维普资讯 http://www.cqvip.com 第１１期 ２００７年ｌ１月 机械设计与制造 Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ —．１６３—． 文章编号：１００１—３９９７（２００７）１卜０１６３—０３ 新型三平移并联机构的运动分析和工作空问分析水 陆晶 高国琴朱彩红牛雪梅（江苏大学，镇江２１２０１３） Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｋｓｐａｃｅ ｏｆ ａ ｎｏｖｅｌ ３－ＤＯＦ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｐａｒａｌｌｅｌ ｒｏｂｏｔ ＬＵ Ｊｉｎｇ，ＧＡＯ Ｇｕｏ—ｑｉｎ，ＺＨＵ Ｃａｉ—ｈｏｎｇ，ＮＩＵ Ｘｕｅ—ｍｅｉ（Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ） 中图分类号：ＴＰ２４２．２ 文献标识码：Ａ 目前在对６自由度的并联机器人已进行了广泛深人研究的 ０２ 、Ｏｓ’分别为ｚ轴与 、Ｂ２Ｂ 、Ｃ－Ｃｚ的夹角，０－’沿Ｙ轴正向为 基础上，人们逐渐认识到在某些场合少自由度并联机器人由于 正，Ｏｚ’、Ｏｓ 沿 轴负向为正； 为 与 的夹角，沿，，轴正 其驱动元件少、造价低、结构紧凑而有较高的实用价值，具有较 向为正， ”为 与 ， 的夹角，沿 轴负向为正，０ｓ”为Ｃ。Ｃ２ 好的发展前景。很多学者对少自由度并联机器人进行了研究，并 与ｃ ｃ４的夹角，沿 轴负向为正。所有长度尺寸标注见图２－２， 提出了许多新的机型，江苏大学研制的三平移并联机构 ｎ２、 ｂ２、ｂ３、ｂ４、如、ｆ２、ｆ４分别表示各杆件长度，ａｌ－，ｂｌ、ｌｌ、ａ５、ｂ 、ｌ （３一ＲＲＲＰ（４Ｒ））便是其中一种ｍ。 分别表示点 。、曰。、Ｃ。、Ａ 、Ｂ４、Ｃ４的相对位置翻。动平台上点Ａ 、 机器人的工作空间是机器人操作器的工作区域，是衡量机 髓、ｃ４在固定坐标系。 中的坐标为： 器人性能的重要指标之一。在并联机器人设计中，工作空间也是 重要指标，它决定着并联机器人的整体尺寸。因其结构的特殊 ：性，并联机器人工作空间的确定要比串联机器人复杂得多，其中 ４：ｆＪ ，ａ ｓｉｎ０ｌｓ＋ａ协Ｏｑ３ ；ｃ＋ｏ ｓａ ＋ａ２４ ｃｓｉｏｎｓ（０Ｏ４１ｃ； ＋ｏ ｓ ＋６’ ｌ’）］ｊＩ ｚ：＝ 口ｒｅＹ／ ，：最基本的约束条件有如下３个：运动可控条件、力非奇异条件、 ，ｊ５ ］Ｉ １ （ Ｊ 几何约束条件。 ｆ 一６ｌ＋６２ｃｏｓ ］ｆＸｐ一６５１ 机构工作空间为三维，用Ｍａｔｌａｂ语言编程求解并显示。笔 髓：Ｉ ６３ ｓｉｎ ＋６４ ｓｉｎ（ ＋ ） ４＝ｆ Ｙｐ ｌ （２） 者在实现该机构控制系统时，运用ｖＣ＋＋软件编程，考虑到控制 Ｉ６２ ｓｉｎ０２＋６３ｃｏｓ０＇２＋ ｃｏｓ（６＋ ）ｊ Ｉ Ｚｐ ｊ 系统中要对机构进行轨迹规划，把工作空间的求解加人到控制 系统中，利用Ｍａｔｃｏｍ将Ｍａｆｌａｂ和ｖＣ＋＋结合起来，充分发挥各 ｆ 一６ｌ＋ｌ２ ｃｏｓ０ｓ ］ｆＸｐ—ｂ５１ 自的优势回。 Ｃ４：ｌ ｆ。（＋（ｆ３＋ｌ厶＋ｆｚ ｓ ｉｎｓ ）ｉｎ ）ｃｏｓｓｉ ＋ｆｎ ＋１４ ｃ４ｏ ｓｓｉ（ｎａ（￣０￣＋＋ ）ｊ ）ｌ ＝｝Ｙ，＋ｆ，ｌＪ （３） １三平移并联机器人机构描述及其运动 若已知动平台上Ｐ点的位置Ｘｐ、 Ｚｐ，由式（１）、（２）、（３）可 学正反解 以求出机器人机构位置反解也就是０．、Ｏｚ、Ｏｓ＇为： ３－ＲＲＲＰ（４Ｒ）的结构特征如图１所示，建立如图１所示的 ０１＝ａｒｃｃｏｓ（（ｙ，＋ｄ５一ａ１）／ａ２） 固定坐标系。 及动坐标系Ｐ ， 。设０。为ｙ轴与 支路上 Ｏ￣＝ａｒｃｃｏｓ（（ｘ．－ｂ５＋ｂＯ／ｂｚ） （４） 机构悬挂边ｎ２的夹角，沿 轴正向为正； 、 分别为 轴与 ’＋Ｂ、Ｃ支路上４Ｒ机构悬挂边６ 、ｆ 的夹角，沿Ｙ轴负向为正；８。’、 ＝－ａｒｃｃ。ｓ（Ｄ／厢）＋Ｋ ★来稿日期￣２００７—０１—０８★基金项目：江苏省高技术研究重大项目（ＢＧ２００６０２３）；江苏省教育厅资助项目（０３ＫＪＤ５１００７２） 维普资讯 http://www.cqvip.com 一１６４一 陆 晶等：新型三平移并联机构的运动分析和工作空间分析’ 第１１期 其中 ｌ∈【Ｏ，１Ｔ】，０２Ｅ［０，１Ｔ】， ∈［０，１Ｔ】，Ｌ＝（１３＋ｌ２ｘ ｓｉｎ０３），Ｙ＝ｙｖ＋ 单，因此本文不采用上述方法，而采用空间点搜索法。在最大工 ｆ广ｆｌ，１）－（ｙ２＋ｚ 儿２＿ｆ４２）／２Ｌ，Ｋ＝ａｒｃｃｏｓ（ｚｊ、／ｙ２＋ｚＰ ）。 从上述求解过程可知，当已知输出 解， ’有两解，故反解数为２。 反之，可求得其正解： ｒ 作空间内，由各个支路的约束条件搜索符合的空间点，符合条件 时， 、 均有一 的点就构成了机构的工作空间，这样就保证了工作空间的一个 完备性。笔者在设计并联机构的控制系统时，使用ｖｃ＋＋进行编 程。考虑到控制系统中要对机构进行轨迹规划，就把工作空间的 求解加入到控制系统中利用Ｍａｔｃｏｍ将Ｍａｆｌａｂ和ｖｃ＋＋结合起 来，这样可以利用Ｍａｆｌａｂ来实时求出运动学反解，利用ｖｃ＋＋来 １．Ｘｐ＝－ｂ，＋ｂ２ ＣＯＳ ＋ ｛Ｙｐ 口ｌ＋口２ ｃｏｓ０￣一ａ５ （５） ［Ｚｐ＝Ｌｃｏｓ０３’±√ｚ４ 一（ｙ—Ｌｓｉｎ０３’） 在正解过程中， 只有一解， 两个解，所以正解数为２。 显而易见， 和 完全解耦， 呈强耦合（因为 （ ， ， ））。 本机构的特点是部分变量解耦，这种解耦近乎完全解耦。 图１三平移并联机器人机构示意图 ２并联机构３一ＲＲＲＰ的工作空间分析 工作空间分析是设计并联机器人操作器的首要环节，因此 对并联机器人工作空间的分析显得尤为重要。 ２．１目前生成工作空间的一些方法［４１ 并联机器人工作空间的求解方法有解析法和数值法，在解 析法研究方面，具有代表性的工作是几何法，该方法基于给定动 平台姿态和受杆长极限约束时，假想单开链末杆参考点运动轨 迹为一球面的几何性质，将工作空间边界构造归结为对１２张球 面片求交问题。Ｍｅｒｌｅｔ在此基础上通过引入铰链约束做了类似 工作。此外，Ｍｅｒｌｅｔ还研究了固定动平台参考点，求解相应极限 姿态空间的解析方法。在数值法研究方面，主要有网格法、Ｊｏｃｏｂｉ 法、Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ法和优化法，这些算法一般需依赖于位置逆解， 且需固定末端执行器姿态，故在不同程度上存在着适用性差、计 算效率和求解精度低等缺点。天津大学的黄田教授提出以微分 几何和集合论为工具，研究并联机器人工作空间的解析建模方 法，应用单参数曲面族包络理论，将受杆长和连架球铰约束的工 作空间边界问题归结为对若干变心球面族的包络面求交问题。 这些具体的方法中很大一部分是由基于机构运动学反解得到数 个包络面，然后由这几个包络面构成机构的工作空间的方法演 变而来的［５Ｉｏ３０ 上述各种方法在对本文机构进行求解的时候，分析过程繁 琐，都不同程度的遇到了一些困难。由于本机构运动学反解简 控制机构的动作，一举两得。Ｍａｆｌａｂ和ｖｃ＋＋混合编程空间点搜 索法可以省去对运动学反解进一步分析的麻烦，并使得生成的 工作空间更加精确，同时还可以在工作空间中方便的进行轨迹 规划。 ２．２可达工作空间 由该并联机构的位置反解可以求出输入变量 、 、 ，但是 仅仅由输出变量是不能得到一个精确的工作空间的，其工作空间 还要受到从动角、奇异位置以及电机功率等等因素的制约。将制 约因素全部求出之后，就可以把符合条件的空间点一一显示，这 样就构成了并联机构的工作空间。分别对三个支路进行分析。 ２．２．１ Ａ支路 由式（１）可以得出Ａ支路的从动角 ｌ＝ａｒｃｃｏｓ（Ｄ’／、／ Ｄ２＋ｚ ）＋ ’ （６） 其中 ￣，－Ｚｐ－ａ￣ｓｉｎ０ｌ，ＤＩ＝ （ｘｐ２＋ｚ’ — ），２嘞， ’＝ａｒｃｅｏｓ（ ’／ 、／ Ｄ２＋ｚ ） 要使Ａ支路运动于工作空间中，就必须在反解出主动角 。 以及从动角 。’时，这两个角都必须实际的存在，这就要求ｌｙｐ＋ 啦一ａｌＩ＜Ⅱ２以及 （ｚｖ一Ⅱ２ ｘ ｓｉｎ０１）２＜（嘞＋ ） 。 ２．２．２ Ｂ支路 由式（２）可以得出Ｂ支路的从动角 ’：＝ａｒｃｃ０ｓ（Ｄ”，、 ） ’ （７） 其中ｚ”＝ｚｐ－ｂｚｓｉｎ０２，Ｄ”＝（ ”２＋ｂ３２－ｂ２）／２ｂ３，Ｋ”＝ａｒｃｃ０ｓ（ｚ”／ 、／，， ）。 要使Ｂ支路运动于工作空间中，就必须在反解出主动角以 及从动角 时，这两个角都必须实际的存在，这就要求 — ｂ；￣－ｂｌＩ＜ｂ２以及 ２＋（ｚｐ—ｂ２ ｘ ｓｉｎ０２）２＜（ｂ３＋６４） 。 ２．２．３ Ｃ支路 由式（３）可以得出ｃ支路的从动角 ０３＝ａｒｃｃｏｓ（（ｘｐ一６５＋６１）／ｂ２） （８） 要使ｃ支路运动于工作空间中，就必须在反解出主动角 以及从动角 时，这两个角都必须实际的存在，同时由机构的 结构易知 大小应在±￣ｒ／２＇之间，为了满足关节的驱动力矩的 要求，０３”应小于＂ｒ￣／４。这就要求Ｉｘｐ—ｂ５＋６ｌＩ＜ｂ２、ｚ．＞１３＋１２ ｘ ｓｉｎ０３（０３’ 大小应在士￣ｒ／２之间）以及（厶 ｘ ｓｉｎ０３）２＞Ｃ＋ｙ． 。 ２．３工作空间的生成 在ｗｉｎｄｏｗｓ环境下，安装Ｖｉｓｕａｌ Ｍａｔｃｏｍ，成功安装之后，就 可以在ｖｃ＋＋项目中装载．ｍ文件了。 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｎｏ．１ｌ Ｎｏｖ．２００７ 机械设计与制造 ０３”＝ａｒｃｃｏｓ（（ｚｐ－（１３＋ｌ＃ｉｎ０３）ｃｏｓ０３’）／ｌ，）－ｏ３’一１６５一 （１１） （１）在Ｍａｔｌａｂ的ｗｏｒｋ目录下建立一个名为ｗｏｒｋｓｐａｃｅ．ｉｎ的Ｍａｔｌａｂ文件，文件功能是显示出并联机构的工作空间。 由（７）式和（１０）式可得 和０ 是以 为变量的关系式，同 式和（１１）式可得 和 ”是以０ 为变量的关系式，它 （２）在ｖｃ＋＋环境中建立的并联机构控制界面上加入一个 样由（８）菜单控制，如图２所示。 （３）单击ＶｉｓｕａｌＭａｔｃｏｍ工具栏Ｅ的皿＋＋图标，￣们都是影响０ 变化范围的因素。由（６）式和（９）式不难知道０。’ ”是以０ 为变量的关系式，将（６）式和（９）式代入（１）式就可 ｗｏｒｋｓｐａｃｅ．ｍ 和０ 文件进行转化，Ｖｉｓｕａｌ Ｍａｔｃｏｍ自动转化文件更新项目。 以得出 和 与０ 的变化关系。此时动平台在ＹＯＺ平面内的 同理只有Ｂ支路驱动关节动作时，也不难求出各个从动角 与 之间的变化关系，动平台在ＸＯＺ平面内的平移能力可以 很快得出。 只有Ｃ支路驱动关节动作时，由于０ 和 不变化，从（１） （４）在ＲＣＲＤ￣．ｃｐｐ中加入头文件＃ｉｎｃｌｕｄｅ’ｍａｔｌｉｂ．ｈ’和＃ｉｎ— 平移运动能力就能够很容易求出。ｃｌｕｄｅ’ｗｏｒｋｓｐａｃｅ．ｈ’。 （５）向ｖｏｉｄ ｃＲｃＲＤ ：０ｎｗｏｒｋｓｐａｃｅ（）添加代码。 （６）编译，运行工程，工作空间如图３所示。 式和（２）式可得， 和 不发生任何变化，此时只有 随之发生 改变。由（２）式和（３）式可得 不发生变化， 随 改变而变 化，此外还可求出各从动角与 ’之间的变化关系，动平台沿ｚ 轴上下移动能力很快得以求出。 根据分析还能知道主动副的变化范围越大，工作空间也就 越大。三个主动副运动规律的搭配也直接影响到动平台的实际 操作能力，如果运动规律搭配不当，那么动平台将只能到达空间 中较少的部位。杆长的大小对工作空间的影响最大，每一之支路 中，杆长越长，且两杆相差越小，则总工作空间越大；反之，杆长 越短且相差越大，则总工作空间越小。 与具有类似结构的３－ＲＲＣ并联机构四，本机构工作空间更 大，虚约束更少，实际应用价值更高。 图２并联机构控制主界面Ｍｅｎｕ ３结论 提出的三平移并联机构３－－ＲＲＲＰ具有较好的解耦性能， 正反运动学分析比较简单，容易进行实时控制。借助该机构的运 动学方程，利用Ｍａｔｌａｂ与Ｖｃ＋＋进行混合编程，得到工作空间的 三维图形。该方法可以求出工作空间的实际形状，所以在设计并 联机构的时候也可以起到相当大的辅助作用。此外，该并联机构 样机在笔者设计的控制系统中运行平稳，走位准确，在工业装配 机器人、力与力矩传感器、虚拟轴机床、坐标测量机等领域具有 广泛的应用前景。 参考文献 １余顺年，马履中．两平移一转动并联机构位置及工作空间分析们．农业 机械学报，２００５，３６（８）：１０３—１０６． ２郭虹，薄云飞，林冬．Ｖｃ＋＋与ＭＡＴＬＡＢ混合编程技术研究［Ｊ】．计算机 图３工作空间生成图 工程，２００２，２８（９）：２６９—２７１． ２．４可达工作空间内机构动平台平移能力分析 根据（１）式可得，当主动角０ 变化即Ａ支路驱动电机运转， ３高国琴，唐建中，马履中等．三平移并联机器人步进电动机闭环控制们． 农业机械学报，２００４，３５（６）：１５６—１５９． ４王洪斌，魏立新，王洪瑞．并联机器人的理论研究现状【Ｊ】．自动化博览， ２００２，１９（５）：４２—４５． 而Ｂ支路与ｃ支路得驱动关节不作用时， 不发生任何变化， 和 随之发生改变，动平台在ＹＯＺ平面内平移。由（１）式的第一 式和第三式可以求出： Ｏ１ｔ！＝ａｒｃｃｏｓ（（ｚｐ－ａ￣ｓｉｎ０ｌ－ｏ，３ｓｉｎＯｌ ）／ａ，）－０ｌ’ ５尹小琴，马履中．三平移并联机构３－－ＲＲＣ的工作空间分析们．中国机 械工程，２００３，１４（１８）：１５３１—１５３３． （９） ６刘辛军，汪劲松，李剑锋等．一种新型空间３自由度并联机构的正反 解及工作空间分析 ．机械工程学报，２００１，３７（１０）：３６—３９． 由（２）式的第二式和第三式可以求出： ０２”＝ａｒｃｃｏｓ（（ｚｐ－ｂ２ｓｉｎＯ２－ｂ３ｓｉｎＯ２’）／ｂ４）一 ’ （１０） ７张爱丽 陈逢胜．利用Ｍａｔｃｏｍ实现Ｖｉｓｕａｌ ｃ＋＋与Ｍａｄａｂ的混合编程 『Ｊ】．电脑编程与技巧维护，２００３（６）：１９—２１． 由（３）式的第三式可以求出：
