单级倒立摆的数学模型的建立-参考

1单级倒立摆的数学模型的建立：

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型

倒立摆系统的模型参数如下[]：

M 小车质量 1.096Kg；

m 摆杆质量 0.109Kg

b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec

I 摆杆质量 0.0034kg*m*m

1

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

T 采样频率 0.005s

下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：

FbxN (1) Mx由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

d2Nm2xlsindtcosml2sin （2） mlNmx把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：

2sinFbxmlcosmlMmx （3）

为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：

d2Pmgm2lcosdt

sinml2cosPmgml （4）

2

力矩平衡方程如下：

 （5） PlsinNlcosI方程中力矩的方向，由于，coscos,sinsin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

Imlmglsinmlxcos （6）

22sinFMmxbxmlcosml综上：单级倒立摆的运动方程为： （3）

Imlmglsinmlxcos （6）

2由于这2个方程式非线性的

近似线性化处理：

考虑一类非线性系统器

，使得闭环系统

其镇定问题所研究的是设计一个状态反馈控制

为稳定系统。针对上述非线性系统的

镇定问题，有一类方法是先将其进行线性化，然后利用线性系统稳定性理论来设计控制器。线性化的方法有２种，一是以泰勒展开为基础的近似线性化方法；二是以微分几何为基础的精确线性化方法。

经典的近似线性化方法

3

该方法通过求取方程右端对状态向量x在平衡点的偏导

数可得，即

衡点ｚ。处的近似线性化模型。

式即为平

2精确线性化方法

该方法通过寻找微分同胚变换ｚ=Ｔ（x）和状态反馈系统

可转换成Brunosky标准型的线性系统：

，使得非线性

4

基于微分几何的非线性系统精确线性化理论已经证明：存在这样一个微分同胚变换和状态反馈，使得一个单输入仿射非线性可以化为一个线性系统。若h(x)是线性偏微分方程组

为光滑函数，且

则

的解，其中

是一

个微分同胚变换；并且若射非线性系统

，则单输入仿

可转换为Ｂｒｕｎｏｖｓｋｙ标准型，即

对于由近似线性化方法得到的非线性系统的近似线性模型和由精确线性化方法得到的线性模型，都可以应用线性系统的极点配置方法来设计系统的反馈控制器；但不同的是前者设计的反馈控制器可以直接应用于非线性系统，并在小范围内可以将系统从不稳定的初始状态镇定至平衡状态；而后者设计的反馈控制器所得到的是控制量而不是原系统的控制量

，因此该控制量还需要经过控制量的逆变换将其转化为控制量

5

才能作用于原系统，

即

对比这２种设计非线性系统反馈控制器的方法，经典近似线性化方法方法最明显的缺点是它有误差，而且误差随偏离平衡点距离的增大而扩大利用精确线性化模型得到的系统状态反馈控制器能在更大范围内将系统从不平衡状态镇定至平衡状态；因此精确线性化方法不但更适合于高精度的非线性系统的镇定控制，而且更适合于初始状态远离平衡点系统的镇定控制。

根据相对阶的定义，可知倒立摆系统的相对阶r=2不能为n即倒立摆系统不能实现精确线性化。

假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可进行近似处理：

dcos1,sin,0dt

用u代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：

2mglmlxImlubxmlxMm （7）

2对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：

6

222Iml(s)smgl(s)mlX(s)s22MmX(s)sbX(s)sml(s)sU(s) （8） （推到时假设初始条件为0）则，

摆杆角度和小车位移的传递函数为：

mls2X(s)(Iml2)s2mgl

(s)将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：

0.02725s2X(s)0.0102125s20.26705

(s)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

(s) A(s)mlIml2s2mgl

将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

(s)0.02725s2A(s)0.0102125s20.26705

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

7

ml2s(s)qb(Iml2)3(Mm)mgl2bmglF(s)4ssssqqq222q(Mm)(Iml)ml

将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

(s)F(s)2.35655ss30.0883167s227.9169s2.30942

以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：

0xx0001(Iml2)bI(Mm)Mml20mlbI(Mm)Mml20m2gl2I(Mm)Mml20mgl(Mm)I(Mm)Mml200x2Iml02xI(Mm)Mmlu10ml02I(Mm)Mml

xx1000x0y0u0010

将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：

8

100x0x0x00.08831670.6293170x0.883167u0001000.23565527.828502.35655xx1000x0y0u0010

以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：

0xx00010000003g4l00x1x0x'x1000x0'10uy0u0010304l 

将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：

x0x0000x0x10u10029.403xx1000x0y0u0010

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