高等流体力学 零方程模型

第三节 零方程模型及一方程模型

任一变量的时间平均值定义为；

divVgradStuj()Stxjxjxj1ttttdt

t对变量作平均处理，可得：

ujujS

txjxjxj对于动量方程，附加项为：

uiujijtuiujptijtxjxi2ijdivV 3pt12u2v2w2K 33对其他变量附加项：

ujt xj紊流粘性系数与紊流扩散系数：tt

1零方程模型

所谓零方程模型是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。它只用湍流的时均连续方程(4.12)和Reynolds方程（4.13)组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度米表示。

标准

实用文案

零方程模型方案有多种，最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。Prandtl假定湍动粘度t正比于时均速度ui的梯度和混合长度

lm的乘积。

例如，在二维问题中，有：

2ilmu （4.18） y湍流切应力表示成为：

2uvlmuu (4.19)

yy其中，混合长度lm由经验公式或实验确定。

混合长度理论的优点是直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效，但只有在简单流动中才比较容易给定混合长度

lm，对于复杂流动则很难确定lm，而且不能用于模拟带有分离回流的流动，因此，

零方程模型在复杂的实际工程中很少使用。

4.3.2一方程模型

零方程模型实质上是一种局部平衡的概念，忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度假定的局限性，人们建议在湍流时均控制方程和Reynolds方程的基础上，再建立一个湍动能k的输运方程，而将t表示成k的函数，从而使方程组封闭。这里，湍动能k的输运方程表示为：

(k)(kui)txixjtk32uiujuikkxtxxxCDl (4.20)

ijjj上式从左至右，方程中各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。

由Kolmogorov-Prandtl 表达式，有：

标准

实用文案

tCkl (4.21)

其中k，CD，C为经验常数，多数文献建议：k＝1，C＝0.09，而CD的取值在不同的文献中结果不同，从0.08到0.38不等。但这个问题在后面要介绍的双方程模型中不存在。l为湍流脉动的长度比尺，依据经验公式或实验而定。

以上两式联合构成一方程模型。一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。但是，一方程模型中如何确定长度比尺l仍是不易决定的问题，因此很少在实际工程计算中应用。

4.4标准k两方程模型

标准k模型是典型的两方程模型，是在4.3节介绍的一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。本节介绍标准k模型的定义及其相应的控制方程组，下一节介绍改进的k模型。

4.4.1标准k两方程模型的定义

标准k模型（standard k model）由Launder和Spalding于1972年提出。

在模型中，k为湍动能（turbulent kinetic energy），其定义为,即：

kuiui122uv2w22

表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate），定义为：

uiui （4.22）

xkxk湍动粘度t则表示成k和的函数，即：

标准

实用文案

tCk2 （4.23）

其中，C为经验常数。

在标准k模型中，k和是两个基本的未知量，与之相对应的输运方程为：

ikkuitxixjkkuitxixjikxGkGbYMSk (4.24) j2xC1k(GkC3Gb)C2kS(4.25)

j其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应当Prandtl数，Sk和S是用户根据计算工况定义的源项。

4.4.2标准k模型的有关计算公式

首先，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算:

uiujGktxjxiuix (4.26) jGb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，Gb＝0。对于可压

流体，有：

GbgitTPrtxi (4.27)

其中Prt是湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt＝0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可结合可压流体的状态方程求出，其定义为：

1 (4.28)

TYM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM0。对于可压流体，

标准

实用文案

有：

YM2Mt2 (4.29)

2其中，Mt是湍动Mach数，Mtka；a是声速，aRT。

在标准k模型中，根据Launder等推荐值及后来的实验验证，模型常数C1、

C2、C3、k、的取值为：

C1＝1.44，C2＝1.92，C3＝0.09，k＝1.0，＝1.3 (4.30)

对于可压流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3＝1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3＝0。

根据以上分析，当流动为不可压，且不考虑用户自定义的源项时,` Gb=0，

YM＝0, Sk＝0，S＝0.，这时，标准k模型变为：

kkuitxixjuitxixjtktkxGk (4.31) jC12xkGkC2k (4.32) j这种简化后的形式，出现在多篇文献中，这可使我们更便于分析不同湍流模型的特点，后续要介绍的改进的k模型也将采用这种简化形式。

方程(4.31)及((4.32)中的Gt，按式(4.26)计算，其展开式为:

222222uvwuvuwvwGkt2yyxzy xzzx(4.33)

4.4.3标准k模型的控制方程组

采用标准k模型求解流动及传热问题时，控制方程包括连续性方程、运动方程、能量方程、k方程、方程与式（4.23）。若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。若考虑传质或有化学变化的情况，则应再加

标准

实用文案

入组分方程。这些方程仍可以表示成如下通用形式：

uvwtxyzxxyy(4.35)

使用散度符号，上式记为：

zzSdivudivgradS (4.36) t为了方便查阅，下表给出了在三维直角坐标系下，与通用形式（4.35）所对应的k模型的控制方程。

与式（4.35）对应的k模型的控制方程

方程 连续性方程



扩散系数 源项S

1 0 0

X向运动方程

u

efft

puvweffeffeffSu xxxyxzxy向运动方程

v

efft

puvwSv effeffeffyxyyyzyz向运动方程 湍动能

w

efft

puvweffeffeffSw zxzyzzzk

方程 耗散率方程

标准

t kGk

 t kC1GkC2

实用文案

能量方程

T t

PrTS按实际问题而定

4.4.4标准k模型方程的解法及适用性

在将各类变量的控制方程都写成式（4.35）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以求得统一，这为发展大型通用计算程序提供了条件。以式（4.35）为出发点所编制的程序可以适用于各种变量，不同变量间的区别仅在于广义扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。实际上，目前世界上研究计算流体动力学的主要机构所编制程序多是针对式（4.35）写出的。

对于标准k模型的适用性，有如下几点需要注意：

（1）模型中的有关系数，如式（4.30）中的值，主要是根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有所不同，但总体来讲，本节所给出的结果在近年发表的文献中是比较一致的。除了式（4.30）中给出的5个常数外，对于能量方程中的系数T，有文献建议取为T＝0.9～1.0。虽然这组系数有较广的适用性，但也不能对其可靠性估计过高，需要在数值计算中针对特定的问题，参考相关文献研究寻找更合理的取值。

（2）这里所给出的k模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，也就是说，它是一种针对高Re数的湍流计算模型，而当Re数比较低时，例如，在近壁区域流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能出于层流状态。因此，对Re数比较低的流动使用上面建立的k模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内流动的计算及低Re数时的流动计算问题。常用的解决方法有两种，一种是采用壁面函数法，另一种是采用低Re数的k模

标准

实用文案

型。

（3）标准k模型比零方程模型和一方程模型有了很大进步，在科学研究及工程实际问题中得到了最为广泛的检验和成功应用，但用于强旋流、绕弯曲壁面流动或弯曲流线流动时，会产生一定的失真。原因是在标准k模型中，对于雷诺应力的各个分量，假定了湍动粘度t是相同的，即假定t是各向同性的标量。但在弯曲流线的情况下，湍流是各向异性的，t应该是各向异性的张量。为了弥补标准k模型的缺陷，许多研究者提出了对标准k模型的修正方案，目前，有两种应用比较广泛的改进方案，即RNGk模型和Realizablek模型。

4.7 Reynolds应力方程模型（RSM）

上面所介绍的各种两方程模型都采用各向同性的湍动粘度来计算湍流应力，这些模型难于考虑旋转流动及流线曲率变化的影响。为了克服这些弱点，有人提出直接对Reynolds方程中的湍流脉动应力直接建立微分方程并进行求解。这种方法统称为雷诺应力模型(Reynolds Stress equation Model，RSM)。建立Reynolds应力的方式有两种：一是Reynolds应力方程模型，二是代数应力方程模型。本节介绍第一种模型。

4.7.1 Reynolds应力输运方程

所谓Reynolds应力输运方程，实质上是关于uiuj的输运方程。根据时均化法则uiujuiujuiuj，只要分别的到了uiuj和uiuj的输运方程，就自然得到关于uiuj的输运方程。为此，可以从瞬时速度变量的N-S方程出发，按下面两个步骤来生成关于uiuj的输运方程。

标准

实用文案

第一步，建立关于uiuj的输运方程。过程是：将uj乘以ui的N-S方程，将

ui乘以uj的N-S方程，再将两方程相加，得到uiuj的方程，对此方程作Reynolds时均、分解、即得到uiuj的输运方程。注意，这里的ui和uj均指瞬时速度，非时均速度。

第二步，建立uiuj的输运方程。将uj乘以ui的Reynolds时均方程，将ui乘以uj的Reynolds时均方程，再将两方程相加，即得到uiuj的输运方程。

将上面两步得到的两个输运方程相减后，得到uiuj的输运方程，即

Reynolds应力输运方程。经量纲分析、整理后的Reynolds应力方程可写成：

uiujtuuukijxkCijpuikjpujik uiujukxkDT.ijujuiuiujuiukujuk  xkxkxxkkDL.ijPijuiujgiujgjuip  xxjiGijijuiujeikmuiumejkm(4.63) 2kujum 2xkxkFijij方程中的第一项为瞬态项，其他各项依次为：

Cij：对流项 DT.ij：湍动扩散项 DL.ij：分子粘性扩散项 Pij：剪应力产生项

标准

实用文案

Gij：浮力产生项 ij：压力应变项

ij：粘性耗散项

Fij：系统旋转产生项

上式各项中，Cij、DL.ij、Pij和Fij均只包含二阶关联项，不必进行处理。可是，DT.ij、Gij、ij和ij包含有未知关联项，必须和前面构造k方程和方程的过程一样，构造其合理的表达式,即给出各项的模型，才能得到真正有意义的

Reynolds应力方程。下面将逐项给出相应的计算公式。

下面对方程（4.63）中各主要项的计算公式作如下说明。 1. 湍动扩散项DT.ij的计算

DT.ij可通过Daly和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算：

DT.ijCsxkkukuuulij (4.) xl有学者认为，该式有可能导致数值上的不稳定，因此，推荐用下式：

DT.ijxktuiujkxk (4.65) 式中，t是湍动粘度，按标准k模型中的式（4.23）计算。系数k0.82，注意该值在Realizablek模型中为1.0。 2. 浮力产生项Gij的计算

因浮力所导致的产生项由下式计算：

TT (4.66) GijgigjPrtxjxi其中，T是温度，Prt是能量的湍动prandtl参数，在该模型中可取Prt＝0.85，gi标准

t实用文案

是重力加速度在i方向上的分量，是热膨胀系数，由式（3.27）计算。对理想气体有：

GijtPrtgi (4.67) gjxxij如果流体是不可压的，则Gij＝0。 3. 压力应变项ij的计算

压力应变项ij的存在是Reynolds应力模型与k模型的最大区别之处，由张量的缩并原理和连续方程可知，kk0。因此，ij仅在湍流各分量间存在，当ij时，它表示减小剪切应力，使湍流趋向于各向同性；当ij时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响。可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在有的文献中称此项为再分配项。

压力应变项的模拟十分重要，目前有多个版本用于计算ij。这里，给出相对普遍的形式：

ijij.1ij.2ij.w (4.68)

其中，ij.1是慢的压力应变项，ij.2是快的压力应变项，ij.w是壁面反射项。ij.1按下式进行计算：

ij.1C12uiujkij (4.69)

k3这里，C1＝1.8。ij.2按下式计算：

2ij.2C2PijPij (4.70)

3其中，C2＝0.60，Pij的定义见式（4.63），PPkk2。壁面反射项ij.w的作用是对近壁面处的正应力进行再分配。它具有使垂直于壁面的应力变弱，而使平行于壁面的应力变强的趋势。由下式计算：

标准

实用文案

ij.w33k32ukumnknmijujuknjnkujukninkC1

k22Cdl33k32km.2nknmijik.2njnkjk.2ninkC222Cld (4.71)

0.5，C20.3，nk是壁面单位法向矢量的xk分量，d是研究的位置式中，C134是Karman常数，到固体壁面的距离，其中C＝0.09， 0.4187。ClC，

4. 粘性耗散项ij的计算

耗散项表示分子粘性对Reynolds应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度涡承担动能输运，小尺度涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可看成是各向同性的。即认为局部各向同性的。依照该假定，耗散项最终可以写成：

ij2ij (4.30) 3将式（4.65）、（4.67）、（4.68）～（4.72）代入方程（4.63），得到封闭的Reynolds应力输运方程：

uiujt`uuukijxkxktuiujuiujkxkxk ujuiuuuujkikxxkktgigjxiPrtxj21C1uiujkijC2PijPkkijk33 （4.73）

33k32umnknmijujuknjnkujukninkC1ukk22Cld33k32km.2nknmijik.2njnkjk.2ninkC222Cld2eikmuiumejkmij2kujum3标准

实用文案

为节省篇幅，上式中引用Pij和ij.2的项并没有完全打开。我们注意到，上式是FLUENT等多数CFD软件所使用的广义Reynolds应力输运方程，它体现了各种因素对湍流流动的影响，包括浮力，系统旋转和固体壁面的反射等。

若不考虑浮力的作用（即Gij0）及旋转的影响(即Fij0)，同时在压力应变项中不考虑壁面反射（即ij.w0），这样，Reynolds应力输运方程可写成如下比较简单的形式：

uiujt`uuukijxkxktuiujuiujkxkxk ujuiuuuu jkikx xkk21CuukCPP 1ijij2ijkkij

k332 ij (4.74)

3如果将RSM只用于没有系统转动的不可压流动，则可以选择这种比较简单的Reynolds应力输运方程。

4.7.2 RSM的控制方程组及其解法

在上述得到Reynolds应力输运方程中，包含有湍动能k和耗散率，为此，在使用RSM时，需要补充k和的方程。RSM中的k方程和方程如下：

kkuitxixjuitxixjtktk1x2PijGij (4.75)

j12xC12PijC3GijC2k(4.76) j式中，Pij是剪应力产生项，根据式（4.63）计算。Gij是浮力产生项，按式（4.66）

标准

实用文案

或（4.67）计算，对于不可压流体，Gij＝0。而t是湍动粘度，按下式计算：

tCk (4.77)

C1、C2、C、k、为常数，取值分别为：C1＝1.44、C2＝1.92、Ck＝0.82、＝1.0。C3是与局部流动方向相关的一个数，＝0.09、按标准模型的方法确定。

这样，由时均连续性方程（4.12）、雷诺方程（4.13）、Reynolds应力输运方程（4.73）、k方程（4.75）和方程（4.76），共12个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控制方程组。可通过SIMPLE等算法求解。

此外，对于上面的控制方程组，需要作如下两点说明。

（1）如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立其它针对标量型变量（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。每个这样的方程实际对应3个偏微分模型方程，每个偏微分模型方程对应计算方程（4.14）中的一个湍动标量ui，即得到湍流标量输运方程。这样，将新得到的关于ui的3个输运方程，与时均形式的标量方程（4.14）一起加入到上述基本控制组中，形成总共有16个输运

方程的方程组，求解变量除上述12个外，还包括时均量和3个湍动标量（ux、。 uy和uz）

（2）由于从Reynolds应力方程的3个正应力项可以得出脉动动能，即

1kuiui，因此，不少文献不把k作为的变量，也不引入k方程，但多

2数文献中则把k方程列为控制方程之一。

4.7.3 对RSM适用性的讨论

与标准k模型一样，RSM也属于高Re数的湍流计算模型，在固体壁面

标准

实用文案

附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻尼，Re数很小，上述方程不再适用。因而，必须采用类似4.6节介绍的方法，即要么用壁面函数法，要么用低

Re数的RSM，来处理近壁区的流动计算问题。

同RSM相对应的壁面函数法，与4.6节介绍的内容基本相同，只是多了uiuj在边界上的处理问题。

关于低Re数的RSM，目前有多个版本，其基本思想是修正高Re数RSM中耗散函数（扩散项）及压力应变重新分配项的表达式，以使RSM模型方程可以直接应用到壁面上。

由上述方法建立的对压力应变项等的计算公式可以看出，尽管RSM比k模型应用范围广、包含更多的物理机理，但它仍有很多缺陷。计算实践表明，RSM虽然能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流流动，RSM的结果并不一定比k模型好。另一方面，就三维问题而言采用RSM意味着要多求解6个Reynolds应力的微分方程，计算量大，对计算机的要求高。因此，RSM不如k模型应用更广泛，但许多文献认为RSM是一种更有潜力的湍流模型。

标准