江苏省苏州市三校(苏大附中、苏州一中、吴江中学)2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．（5分）若集合A={0，1，2}，B={﹣2，1，2，3}，则A∪B=__________．

2．（5分）集合{x|y=log2（x﹣1）}用区间号表示为__________．

3．（5分）lg

4．（5分）设a=0.8，b=3，c=log0.83，则a，b，c三者的大小关系是．（用“＜”连接）__________．

5．（5分）幂函数f（x）=x在第一象限是减函数且对于定义域内的任意x满足f（﹣x）=f（x），若α∈{﹣，2，﹣2，}，则α=__________．

6．（5分）已知A={x|x＞﹣3}，B={x|x＞m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是__________． 7．（5分）函数y=lnx+2x﹣6的零点在区间[k﹣1，k]（k∈N）内，则k=__________．

8．（5分）已知函数f（x）=loga（x+b）的图象经过点（﹣3，0），和（0，﹣2），则a+b的值是__________．

α

3

0.8

+ln1=__________．

9．（5分）已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（﹣2）+f（3）+f（﹣

3）+f（4）+f（﹣4）=__________．．

10．（5分）设函数f（2x）=x+2x，则f（x）的单调递减区间是__________．． 11．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则满足f（2m﹣1）＞f（m+1）的m的取值范围是__________．． 12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则不等式（x﹣1）[f（x）﹣f（﹣x）]≤0的解集为__________． 13．（5分）f（x）的定义域为（0，+∞），且f（xy）=f（x）+f（y）+1，f（16）=3，则f（）=__________． 14．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）

x

为“局部奇函数”．若f（x）=2+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是__________．

2

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x

15．（14分）已知集合A={x|3≥27，x∈Z}，B={x|（x﹣m﹣4）（x﹣m+1）＜0}． （1）求集合∁NA；

（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

16．（14分）已知二次函数f（x）=ax+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f（x）． （1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．

17．（14分）已知函数f（x）=1﹣

，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．

2

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数；

（3）若f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

18．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过25吨时，按每吨3.2元收费；当每户每月用水量超过25吨时，其中25吨按每吨为3.2元收费，超过25吨的部分按每吨4.80元收费．设每户每月用水量为x吨，应交水费y元． （1）求y关于x的函数关系；

（2）某用户1月份用水量为30吨，则1月份应交水费多少元？

（3）若甲、乙两用户1月用水量之比为5：3，共交水费228.8元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．

19．（16分）已知函数f（x）=|logax|．

（1）当a=2时，求函数f（x）﹣3的零点；

xx

（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=m+n﹣1的奇偶性，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=logmxlognx+logmx的值域．

20．（16分）如图，过函数f（x）=logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=logmx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．

（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值； （2）当b=a时，求

x

2

的最小值；

x

（3）已知h（x）=a，φ（x）=b，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，求证：h[f（x2）]＜φ[f（x1）]．

2014-2015学年江苏省苏州市三校（苏大附中、苏州一中、吴江中学）高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．（5分）若集合A={0，1，2}，B={﹣2，1，2，3}，则A∪B={﹣2，0，1，2，3}．．

考点： 并集及其运算． 专题： 集合．

分析： 直接由并集的运算得答案．

解答： 解：∵集合A={0，1，2}，B={﹣2，1，2，3}， ∴A∪B={0，1，2}∪{﹣2，1，2，3}={﹣2，0，1，2，3}． 故答案为：{﹣2，0，1，2，3}．

点评： 本题考查了并集及其运算，是基础题．

2．（5分）集合{x|y=log2（x﹣1）}用区间号表示为（1，+∞）．

考点： 集合的表示法． 专题： 集合．

分析： 明确描述法表示的集合的代表元素的属性，本题的代表元素是函数y=log2（x﹣1）的定义域． 解答： 解：由题意，集合{x|y=log2（x﹣1）}表示函数定义域，所以用区间号表示为：（1，+∞）； 故答案为：（1．+∞）．

点评： 本题考查了集合的表达方法；同一个集合有多个表示方法，本题是描述法表示的集合，关键是明确代表元素的属性．

3．（5分）lg+ln1=．

考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用对数的性质和运算法则求解．

解答： 解：lg==．

故答案为：．

+0

+ln1

点评： 本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数的性质和运算法则的合理运用．

4．（5分）设a=0.8，b=3，c=log0.83，则a，b，c三者的大小关系是c＜a＜b．（用“＜”连接）．

考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

30.8

解答： 解：∵0＜0.8＜1，b=3，＞1，c=log0.83＜0， ∴c＜a＜b，

故答案为：c＜a＜b．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

30.8

5．（5分）幂函数f（x）=x在第一象限是减函数且对于定义域内的任意x满足f（﹣x）=f（x），若α∈{﹣，2，﹣2，}，则α=﹣2．

考点： 幂函数图象及其与指数的关系． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据f（x）的奇偶性与单调性，利用排除法，求出结果来．

α

解答： 解：根据f（﹣x）=f（x）得，幂函数f（x）是定义域上的偶函数，排除α=±， 又∵f（x）在第一象限内是减函数，排除α=2； ∴α=﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应用排除法，是基础题． 6．（5分）已知A={x|x＞﹣3}，B={x|x＞m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是m≥﹣3．

考点： 集合的包含关系判断及应用．

专题： 集合．

分析： 要使集合满足B⊆A，结合数轴找到端点之间的关系． 解答： 解：由已知A={x|x＞﹣3}，B={x|x＞m}，如图

要使B⊆A，只要实数m的取值范围m≥﹣3． 故答案为：m≥﹣3．

点评： 本题开车了集合中子集的关系，属于基础题． 7．（5分）函数y=lnx+2x﹣6的零点在区间[k﹣1，k]（k∈N）内，则k=3．

考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 分别求出f（2）和f（3）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间，即可求出k．

解答： 解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0， ∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在零点x0∈（2，3）．

∵f（x）=lnx+2x﹣6在定义域（0，+∞）上单调递增，

∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在唯一的零点x0∈（2，3）． 则整数k=3． 故答案为3．

点评： 本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，要判断个数需要判断函数的单调性，属于基础题．

8．（5分）已知函数f（x）=loga（x+b）的图象经过点（﹣3，0），和（0，﹣2），则a+b的值是．

考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据对数函数的性质代入可解得．

解答： 解：∵函数f（x）=loga（x+b）的图象经过点（﹣3，0），和（0，﹣2）， ∴loga（﹣3+b）=0，loga（0+b）=﹣2，

∴，

解得b=4，a=， ∴a+b= 故答案为：．

点评： 本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．

9．（5分）已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（﹣2）+f（3）+f（﹣

3）+f（4）+f（﹣4）=3．

考点： 分段函数的应用．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 利用f（x）=，代入计算，即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=，

∴f（1）=0，f（2）+f（﹣2）=+=1，

同理，f（3）+f（﹣3）=f（4）+f（﹣4）=1，

∴f（1）+f（2）+f（﹣2）+f（3）+f（﹣3）+f（4）+f（﹣4）=3 故答案为：3．

点评： 本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

10．（5分）设函数f（2x）=x+2x，则f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

2

分析： 令t=2x，则x=，即有f（t）=的性质，即可得到函数的递减区间．

2

解答： 解：由于函数f（2x）=x+2x， 则令t=2x，则x=， 即有f（t）=即f（x）=

t， +x，

t，即f（x）=+x，求得对称轴，结合二次函数

则对称轴为x=﹣2，

则单调递减区间为（﹣∞，﹣2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）．

点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性，同时考查函数的解析式的求法：换元法，属于中档题． 11．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，则满足f（2m﹣1）＞f（m+1）的m的取值范围是（2，+∞）∪（﹣∞，0）．

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论． 解答： 解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，

∴不等式f（2m﹣1）＞f（m+1）等价为f（|2m﹣1|）＞f（|m+1|）， 即|2m﹣1|＞|m+1|，

则（2m﹣1）＞（m+1），

2

即m﹣2m＞0，

解得m＞2或m＜0， 故答案为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）

点评： 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键． 12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣1，则不等式（x﹣1）[f（x）﹣f（﹣x）]≤0的解集为

．

22

考点： 函数奇偶性的性质．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 由奇函数和x＞0的表达式，求得x＜0的表达式，将不等式（x﹣1）[f（x）﹣f（﹣x）]≤0化为（x﹣1）f（x）≤0，分别讨论x=0，x＞0，x＜0，得到不等式组，解出它们，求并集即可得到．

解答： 解：令x＜0，则﹣x＞0，由于当x＞0时，f（x）=2x﹣1， 则f（﹣x）=﹣2x﹣1，又f（﹣x）=﹣f（x）， 则f（x）=2x+1（x＜0），

又不等式（x﹣1）[f（x）﹣f（﹣x）]≤0， 即为（x﹣1）f（x）≤0，

则x=0或或，

即x=0或即有﹣

x≤1或﹣x≤0或

x＜0，

x≤1，

．

则不等式的解集为：故答案为：

点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性及运用：求解析式和解不等式，考查运算能力，属于中档题．

13．（5分）f（x）的定义域为（0，+∞），且f（xy）=f（x）+f（y）+1，f（16）=3，则f（=

．

）

考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用赋值法，分别令x=y=4，f（4）=1，令x=y=2，f（2）=0，再令x=y=

，求得

f（）=．

解答： 解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（xy）=f（x）+f（y）+1，f（16）=3， 令x=y=4，

∴f（16）=f（4）+f（4）+1， ∴f（4）=1， 再令x=y=2，

∴f（4）=f（2）+f（2）+1， ∴f（2）=0， 再令x=y=，

∴f（2）=f（）+f（）+1， ∴f（

）=

， ．

故答案为：

点评： 本题考查抽象函数的应用，利用赋值法求出f（4）=1 和f（2）=0，是解题的关键． 14．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）

x

为“局部奇函数”．若f（x）=2+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是[﹣，﹣1]．

考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．

解答： 解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2+2+2m=0，

﹣xx

因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2+2+2m=0在[﹣1，1]上有解， 令t=2∈[，2]，则﹣2m=t+，

x

xx﹣x

设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，

当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数， 当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，

所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈故答案为：

．

．

点评： 本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x

15．（14分）已知集合A={x|3≥27，x∈Z}，B={x|（x﹣m﹣4）（x﹣m+1）＜0}． （1）求集合∁NA；

（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

考点： 补集及其运算；交集及其运算． 专题： 集合．

分析： （1）求出A中不等式的解集确定出A，根据全集N，求出A的补集即可； （2）由A与B的交集为空集，求出m的范围即可．

x3

解答： 解：（1）∵A={x|3≥27=3，x∈Z}={x|x≥3，x∈Z}，全集N， ∴∁NA={0，1，2}；

（2）∵B={x|（x﹣m﹣4）（x﹣m+1）＜0}={x|m﹣1＜x＜m+4}，且A∩B=∅， ∴m+4≤3， 解得：m≤﹣1．

点评： 此题考查了补集及其运算，交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

16．（14分）已知二次函数f（x）=ax+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f（x）． （1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

2

分析： （1）求出f（2﹣x），再由恒等式的性质，对应项的系数相等，即可得到f（x）=ax﹣2ax，再由最小值为﹣1，即可得到a，进而得到解析式；

（2）求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，即可得到m的范围．

22

解答： 解：（1）f（2﹣x）=a（2﹣x）+b（2﹣x）+c=ax﹣（4a+b）x+4a+2b+c， 因为f（2﹣x）=f（2）+f（x）

所以ax﹣（4a+b）x+4a+2b+c=4a+2b+c+ax+bx+c， 即有

2

2

2

2

，即

2

所以f（x）=ax﹣2ax=a（x﹣1）﹣a，

2

因为f（x）=ax+bx+c最小值为﹣1，所以a=1

2

所以f（x）=x﹣2x；

（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调， 所以

或

，即m≤0或≤m＜1

所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[，1）．

点评： 本题考查二次函数的解析式的求法，注意恒等式的性质，考查函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．

17．（14分）已知函数f（x）=1﹣

，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数；

（3）若f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

考点： 函数奇偶性的判断．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： （1）由于函数f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则f（0）=0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；

（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；

（3）运用奇函数的定义和函数f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

解答： （1）解：∵函数，x∈（b﹣3，2b）是奇函数，

∴

即a=2，b=1．

，且b﹣3+2b=0，

（2）证明：由（ I）得

设任意 x1，x2∈（﹣2，2）且x1＜x2， ∴

，x∈（﹣2，2），

，

∵x1＜x2∴又∵

∴

∴

，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数．

（3）解：∵f（m﹣1）+f（2m+1）＞0， ∴f（m﹣1）＞﹣f（2m+1）

∵f（x）奇函数∴f（m﹣1）＞f（﹣2m﹣1）

∵f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数

∴即有

∴﹣1＜m＜0，

则实数m的取值范围是（﹣1，0）．

点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题． 18．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过25吨时，按每吨3.2元收费；当每户每月用水量超过25吨时，其中25吨按每吨为3.2元收费，超过25吨的部分按每吨4.80元收费．设每户每月用水量为x吨，应交水费y元． （1）求y关于x的函数关系；

（2）某用户1月份用水量为30吨，则1月份应交水费多少元？

（3）若甲、乙两用户1月用水量之比为5：3，共交水费228.8元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．

考点： 分段函数的应用．

专题： 应用题；函数的性质及应用．

分析： （1）根据某市居民自来水收费标准，分段求出各段上每户每月用水量为x吨与应交水费y元之间的函数关系式，最后综合讨论结果可得答案．

（2）将x=30代入（1）中所得函数的解析式，可得1月份应交水费

（3）设甲、乙两用户1月用水量分别为5m吨，3m吨，根据（1）中所得函数的解析式，分别讨论m，结合甲、乙两用户共交水费228.8元，解方程可得答案． 解答： 解：（1）由题意得： 当0＜x≤25时，y=3.2x

当x＞25时，y=25×3.2+4.8×（x﹣25）=80+4.8（x﹣25）

∴

（2）当x=30时，y=80+4.8×（30﹣25）=104， 故1月份应交水费104元

（3）若甲、乙两用户1月用水量分别为5m，3m，

①若m≤5，则甲、乙两用户共交水费8m×3.2≤128元，不合题意； ②若

，则甲、乙两用户共交水费80+4.8（5m﹣25）+3.2×3m=33.6m﹣40=228.8元，

m=8；

甲用户用水量为40吨，交费152元，乙用户用水量为24吨，交费76.8元． ③若m＞

，则甲、乙两用户共交水费80+4.8（5m﹣25）+80+4.8（3m﹣25）=38.4m﹣80≥240

元，不合题意；

答：甲用户用水量为40吨，交费152元，乙用户用水量为24吨，交费76.8元． 16分．

点评： 本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间．

19．（16分）已知函数f（x）=|logax|．

（1）当a=2时，求函数f（x）﹣3的零点；

xx

（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=m+n﹣1的奇偶性，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=logmxlognx+logmx的值域．

考点： 对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）求解|log﹣）

2

|=3即可．（2）运用函数的奇偶性定义证明，（3）转化为y=﹣（log

求解．

解答： 解：（1）当a=2时，

令f（x）﹣3=0得log2x=3或log2x=﹣3； 所以x=8或

所以函数f（x）﹣3的零点为8或 （2）因为f（m）=f（n）

所以logam=logan或logam=﹣logan 所以m=n（舍去）或

x

﹣1

x

x

﹣x

因为g（x）=m+（m）﹣1=m+m﹣1且定义域为R

﹣xx

所以g（﹣x）=m+m﹣1=g（x） 所以g（x）为偶函数 （3）由（2）得

因为x＞m＞n，所以m＞1

所以logmx＞1 所以ymax＜0

所以g（x）的值域为（﹣∞，0）

点评： 本题考察了对数函数的性质的综合应用，结合函数的，不等式求解．属于中档题．

20．（16分）如图，过函数f（x）=logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=logmx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．

（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；

（2）当b=a时，求

x

2

的最小值；

x

（3）已知h（x）=a，φ（x）=b，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，求证：h[f（x2）]＜φ[f（x1）]．

考点： 函数与方程的综合运用；对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）通过a=2，b=4，c=3时，求出ABC坐标，利用AC与x轴平行，列出方程，即可求实数m的值；

（2）通过ABC坐标，利用平行关系得到方程，通过当b=a时，化简

2

为二次函数的形

式，即可求解表达式的最小值；

xx

（3）通过h（x）=a，φ（x）=b，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明：h[f（x2）]＜φ[f（x1）]． 解答： （1）解：由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，logm4） 因为AC与x轴平行 所以logm4=log32 所以m=9

（2）解：由题意得A（a，logca），B（b，logcb），C（b，logmb） 因为AC与x轴平行 所以logmb=logca

22

因为b=a，所以m=c 所以

所以时，达到最小值﹣1

（3）证明：因为a＜x1＜x2＜b，且c＞1 所以logca＜logcx1＜logcx2＜logcb 又因为a＞1，b＞1 所以

，

又因为logcblogca=logcalogcb 所以所以

所以

即h[f（x2）]＜φ[f（x1）]．

点评： 本题考查复合函数的单调性，对数的运算性质，考查函数与方程的综合应用，是中档题．