万有引力加强复习教师版

万有引力定律及其运用加强训练

一、讨论天体运动规律的基本思路

把天体运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供：

GMmr2v222mm2rmm2frrT

2针对训练1：据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用

周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是（ ）

A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月球运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度

针对训练2：现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为rA和rB。如果rA＜rB，则A（ ）

A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大 B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大

C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大 D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大

针对训练3：图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是（ ）

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关 C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

二．同步卫星问题

地球同步卫星，是指卫星环绕地球运转与地球自转同步即“对地静止”的一种特殊卫星。它主要用于通讯。这里“同步”的含义有二：其一卫星环绕地球运转的绕行方向与地球自转方向相同（由西向东）；其二卫星运行周期等于地球自转周期，即：T=24h. （1）同步卫星的轨道与线速度． ①同步卫星一定在赤道正上方

论述要点：同步卫星要想“对地静止”其圆轨道必须与地轴垂直，又因每种卫星轨道必过地心。这就决定了同步卫星一定在赤道正上方

②同步卫星离地高度h约为36万km

GMm2GMm证明： 由2mr，mg2

RrT

22gTR73r4.210m/s24得： 故： h=r-R=3.56×107m(约为36万km)

2③运行速率: v＝2πr/T=3.1 km/s

1

（2）同步卫星的发射

如图a，发射同步卫星的一种程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步圆轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来。

分析：根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v1（3）同步卫星的覆盖面积

如图b：地球上空有人造地球同步通信卫星，它们向地球发射微波，设卫星所在位置位于赤道上空A点，由于电磁波直线传播，所以同步卫星发射的电磁波覆盖范围为图中的BC圆弧部分。因cosα=R/(R+h)=0.15,所以α＝81.3， BC圆弧部分所对应的圆心角为2α＝162.6。约覆盖地表的45%，因此在赤道上空等间隔放置三颗同步卫星就能基本实现全球通讯（如图C）。但还应知道无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上两极附近总有一部分面积不能直接收到发射来的微波，收不到微波这个范围如图中BD圆弧的四倍（BD圆弧部分所对应的圆心角为β＝8.7），约占地球表面积的9.7%。

由于同步卫星只能在地球的赤道平面上空的同一轨道运行，因此，有人称同步卫星轨道的这一区域为“黄金带”。电磁学理论和实践证明告诉我们，为了避免采用相同频率通信的卫星间的干扰，相邻同步卫星的间隔约需3，因此同步卫星轨道上只能容纳大约120颗卫星。世界各国将面临空间的竞争。

【例1】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ） A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆

C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的

0

0

0

0

2

D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的

解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A是错误的。由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故C、D是正确的。

【例2】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）

A．它们的质量可能不同 C．它们的向心加速度可能不同

B．它们的速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同

解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，地球半径为R，同步卫星距离地面的高

2GMT42度为h，由F引=F向， G=m2（R+h）得：h=3-R，可见同步卫星离

22T4(Rh)mM地心的距离是一定的。

GMv2由G=m得：v=,所以同步卫星的速度相同。

2RhRh(Rh)mM由G

mM(Rh)2=ma得：a= G

M(Rh)2即同步卫星的向心加速度相同。

由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的。所以正确选项为A。

点评：需要特别提出的是：地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。其运行轨道与赤道平面重合。

a2b2c【例3】地球同步卫星到地心的距离r可由r求出，已知式中a的单位是m，243b的单位是s，c的单位是m/s2，则：

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度； B．a是地球半径。b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度； C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度

3

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。 解析：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各项对比，以明确式中各项的物理意义。AD正确。

【例4】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面。飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得成功。

①设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示)。

②若h＝600 km，R＝00 km，则圈数为多少?

GmMv2解析：（1）在轨道上 ① mRh(Rh)2v=

2(Rh)② TGmM=mg ③ 2R在地球表面：

联立①②③式得：T=

2(Rh)Rh Rg

故n=

ttRg T2(Rh)Rh②代人数据得：n=105圈

典型错误之一：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。

例、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。 P 3 B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

2 C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2

1 上经过Q点时的加速度。

Q D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3

上经过P点时的加速度。

图2

MmV2GM211、错解：因为G2mrm，所以V=，

rrr

4

GM，即B选项正确，A选项错误。 3r 因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q

V2V2点轨道的曲率半径r1a2，即C选项正确。

r1r2分析纠错：B选项正确，但C选项错误。根据牛顿第二定律可得aFGM2，即卫星的mr加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以C选项错误，D选项正确。

典型错误之二：混淆稳定运动和变轨运动

例、如图3所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；

a b B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c； 地球 D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 c 13、错解：c加速可追上b，错选C。

图3 分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度

大小

均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由VGM/r知，Vb=Vc2

当c加速时，c受到的万有引力F2

受到的万有引力F>mv/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。对这一选项，不能用VGM/r来分析b、c轨道半径的变化情况。

对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由VGM/r知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。

2

宇宙飞船类型（神舟五号类型）

1、随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的飞船绕地球在圆轨道Ⅰ上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为υ，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v′进入椭圆轨道Ⅲ。（已知量为：m、r1、r2、υ、v′u）求：

⑴飞船在轨道I上的速度和加速度大小。 解：（1）在轨道I上，有GMmr12Ⅱ A r2 Ⅲ Ⅰ B

v12GM (2分) 解得：v1 (1分) mr1r1

5

同理在轨道II上vrGM (1分) 由此得：v1v2 (1分) r2r1Mmr12 在轨道I上向心加速度为a1,则有 Gma1 (2分)

Mmv2v2 同理在轨道II上向心加速度a=,则有 G2m (2分)

r2r2r2 由此得a1r2r12v2 (1分)

(2)设喷出气体的质量为m,由动量守恒得

vv mv1(mm)vmu (3分) 得:mr2r1vum (2分)

2、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F运载火箭先送入近地

预定圆轨道

点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨

地球 道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为A B h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求： （1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？ （2）远地点B距地面的高度h2为多少？

解答：（1）设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点受到的地球引力为

2分

地球表面的重力加速度 2分

由牛顿第二定律得 4分

（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期 2分

由牛顿运动定律得 2分

6

解得 4分

3、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道（远地点B在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：

（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；

（2）卫星同步轨道距地面的高度。

解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动接近A点时的加速度为ax，根据牛顿第二定律GMmmaA4分

(Rh1)2Mmmg4分 R2

物体在地球表面上受到的万有引力等于重力G

R2解得aAg2分 2(Rh1)Mm42（2）设同步轨道距地面高度h2，根据牛顿第二定律有Gm2(Rh2)6分 2(Rh1)T

由上式解得：h23gR2T2R2分 24三．双星问题

宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。

⑴由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。

⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相mm21等，由F=mrω2可得r1，可得r，即固定点离质量大的星较L,rL12mmmmm1212近。

7

⑶列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，不可混淆。当只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时，其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心，可以认为它是固定不动的。 【例1】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

解析：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1和l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得M1：G

M1M2R22242R2l1＝M1（） l1 ∴M2＝

2TGT对M2：G

M1M2R22242R2l2＝M2（） l2 ∴M1＝

2TGT两式相加得M1＋M2＝

42R2GT2（l1＋l2）＝

42R3GT2。

例2、如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。A为星系的一颗行星，它绕恒星O运行的轨近似为圆。天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0、周期为T0。 经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一

颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？

解： A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧。设行星B的运行周期为T、半径为R，则有

tT22t0t02，所以T00 由开普T0Tt0T023t0R0R3勒第三定律得，22，所以RR03

(t0T0)2T0T针对训练1：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有

引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

8

针对训练2：现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G。求： （1）试计算该双星系统的运动周期T。

（2）若实验上观测到运动周期为T’，且T，为了解释两者的'：T1：N(N1)不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质——暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

22GML4解：（1）由万有引力提供向心力有：M··2 ①（4分） 22TL TL2L（4分） GM334LL （2）设暗物的密度为ρ，质量为m，则m··（2分） 3262GMGMmL42M··2 由万有引力提供向心力有：222TL'L2②（2分）

①MT'1 由得：（2分）

N②M4mT2L33 又m·代入上式解得：（2分） 3(N1)M/2L6

9