相似三角形模型讲解-一线三等角问题

第一部分 相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

AADDEEC

B（平行）

BC（不平行）

（二）8字型、反8字型

AAOCDCBBJD（蝴蝶型）

（平行） （不平行）

（三）母子型

AADDBC

C

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

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（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

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二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到。

AA8字型拓展

EGFDBCE共享性BC

一线三等角的变形

一线三直角的变形

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第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：OCOAOE．

2

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, DEBABC．

求证：（1）DBDEDA； （2）DCEDAC．

D

E C A

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F． 求证：BEEFEG．

2B 2

相关练习：

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC．

2

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2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB

2

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：GBM90

5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设

B AMEHBDFGCA、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

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P A D E

（第25题图）

C 完美WORD格式

双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

AED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

BACEBDC

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

AD2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

BCE

求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）BC22BECD．

A

B 专业 知识分享

DEC完美WORD格式

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

B

D E A

F

C

例2：（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQABC.

①若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；

②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

A

Q B

（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.

A

D

A

D

A

D

P

C

B

A

A

C

备用图

B

备用图

C

B

C

B

C

B

C

例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

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（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

A ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长．

ADP D B C

BC

ADBC

例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF． （1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长．

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相关练习：

1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且

ADEC．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

A E

B D

C

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作

DEFB，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

AFDBE

C3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同

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时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义

域； ②当SDMF

9SBEP时，求BP的长． 4A D

A E C

D

E B P B C

（第25题（备用图） 3BCABCCF1EF4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N， （1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若AE1，试求GMN的面积．

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

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例2、在ABC中，C90,AC4,BC3,O是AB上的一点，且

oAPDEBAO2，点P是AC上的一个动AB5C点，PQOP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

【练习1】

在直角ABC中，C90,AB5,tanB交射线AC于点F （1）、求AC和BC的长

（2）、当EF//BC时，求BE的长。 （3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。

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oCQPBOA3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE4AEFCDBAEFCDB完美WORD格式

【练习2】

在直角三角形ABC中，C90,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF

oDEAD的值 m，求DFDBAD1（3）、当ACBC6,，设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

DB2(2)、当

CCFEFEADBADB【 练习4】]如图，在ABC中，C90，AC6，tanB3，D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作DEF90，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.

【 练习5】、

如图,在梯形ABCD中，ABCD, AB2,AD4,tanC40，ADCDAB90,P是腰BC3上一个动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q.(图1)

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(1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当PQDQ时,求BP的长；(图2)

(3)设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域. A B P

D （图Q C 1） 专业 知识分享 A B

P D Q

C

（图2）