工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为

vyx2x2y2i2x2y2j 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。

【解】 由题设，vyxx,y2x2y2，vyx,yx2x2y2 代入流线的微分方程

dxv,y,z,tdyvx,y,z,t

xxy得

dxdydxyyxydyxxdxydxdxydy2x2y22x2y212x212y2Cx2y2C'

【4-4】 已知流场的速度分布为

vxy2i13y3jxyk

（1）问属于几维流动（2）求（x, y, z）=（1, 2, 3）点的加速度。

【解】 （1）由于速度分布可以写为

vvxx,yivyx,yjvzx,yk (1)流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。

（2）由题设，

vxx,yxy2 (2)vx,y1yy33 (3)vzx,yxy (4)

axdvxvxvvvvxxvyxvzxdttxyz1xy2xy2xy2y3xy2xyxy2tx3yz (5)

10xy2y2y32xy031xy43aydvydtvytvxvyxvyvyyvzvyz13131313213yxyyyyxyyt3x33y3z3 (6)

100y3y2031y53azdvzvzvvvvxzvyzvzzdttxyz1xyxy2xyy3xyxyxytx3yz (7)

10xy2yy3x032xy33将x=1，y=2，z=3代入式(5)(6)(7)，得

14116xy124 3331132 ayy5253332216azxy3123

333ax

【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。

图4-28 习题4-15示意图

【解】 列1-1、2-2断面的能量方程：

21va12p12vap2z1z22hw (1) 2gg2gg不计损失，hw=0，取α1=α2=1，则

2v12p1v2pz1z22 (2) 2gg2ggzp21p2v2v211gz2g2g2g (3)设液体ρm左侧界面的坐标为z3，由流体静力学基本方程，得

p1gz1z3p2gz2z3HmgHp1gzp2gH1z3gz2z3Hmg (5)p1zp2Hg1gz2Hm (6)p1pgz12gzm12H (7)由式(3)(7)，得

2mv2v211H2g2g (8)由于连续方程

A1v1A2v2 (9)A124d1 A24d22 (10)d2v211d2v2 (11)d2v12v1d2 (12)2由式(8)，得

2gm21Hv22v1 (13)

(4)将式(12)代入式(13)，得

4d12m22d12g1Hvvv11141d2 (14) d222m2gH1 (15) 2v14d114d2m2gH1 (16) v14d114d2

流量为

m2gH12qVd14d1414d2121212m2gH1 (17) 41144d2d1即

qV2gHm112 (18) 4441d21d1

【4-16】 按图4-29所示的条件求当H=30cm时的流速v。 [1．085m／s]

图4-29 习题4-16示意图

【解】 设皮托管入口前方未受扰动处为点1，皮托管入口处为点2，水与测量液体左侧界面处为点3，水与测量液体右侧界面处压强为点4，水与测量液体左侧界面与静压管入口处距离为x。

由于在同一流线上，

2v12p1v2p2z1z2 (1) 2gH2Og2gH2Og根据静压强分布

dp1p3H2Ogx (2)

2dp2p4H2OgxH (3)

2p3p4RgH (4)

在方程(1)中v1=v，z1=z2，v2=0，则

HOv222p1p2 (5)

方程(3)减去方程(2)，得

p2p1p4p3H2OgH (6)

将方程(4)(5)带入(6)，得

HOv1222RgHH2OgH (7)

则

R (8) v2gH1HO2v29.806650.310.81.0848m/s (9)

【习题4-24】 连续管系中的90º渐缩弯管放在水平面上，管径d1=15cm，d2=7.5cm，入口处水的平均流速v1=2.5m/s，静压p1e=×104Pa（计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力。

【解】根据牛顿运动定律，支撑弯管在其位置所需的水平力等于管道给流体的作用力。令xoy平面为水平面，入口段沿x轴负半轴，出口段沿y轴正半轴，弯头在原点，建立坐标系。

（1） 沿x方向的外力有：由入口压强p1e引起的压力p1eA2；由管道给流体的作用力R的分力Rx。所以

Fxp1eA1Rx

系统内流体的动量沿x方向的变化为：

qVv2axv1axqV0v1

由x方向动量方程

qVv2axv1axFx

得

p1eA1RxqV0v1

Rxp1eA1qVv1 (1)

（2） 沿y方向的外力有：由p2e引起的压力p2eA1；由管道给流体作用力R的分力Ry。所以

FyRyp2eA2

系统内流体的动量沿y方向的变化为：

qVv2ayv1ayqVv20

由y方向动量方程

qVv2ayv1ayFy

得

Ryp2eA2qVv20

Ryp2eA2qVv2 (2)（3） 根据连续方程

qVA1v1A2v2 (3)其中，Ad2114，Ad2224，则

vA1v12A (4)2（4） 列入口、出口断面的能量方程：

1v2212gzp1e2v2p1g2gz22eghw 不计损失，hw=0，取α1=α2=1，z1=z2，则

v221p1ev2p2e2gg2gg (5)得

p22e2v1v22p1e (6)

（5） 支撑弯管在其位置所需的水平力：

22 (7) RRxRy

由(1)(2)(3)(4)(6)(7)，得

A1d124

A2d224

qVA1v1

v2qV A22v2p1e

p2ev221Rxp1eA1qVv1 Ryp2eA2qVv2

22RRxRy

代入数值，得

R= (N)

【习题4-29】 如图4-36所示，一股射流以速度v0水平射到倾斜光滑平板上，体积流量为qV0。求沿板面向两侧的分流流量qV1与qV2的表达式，以及流体对板面的作用力。忽略流体撞击的损失和重力影响，射流的压强分布在分流前后都没有变化。

图4-36 习题4-29、4-30示意图

【解】 当射流接触平板后，将沿平板表面分成两股射流。取A0截面为射流进入冲击区的

断面，A1与A2截面为射流冲击平板后离开冲击区的断面。由于是平面流动并忽略撞击损失，射流内压力在分流前后又无变化，所以

v1v2v0 (1)

进入断面A0的速度v0，可分解为沿板面方向的v0cosθ和沿板面法线方向的v0sinθ 沿板面方向，流体没有受力；沿板面法线方向，设流体受到的作用力为F。沿板面方向列写动量方程

qV1v0qV2v0qV0v0cos0 (2)

沿板面法线方向列写动量方程

0qV0v0sinF (3)

又有

qV1qV2qV0 (4)

解方程组(2)(4)，得

qV11cosqV0 (5) 21cosqV0 (6) 2qV2由式(3)，得

FqV0v0sin (7)

根据牛顿第三运动定律，流体对板面的作用力与流体受到的作用力大小相等，方向相反，即

F'qV0v0sin (8)

【习题4-30】 如图4-36所示的流动，如果沿一侧的流动的流体流量为总流量的45％，问平板倾斜角θ多大

【解】 由上一题的结论

qV2得

1cosqV0 2qV21cos0.45 qV02则

cos0.1

84.268416'

【习题4-31】 如图4-37所示，平板向着射流以等速v运动，导出使平板运动所需功率的表达式。

图4-37 习题4-31示意图

【解】 由上一题的结论，在平板不运动的情况下，流体对板面的作用力为F'qV0v0sin (1)设射流的的截面积为A0，则

qV0A0v0 (2)代入式(1)

F'A20v0v0sinA0v0sin (3)平板向着射流以等速v运动，将坐标系建立在平板上，则射流的速度为

v'v0v (4)用v’代替式(3)中的v0，得

F'A0v0v2sin (5)此例在水平方向上的分力为

F''F'sinA20v0vsinsinA0v0v2sin2 (6)平板在水平方向上等速运动，根据牛顿第一运动定律，使平板运动施加的力应为FF''A220v0vsin (7)因此，使平板运动所需功率为

PFv A0v0vsin2vA0vv0vsin2 (8)

22由式(2)得

A0qV0 (9) v0无论平板是否运动，A0保持不变，将式(9)代入式(8)，得

PqV02vv0vsin2 (10) v0