高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解

一、选择题

1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 [答案] D

[解析] a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件．

(理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] B

[解析] 由|x－1|<2得－2因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件． 2．(2010·福建文)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件 [答案] A

[解析] 当x＝4时，|a|＝42＋32＝5 当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.

所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．

3．(文)已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] 点Pn(n，an)在直线y＝3x＋2上，即有an＝3n＋2，则能推出{an}是等差数列；但反过来，{an}是等差数列，an＝3n＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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(理)(2010·南充市)等比数列{an}中，“a1D．既不充分与不必要条件 [答案] C

[解析] 在等比数列中，q≠0， ∴q4>0，∴a14．(09·陕西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 [答案] C

[解析] 由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．故选C.

x5．(文)设集合A＝{x|<0}，B＝{x|0x－1A．充分而不必要条件 C．充要条件 [答案] A

[解析] ∵A＝{x|0D．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] ∵mn≠0⇔m≠0且n≠0，故选A.

π6．(文)(2010·北京东城区)“x＝”是“函数y＝sin2x取得最大值”的( )

4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] A

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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ππ

[解析] x＝时，y＝sin2x取最大值，但y＝sin2x取最大值时，2x＝2kπ＋，k∈Z，不

42π

一定有x＝.

4

π2π

(理)“θ＝”是“tanθ＝2cos2＋θ”的( ) 3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] A

π2π

[解析] 解法1：∵θ＝为方程tanθ＝2cos2＋θ的解， 3π2π

∴θ＝是tanθ＝2cos2＋θ成立的充分条件； 3π8π

又∵θ＝也是方程tanθ＝2cos2＋θ的解， 3π2π

∴θ＝不是tanθ＝2cos2＋θ的必要条件，故选A. 3π解法2：∵tanθ＝2cos2＋θ， 1∴sinθ＝0或cosθ＝－，

2π

∴方程tanθ＝2cos2＋θ的解集为

2

， θ＝kπ或θ＝2kπ±π，k∈ZA＝θ32π

显然3A，故选A.





1

7．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”

2的( )

A．充要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 [答案] B

1

[解析] 两直线垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0即m＝或m＝－2，∴m

21

＝是两直线相互垂直的充分而不必要条件． 2

8．(2010·浙江宁波统考)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相

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交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )

A．l1⊥m，l1⊥n C．m⊥l1，n⊥l2 [答案] B

[解析] 当m⊥l1，m⊥l2时，∵l1与l2是β内两条相交直线，∴m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，但α⊥β时，未必有m⊥l1，m⊥l2.

1x,1－x,29．(2010·黑龙江哈三中)命题甲：222x成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 [答案] B

1x2－

[解析] 由条件知甲：(21x)2＝2x， 2·∴2(1－x)＝－x＋x2，解得x＝1或－2； 命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，

B．m⊥l1，m⊥l2 D．m∥n，l1⊥n

x＋1>0∴x>0x＋3>0

x＋12＝xx＋3

，∴x＝1，

∴甲是乙的必要不充分条件．

10．(2010·辽宁文，4)已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) [答案] C

[解析] ∵f ′(x)＝2ax＋b， 又2ax0＋b＝0，∴有f ′(x0)＝0 故f(x)在点x0处切线斜率为0 ∵a＞0 f(x)＝ax2＋bx＋c ∴f(x0)为f(x)的图象顶点的函数值

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∴f(x)≥f(x0)恒成立 故C选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较． 二、填空题

11．给出以下四个命题：

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题． ②命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆命题．

③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．

④命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题， 其中真命题的序号是________． [答案] ②③④

[解析] ①∵p∨q为真，∴p真或q真，故p∧q不一定为真命题，故①假． ②逆命题：若A∪B＝B，则A∩B＝A，∵A∪B＝B，A⊆B，∴A∩B＝A，故②真． bsinB1

③由条件得，＝＝3，当B＝60°时，有sinA＝，注意b>a，故A＝30°；但当A

asinA2＝30°时，有sinB＝

3

，B＝60°，或B＝120°.故③真； 2

④否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数，这是一个真命题，假若f(－x)为奇函数，则f[－(－x)]＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，与条件矛盾．

12．(文)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、a

ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列命题：

b

①数域必含有0,1两个数； ②整数集是数域；

③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域； ④数域必为无限集；

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①④

[解析] 结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确．

(理)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、a

∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈b

Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

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③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④

a

[解析] ①整数a＝2，b＝4，不是整数；

b

②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M； ③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．

④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．

1x

2对一切实13．(2010·辽宁葫芦岛四校联考)设有两个命题：p：不等式＋4>m>2x－x3数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是________．

[答案] (1,3)

1x

2＝－(x－1)2＋1≤1， [解析] ∵＝4>4,2x－x31x

2对一切x∈R都成立，应有1m>2x－x3上是单调减函数得，7－2m>1，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴114．(2010·福建理)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足：(1)对任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f(2m)＝0； ②函数f(x)的值域为[0，＋∞)； ③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；

④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得(a，b)⊆(2k,2k

＋1

)．

其中所有正确结论的序号是________． [答案] ①②④

[解析] 对于①，f(2)＝0，又f(2)＝2f(1)＝0， ∴f(1)＝0，同理f(4)＝2f(2)＝0，f(8)＝0…… 1

f(1)＝2f()＝0，

211

∴f()＝0，f()＝0……

24归纳可得，正确．

6 / 9

对于②④当1同理，当4∴当2m115．已知c>0.设命题P：函数y＝logcx为减函数．

111

，2时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为命题Q：当x∈2xc假命题，求c的取值范围．

[解析] 由y＝logcx为减函数得0，2时，因为f ′(x)＝1－2， 当x∈2x

1

故函数f(x)在2，1上为减函数，在(1,2]上为增函数． 11

∴f(x)＝x＋在x∈2，2上的最小值为f(1)＝2 x

11111

，2时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．得2>，解得c> 当x∈2xcc21

如果P真，且Q假，则02如果P假，且Q真，则c≥1

1

所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．

216．给出下列命题：

(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.

(2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．

(3)已知四边形M，p：M是矩形；q：M的对角线相等． 试分别指出p是q的什么条件． [解析] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0； 而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0. ∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根； 方程x2－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.

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＋＋

＋

－

∴p是q的充分不必要条件． (3)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q； 而对角线相等的四边形不一定是矩形． ∴q⇒/ p.

∴p是q的充分不必要条件．

17．(文)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且q≠1)，求数列{an}成等比数列的充要条件．

[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn1， 由于p≠0，q≠1，

∴当n≥2时，{an}为公比为p的等比数列． a2

要使{an}是等比数列(当n∈N*时)，则＝p.

a1又a2＝(p－1)p， ∴

p－1p

＝p，∴p2－p＝p2＋pq，∴q＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0，且p＋q

－

p≠1，且q＝－1.

再证充分性：

当p≠0，且p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1. 当n＝1时，S1＝a1＝p－1≠0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn1.

显然当n＝1时也满足上式，∴an＝(p－1)pn1，n∈N*， ∴

an

＝p(n≥2)，∴{an}是等比数列． an－1

－

－

综上可知，数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0，p≠1，且q＝－1. 1

(理)(2010·哈三中模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2＋lnx－ax＋a.

2(1)若x＝2为函数极值点，求a的值；

(2)若x∈(1,3)时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围． 13

[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)＋－a，由f ′(2)＝0得，a＝；

x2

1

x＋－(1＋a)≥2－2＝0成立，所以函数y＝f(x)(2)当a≤1时，∵x∈(1,3)，∴f ′(x)＝x在(1,3)上为增函数，

对任意的x∈(1,3)，f(x)>f(1)＝0，所以a≤1时命题成立；

a＋1±a＋12－41

当a>1时，令f ′(x)＝(x－1)＋－a＝0得，x＝，则函数在

x2

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a＋1－a＋12－4(0，)上为增函数，

2

a＋1－a＋12－4a＋1＋a＋12－4在(，)上为减函数，

22a＋1＋a＋12－4

在(，＋∞)上为增函数，

2a＋1＋a＋12－47

当a≤时，1≤≤3，

32a＋1＋a＋12－4则f(1)>f()，不合题意，舍去．

2

7

当a>时，函数在(1,3)上是减函数，f(x)3综上，a≤1.

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