数学河北省唐山二中2018学年高二下学期期末考试理

唐山二中2021-2021学年度高二年级第二学期期末考试

数 学〔理科〕

本试卷分第一卷〔选择题〕和第 Ⅱ卷〔非选择题〕两局部．全卷共 150分，考试时间 120 分钟．

共60

第一卷〔选择题 分〕

一.选择题〔本大题共 12小题，每题5分，共 60分〕 1．假设m为正整数，那么

m(m 1)(m 2) (m 乘积 20)〔 A.Am 20 m m

2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取

A.至少有1个黑球与都是黑球

20

212021m〕

20

2个球，那么互斥而不对立的两个事件是〔

〕

B.至少有1个黑球与至少有1个红球

D.至少有1个黑球与都是红球

2x)f(x)C.恰有1个黑球与恰有 2个黑球 3．设y

f(x)可导且f(x0)

'

2，那么

f(x0 lim

x 0

0=〔

〕

x

D. 1

4．某地区的高中分三类， A类学校共有学生 4000人，B类学校共有学生 2000人，C类学

3000人，现欲抽样分析某次考试的情假设抽取900份试卷进行分析，那么从

况， A 校共有学生

类学校抽取的试卷分数应为〔 〕

A.4 B.4

A.450

D.200 90，

5．如下图，ABC

且

BC

AC

A1B1C1是直三棱柱， CC1,D1

BCA

、F1分别是A1B1、A1C1的中点，

那么BD1 与AF1所成角的余弦值是〔

〕

30

A.

30

10

B. 2

1

C. 15

D. 15

10

6．某批袋装食品的质量服从正态分布 N(500,4)〔单位：g〕，任选购一袋此种食品，其

质量在498g--518g 之间的概率为〔

〕 C.(1)

(1)1 B.1(1)

1

D.(1)

2

1 / 81

外完全相同，先从中随机取

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a)

x

3

a 2x

是连续函数，那

n n

7．函数f(x)

(x

么

lim a

〕

x

a

n

n 2 的值是〔

a 2n

2

(x

a)

A.1

C. 1

D. 2

8．设直线l与球O有且只有一个公共点

P，从直线l

出发的两个半平面

,截球O的

两个截面圆的半径分别为

1和

3，二面角

l

的平面角为 5 ，那么球O的

6

外表积为(

)

9．设随机变量 X的分布列为

X 1 1 2

3

1 3a2

P

a2

4

2

41

2a

那么a的值是〔

〕

2

2

2 D. 2

1

2

2

2

2

7

10．xy 0且x y

2 ，而x

y 按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于

第四项，那么

x的取值范围是〔

〕

A.5

,05

0,

B.,

C.

,0

D.

,5

4

4

4

11．假设lim

a

b

1，那么常数a、b的值为〔

〕

x11

x 1 x2

2,b 4

2,b 4

2,b

4

D.a 2,b

4

12．在一个袋子中装有分别标注号码

1,2,3,

,10的10个小球，这些小球除标注的号码

3个小球，那么取出的小球标注的号码至少有两个是连续整数的 概率为〔 〕

A.9

B.8

C.7

D.7

20

15

20

15

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第二卷〔非选择题

共90分〕

二．填空题〔本大题共 13. f(x)

5小题，每题 5分，共10分〕

1x3 3

3x f'(0)〔其中f'(x)为f(x)的导函数〕，那么f'(1)_________

14. 7人站成一排，甲不站在排头，乙不在正中间，共有 作答〕

__________种不同的排法〔用数字

15. 如下图，正方体

ABCD

A1B1C1D1的棱长为3，那么A1B

与B1D1的距离是

___

16. 同时抛掷 5 枚均匀的硬币80次，设5 枚硬币正好出现 2枚正面

，那

向上，3 枚反面向上的次数为 的数学期望是__________ 么

三．解答题〔本大题共6小题，共74分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤〕

17.〔本小题总分值 10分〕

x1

n

的展开式中，末三项的二项式系数和等于

22，系数最大的项为 20000，

求x.

12分〕

18.〔本小题总分值

如下图，正三棱柱的底面边长为

2，侧棱长为

3，D 为 BC上的

一点，在截面

ADC1中，

ADC1

90 ，求二面角 C1

AD C 的

大小.

19.〔本小题总分值

直线y

12分〕

kx与曲线y

x3 3x2

2x相切，求k的值.

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20.〔本小题总分值 12分〕

某次演唱比赛，需要加试文化科学素质， 每位参赛选手需加答 3个问题，组委会为每位 选手都备有 10道不同的题目可供选择，其中有 5道文史类题目， 3道科技类题目， 道体育类题目，测试时，每位选手从给定的 10道题中不放回地随机抽取 3次，每次抽

取一道题，答复完该题后，再抽取下一道题目作答 .

2

〔Ⅰ〕求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率； 〔Ⅱ〕求某选手抽到体育类题目数 的分布列和数学期望 E

.

21.〔本小题总分值12 分〕

如图1 所示，在边长为12 且AB

的正方形AA'A1' A1中，BB1//CC1

//AA1,

3,BC

4,AA'分别交BB1,CC1于点P,Q，将该正方形沿

'

BB1,CC1折叠，使得A'A1

〔Ⅰ〕求证： AB

与AA1重合，构成如图

2所示的三棱柱ABC A1B1C1.

A1

PQ

B1

Q

P

C1

A'1

B1

〔Ⅱ〕在底边AC上有一点M,

求证：BM//平面APQ

AM:MC

3:4 ,

A1

P

B

(III)求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

C1 Q C

A

B

图1

C A'

A

图2

22.〔本小题总分值12 分〕

：

(x1)n

(n2,n

N)

(Ⅰ)当n

a0

a1(x1)a2(x1)2 a3(x1)3

an(x1)n

,

a1 5时 ，求a0

a2

2

n3a2 a3 a4a5的值. b3 b4

(Ⅱ)设bn

，Tn

b2 bn.

n(n

试用数学归纳法证明：当

n 2时，Tn 1)(n

3

1).

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唐山二中2021-2021学年度高二年级第二学期期末考试

数学〔理科〕

参与评分标准

.〔每小5分，共12，共60分〕 1-12DCBBAAADACCB

二.填空〔每小 5分，共4，共20分〕 13.1 14.3720 15. 3 三．解答〔共 6，共70分〕 〔本小10分〕

解：

展开式中的末三二式系数Cnn 2、Cnn1、Cnn

22即

Cnn2 Cnn1

Cnn

Cn2 Cn1

Cn0

22

n2

n

42

0，

n6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 系数最大第4

3

3

C63 x

20000,

x2 1000

x

100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

〔本小解：如所示，由可得12分〕

AC17⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

CD

x，在 CDC1中，C1D

3

x2

在 ACD中，AD2

x2

42x

由ADC190 ，AC1

2

AD2

C1D2,

解得x

1

D 由ABCBC正三角形知的中点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ADBC 6分

又

ADDC1 AD 平面B1BCC1

C1DC即所求二面角的平面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

在 C1DC中，tanCC1DC1C

3

CD

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6分

10分

10分

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C1DC 60

60⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

即二面角C1 AD C 〔本小12分〕

12分

解：直

y0

y kx与曲y

x3 3x2

2x切于点Px0,y0

x03 3x02 2x0① kx0② 3 x 2

y0 又

y '

6 x 2

且k

y x x 0

'

3x2

0

6x

0

2③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

③代入②中，消去k得2x0

3

3x0 2 0

即x022x030

解得x0

0或x0

3

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8

分

当x0 0，k

当x0

2

32

时，k

分

1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4

12

〔本小12分〕

解：〔Ⅰ〕A：手第二次抽到的不是科技目；

B：手第一次抽到科技而第二次抽到非科技；

C：手第一次和第二次都抽到非科技目.

P(A)P(B

C)P(B)

P(C)

C31C71 C71C61

21427 90

A102

A102

9010

⋯⋯⋯⋯⋯6分

〔Ⅱ〕

P(

可取0，1，2.

0)

A83 A103

7 15；

P( 1)

3A21A82 A103

7 15；

P(

2)

A32A81 A103

1 15.

故 的分布列：

0 1 2

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P

的期望

E0

7

15

7 15

1 15

于是，

7 15

1

7 15

2

1

3 5

15

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

〔〔Ⅰ〕明：因

本小12分〕AB3 ，BC4， 所以

AC5，从而AC2 AB

2

BC2，即AB

BC．

又因AB

BB1，而BC

BB1 B，

所以

AB

平面BC1又PQ 平面

BC

1

所以ABPQ

；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

〔Ⅱ〕解：M作

MN//CQ

交

AQ

于N,接PN,

因AM:MC3:4AM:AC

MN:CQ

3:7

MNPB

3 PB//CQ

MN//PB

四形BM//PN

PBMN平行四形BM//

分,所以

平面

APQ

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8

(III)

解：由1知，PB AB 3,QC 7,分以

BA,BC,BB

A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7)1

x,y,z

，

BC(0,4,0),AP (3,0,3),AQ

(3,4,7)

平面

APQ

的法向量

n

(a,b,c)，

nAP

0 3a 3c 0

所以nAQ 0得

3a 4b 7c

0，

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分

.4数学河北省唐山二中2018学年高二下学期期末考试理

cosBC,n

BCn BCn

4 43

3 3

令a1，

c1,b

1 ，

3

所以直

BC

与平面

APQ

所成角的正弦

3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12

分

注：其它做法据具体情况而定。

〔本小12分〕

解:〔1〕当n 5，原等式

(x1)5 令x2得

〔2〕因(x1)n

所以a2

a0 a1(x1)a2(x1)2

a0

a1a2

a3 a4

a3(x1)3 a5

a4(x1)4 a5(x1)5,

35 243⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4分

[2 (x 1)]n,

Cn2 2n 2,bn

a2

2Cn2

n(n 1)(n 2(2 1)(21)

2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

①当n2,左=

2n3

T2 b2

2，右

2 左右，等式成

3

,

=

立.

②假当n 那么，当n 左Tk

k(k

2,k N )，等式成立，即Tk

k(k

k 1，

k(k bk!

1)(k 1), 3

1)(k 1) k(k 1)(k 1)

k(k

k(k

1)(

k 1

1)

(k1)[(k 1) 1]

3 3 k(k 1)(k 2) (k 1)[(k 1) 1][(k

1)

1)1]

右.

3

3

3

故当nk

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分

1，等式成立.

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