【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为
vyx2x2y2i2x2y2j 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。
【解】 由题设,vyxx,y2x2y2,vyx,yx2x2y2 代入流线的微分方程
dxv,y,z,tdyvx,y,z,t
xxy得
dxdydxyyxydyxxdxydxdxydy2x2y22x2y212x212y2Cx2y2C'
【4-4】 已知流场的速度分布为
vxy2i13y3jxyk
(1)问属于几维流动(2)求(x, y, z)=(1, 2, 3)点的加速度。
【解】 (1)由于速度分布可以写为
vvxx,yivyx,yjvzx,yk (1)流动参量是两个坐标的函数,因此属于二维流动。
(2)由题设,
vxx,yxy2 (2)vx,y1yy33 (3)vzx,yxy (4)
axdvxvxvvvvxxvyxvzxdttxyz1xy2xy2xy2y3xy2xyxy2tx3yz (5)
10xy2y2y32xy031xy43aydvydtvytvxvyxvyvyyvzvyz13131313213yxyyyyxyyt3x33y3z3 (6)
100y3y2031y53azdvzvzvvvvxzvyzvzzdttxyz1xyxy2xyy3xyxyxytx3yz (7)
10xy2yy3x032xy33将x=1,y=2,z=3代入式(5)(6)(7),得
14116xy124 3331132 ayy5253332216azxy3123
333ax
【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计,试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。
图4-28 习题4-15示意图
【解】 列1-1、2-2断面的能量方程:
21va12p12vap2z1z22hw (1) 2gg2gg不计损失,hw=0,取α1=α2=1,则
2v12p1v2pz1z22 (2) 2gg2ggzp21p2v2v211gz2g2g2g (3)设液体ρm左侧界面的坐标为z3,由流体静力学基本方程,得
p1gz1z3p2gz2z3HmgHp1gzp2gH1z3gz2z3Hmg (5)p1zp2Hg1gz2Hm (6)p1pgz12gzm12H (7)由式(3)(7),得
2mv2v211H2g2g (8)由于连续方程
A1v1A2v2 (9)A124d1 A24d22 (10)d2v211d2v2 (11)d2v12v1d2 (12)2由式(8),得
2gm21Hv22v1 (13)
(4)将式(12)代入式(13),得
4d12m22d12g1Hvvv11141d2 (14) d222m2gH1 (15) 2v14d114d2m2gH1 (16) v14d114d2
流量为
m2gH12qVd14d1414d2121212m2gH1 (17) 41144d2d1即
qV2gHm112 (18) 4441d21d1
【4-16】 按图4-29所示的条件求当H=30cm时的流速v。 [1.085m/s]
图4-29 习题4-16示意图
【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1,皮托管入口处为点2,水与测量液体左侧界面处为点3,水与测量液体右侧界面处压强为点4,水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x。
由于在同一流线上,
2v12p1v2p2z1z2 (1) 2gH2Og2gH2Og根据静压强分布
dp1p3H2Ogx (2)
2dp2p4H2OgxH (3)
2p3p4RgH (4)
在方程(1)中v1=v,z1=z2,v2=0,则
HOv222p1p2 (5)
方程(3)减去方程(2),得
p2p1p4p3H2OgH (6)
将方程(4)(5)带入(6),得
HOv1222RgHH2OgH (7)
则
R (8) v2gH1HO2v29.806650.310.81.0848m/s (9)
【习题4-24】 连续管系中的90º渐缩弯管放在水平面上,管径d1=15cm,d2=7.5cm,入口处水的平均流速v1=2.5m/s,静压p1e=×104Pa(计示压强)。如不计能量损失,试求支撑弯管在其位置所需的水平力。
【解】根据牛顿运动定律,支撑弯管在其位置所需的水平力等于管道给流体的作用力。令xoy平面为水平面,入口段沿x轴负半轴,出口段沿y轴正半轴,弯头在原点,建立坐标系。
(1) 沿x方向的外力有:由入口压强p1e引起的压力p1eA2;由管道给流体的作用力R的分力Rx。所以
Fxp1eA1Rx
系统内流体的动量沿x方向的变化为:
qVv2axv1axqV0v1
由x方向动量方程
qVv2axv1axFx
得
p1eA1RxqV0v1
Rxp1eA1qVv1 (1)
(2) 沿y方向的外力有:由p2e引起的压力p2eA1;由管道给流体作用力R的分力Ry。所以
FyRyp2eA2
系统内流体的动量沿y方向的变化为:
qVv2ayv1ayqVv20
由y方向动量方程
qVv2ayv1ayFy
得
Ryp2eA2qVv20
Ryp2eA2qVv2 (2)(3) 根据连续方程
qVA1v1A2v2 (3)其中,Ad2114,Ad2224,则
vA1v12A (4)2(4) 列入口、出口断面的能量方程:
1v2212gzp1e2v2p1g2gz22eghw 不计损失,hw=0,取α1=α2=1,z1=z2,则
v221p1ev2p2e2gg2gg (5)得
p22e2v1v22p1e (6)
(5) 支撑弯管在其位置所需的水平力:
22 (7) RRxRy
由(1)(2)(3)(4)(6)(7),得
A1d124
A2d224
qVA1v1
v2qV A22v2p1e
p2ev221Rxp1eA1qVv1 Ryp2eA2qVv2
22RRxRy
代入数值,得
R= (N)
【习题4-29】 如图4-36所示,一股射流以速度v0水平射到倾斜光滑平板上,体积流量为qV0。求沿板面向两侧的分流流量qV1与qV2的表达式,以及流体对板面的作用力。忽略流体撞击的损失和重力影响,射流的压强分布在分流前后都没有变化。
图4-36 习题4-29、4-30示意图
【解】 当射流接触平板后,将沿平板表面分成两股射流。取A0截面为射流进入冲击区的
断面,A1与A2截面为射流冲击平板后离开冲击区的断面。由于是平面流动并忽略撞击损失,射流内压力在分流前后又无变化,所以
v1v2v0 (1)
进入断面A0的速度v0,可分解为沿板面方向的v0cosθ和沿板面法线方向的v0sinθ 沿板面方向,流体没有受力;沿板面法线方向,设流体受到的作用力为F。沿板面方向列写动量方程
qV1v0qV2v0qV0v0cos0 (2)
沿板面法线方向列写动量方程
0qV0v0sinF (3)
又有
qV1qV2qV0 (4)
解方程组(2)(4),得
qV11cosqV0 (5) 21cosqV0 (6) 2qV2由式(3),得
FqV0v0sin (7)
根据牛顿第三运动定律,流体对板面的作用力与流体受到的作用力大小相等,方向相反,即
F'qV0v0sin (8)
【习题4-30】 如图4-36所示的流动,如果沿一侧的流动的流体流量为总流量的45%,问平板倾斜角θ多大
【解】 由上一题的结论
qV2得
1cosqV0 2qV21cos0.45 qV02则
cos0.1
84.268416'
【习题4-31】 如图4-37所示,平板向着射流以等速v运动,导出使平板运动所需功率的表达式。
图4-37 习题4-31示意图
【解】 由上一题的结论,在平板不运动的情况下,流体对板面的作用力为F'qV0v0sin (1)设射流的的截面积为A0,则
qV0A0v0 (2)代入式(1)
F'A20v0v0sinA0v0sin (3)平板向着射流以等速v运动,将坐标系建立在平板上,则射流的速度为
v'v0v (4)用v’代替式(3)中的v0,得
F'A0v0v2sin (5)此例在水平方向上的分力为
F''F'sinA20v0vsinsinA0v0v2sin2 (6)平板在水平方向上等速运动,根据牛顿第一运动定律,使平板运动施加的力应为FF''A220v0vsin (7)因此,使平板运动所需功率为
PFv A0v0vsin2vA0vv0vsin2 (8)
22由式(2)得
A0qV0 (9) v0无论平板是否运动,A0保持不变,将式(9)代入式(8),得
PqV02vv0vsin2 (10) v0
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