach空间Y上的双射（既单又满）、线性有界算子，则T-1是线性有界算子。

例5.2.1 设线性赋范空间X上有两个范数||·||1和||·||2，如果(X，||·||1)和(X，||·||2)均是Banach空间，而且||·||2比||·||1强，那么范数||·||1和||·||2等价。（等价范数定理）

证明：设I是从由(X,||·||2)到(X,||·||1)上的恒等映射，由于范数||·||2比范数||·||1强，所以存在M>0，使得∀x∈X有

||Ix||1=||x||1≤M||x||2

于是I是线性有界算子，加之I既是单射有时满射，因此根据逆算子定理知I-1是线性有界算子，即存在M`>0，使得∀x∈X有

||I-1x||2=||x||2≤M`||x||1

故范数||·||1和||·||2等价。 5.3 闭图像定理

定义5.3.1 设X和Y是同一数域上的线性拓扑空间，则乘积空间X×Y按如下运算构成线性空间：

{x1,y1}+{x2,y2}={x1+x2,y1+y2}，α{x,y}={αx,αy}

如果称形如

G1×G2={{x,y}:x∈G1,y∈G2}

的集合为X×Y中的开集，其中G1，G2分别是X和Y中的开集，则X×Y是一个拓扑线性空间。

进一步，如果X和Y是拟赋范线性空间，令

||{x,y}||=(||x||+||y||2)2

则X×Y构成拟赋范线性空间。

由于s−lim{xn,yn}={x,y}等价于s−limxn=x，s−limyn=y，因此如果X和Y是

n→∞

n→∞

n→∞

2

1

B-空间（F-空间），则X×Y也是B-空间（F-空间）。

定义5.3.2 设T是D(T)⊆X到Y的线性变换，T的图像是指X×Y中的集合{{x,Tx}:x∈D(T)}，记为G(T)。设X，Y是拓扑线性空间，如果G(T)是X×Y的闭线性空间，则称T是闭线性算子。如果从D(T)⊆X到Y的线性变换T的图像G(T)的闭包是从D(S)⊆X到Y的线性变换S的图像，则称T是可闭的。

注：当X和Y是拟赋范线性空间时，T是闭线性算子的充分必要条件是： 对任意{xn}⊆D(T)，s−limxn=x和s−limTxn=y意味着x∈D(T)且Tx=y。

n→∞

n→∞

命题5.3.1 若X，Y是拟赋范线性空间，则T可闭的充分必要条件是对任意{xn}⊆D(T)，

12

s−limxn=0和s−limTxn=y意味着y=0。

n→∞

n→∞

证明：必要性显然成立。

充分性：如下定义T的最小闭延拓S：

当且仅当存在{xn}⊆D(T)且s−limxn=x，s−limyn=y时，x∈D(S)并定义Sx=y。

n→∞

n→∞

由s−limxn=0和s−limTxn=y意味着y=0，y由x唯一确定。下面证明S是闭的。

n→∞

n→∞

设ωn∈D(S)，s−limωn=ω且s−limSωn=u。则存在{xn}⊆D(T)满足

n→∞

n→∞

||ωn−xn||≤n−1,||Sωn−Txn||≤n−1,(n=1,2,…)

因此，

s−limxn=s−limωn=ω，s−limSωn=n。

n→∞

n→∞

n→∞

故ω∈D(S),Sω=u。

定义5.3.3 (1)设X，Y是两个集合，考虑乘积

X×Y={(x,y);∀x∈X,y∈Y}，

若T：X→Y是某个映射，则称集合

G(T)={(x,Tx),∀x∈X}

是T的图像。显然X×Y中的点(x,y)∈G(T)当且仅当y=Tx。

(2)若X，Y是线性赋范空间，定义

||x,y||=||x||+||y||，∀(x,y)∈X×Y

则得到X×Y上的范数，X×Y也是线性赋范空间，此时X×Y完备当且仅当X，Y都完备。

若T：X→Y是线性算子，则∀α，β∈Φ，

α(x,Tx)+β(y,Ty)=(αx+βy,αTx+βTy)=(αx+βy,T(αx+βy))，

所以G(T)是X×Y的线性子空间。

称T：X→Y是闭算子（闭映射），若G(T)是X×Y中的闭集。

定理5.3.1 (1)T：X×Y是闭算子当且仅当对于X中的任意序列xn，若xn→x，Txn→y，则y=Tx。

(2)连续算子是闭算子。

证明：(1)若G(T)闭，xn∈X，xn→x，Txn→y，则

||(xn,Txn)−(x,y)||=||xn−x||+||Txn−y||→0

这说明在G(T)中(xn,Txn)→(x,y)，G(T)闭导致(x,y)∈G(T)。

反之，若T：X→Y具有所说的性质，(xn,yn)ϵG(T),(xn,yn)→(x,y)，则

||xn−x||+||Txn−y||=||(xn,Txn)−(x,y)||→0，

于是xn→x，Txn→y。由所说条件，y=Tx，即(x,y)∈G(T)，G(T)闭。

(2)设T：X→Y连续，若xn→x，Txn→y，由T的连续性知道Txn→Tx，从而y=Tx。由

13

(1)知G(T)是闭集，T是闭算子。

定理5.3.2 （闭图像定理）设X，Y是Banach空间，T：X→Y是线性算子，若T是闭算子，则T连续。

证明：注意此时X×Y是Banach空间，G(T)是闭的，从而也是Banach空间。定义

P:G(T)→X,(x,Tx)→x,∀(x,Tx)∈G(T)，

则容易验证P是线性的、一一的和到上的。此外

||P(x,Tx)||=||x||≤||x,Tx||，

故||P||≤1。根据逆算子定理，P−1:X→G(T),x→(x,Tx)有界，从而

||Tx||≤||x,Tx||=||P−1x||≤||P−1||||x||,∀x∈X

即||T||≤||P-1||，T连续。

6 总结

本文的主要目的是介绍Banach空间以及有关Banach空间的相关定理，但是由于篇幅关系，本文只对重要定理进行了梳理。本文用五章的内容介绍了Banach空间以及Banach空间中的相关定理，其中第一章主要介绍了Banach空间的基本概念，以及基本概念相关的一些性质。从第二章开始，一直到第五章，开始介绍Banach空间中一些重要的基本定理，同时给出了定理的推导与证明。最后对全文进行了一个总结。虽然本文的目的是介绍Banach空间以及有关Banach空间的相关定理，但是由于篇幅关系，本文只对重要定理进行了梳理

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参考文献

[1]希尔伯特(Hilbert)空间和巴拿赫(Banach)空间[EB/OL]. (2013-03-29)[2015-12-4].http://blog.sina.com.cn/s/ blog_75e9038501012n8b.html.

[2]薛建明. 拟Banach空间的正交性[D]. 中山大学, 2009.

[3]金善镐. 有对称基的Banach空间扩展模型的结构性问题[D]. 黑龙江大学, 2012. [4]刘妍. 拟Banach空间的几何常数[D]. 中山大学, 2010.

[5]朱月萍，林道荣，陈玉娟.现代分析技术[M].上海：东华大学出版社，2009.08.

[6]Banach空间中的基本定理[EB/OL]. (2014-02-19)[2015-12-4]. http://www.doc88.com/p-0982021284651.html.

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