2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷(解析版)

一．选择题（共10小题）. 1．下列实数中，无理数是（ ） A．0

B．﹣4

C．

D．

2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度 为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）A．99×10﹣10

B．9.9×10﹣10

C．9.9×10﹣9

D．0.99×10﹣8

3．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ） A．95

B．90

C．85

D．80

4．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ） A．（﹣3，2）

B．（2，﹣3）

C．（3，2）

D．（﹣3，﹣2）

5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（ ） A．正七边形

B．正八边形

C．正九边形

D．正十边形

6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（ ） A．﹣10 7．不等式组

B．﹣9

C．9

D．10

的解集在数轴表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ） A．π

B．

π

C．π

D．

π

cm，

9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）

A．18 B．25 C．32 D．36

10．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论： ①abc＜0； ②0＜

＜；

③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11．计算：20210+12．分式

＝ ．

有意义的条件是 ．

13．分解因式：1﹣16n2＝ ． 14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为 ．

15． 已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为 ．

16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一

点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①OG＝AB；

②与△EGD全等的三角形共有5个； ③S四边形ODGF＞S△ABF；

④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．

17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有 根小棒．

三．解答题（共8小题，满分62分） 18．先化简，再求值：（

）÷

，其中x＝﹣1．

19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．

20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．

21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元． （1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐 标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ面积的最大值．

23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E． （1）求证：OA∥BC；

（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐

标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．

25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2

），将

矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G． （1）求证：△BGO是等腰三角形； （2）求点E的坐标；

（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y式

，

OO

′

＝

x

，

求

y

关

于

x

的

函

数

关

系．

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列实数中，无理数是（ ） A．0

B．﹣4

C．

D．

．

解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是故选：C．

2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度 为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）A．99×10﹣10

B．9.9×10﹣10

C．9.9×10﹣9

D．0.99×10﹣8

﹣

解：0.0000000099＝9.9×109，

故选：C．

3．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ） A．95

B．90

C．85

D．80

解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90． 故选：B．

4．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ） A．（﹣3，2）

B．（2，﹣3）

C．（3，2）

D．（﹣3，﹣2）

解：∵点A关于原点的对称点A1（3，﹣2）， ∴点A的坐标为（﹣3，2）， 故选：A．

5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（ ） A．正七边形

B．正八边形

C．正九边形

D．正十边形

解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n﹣2）＝1440， 解得：n＝10，

∴这个正多边形是正十边形．

故选：D．

6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（ ） A．﹣10

B．﹣9

C．9

D．10

解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根， ∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0， 解得：a＜﹣9， ∴只有选项A符合， 故选：A． 7．不等式组

的解集在数轴表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

解：解不等式x+1≤3，得：x≤2， 解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 故选：C．

8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ） A．π 解：弧长＝故选：A．

9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）

cm，

B．

π

C．π

D．

π

＝π，

A．18 B．25 C．32 D．36

解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，

由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD， ∴tan∠EFC＝

＝，

设CE＝3k，则CF＝4k， 由勾股定理得DE＝EF＝∴DC＝AB＝8k，

∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC， ∴tan∠BAF＝

＝tan∠EFC＝，

＝5k，

∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k， 在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝解得：k＝1，

∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm）， 故选：D．

10．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论： ①abc＜0； ②0＜

＜；

＝

＝5

k＝5

，

③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∴①的结论错误；

∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜

＜，故②的结论正确；

∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2， ∴③的结论错误；

∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0， ∴am2﹣a+bm+b＝0，

a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0， ∴a（m﹣1）+b＝0， ∴④的结论正确； 故选：B．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11．计算：20210+解：原式＝1+3﹣6 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．分式

有意义的条件是 x≠﹣1 ．

有意义，必须x+1≠0，

＝ ﹣2 ．

解：要使分式解得，x≠﹣1，

故答案是：x≠﹣1．

13．分解因式：1﹣16n2＝ （1﹣4n）（1+4n） ． 解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）． 故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．

14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为 2 ． 解：∵2m+n＝4，

∴6﹣2m﹣n＝6﹣（2m+n）＝6﹣4＝2， 故答案为2．

15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为

．

解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图， ∵OC⊥AB，

∴AC＝BC＝AB＝×4＝2， 在Rt△AOC中，OA＝5， ∴OC＝

＝

． ＝

，

即圆心O到AB的距离为故答案为：

．

16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ①④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①OG＝AB；

②与△EGD全等的三角形共有5个； ③S四边形ODGF＞S△ABF；

④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE，

在△ABG和△DEG中，∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG，

∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB，①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，

∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确； ∴AD⊥BE，

由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 在△ABG和△DCO中，∴△ABG≌△DCO（SAS），

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确； ∵OB＝OD，AG＝DG，

， ，

∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG＝AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，

∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，

又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积， ∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确； 正确的是①④． 故答案为：①④．

17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有 31 根小棒．

解：观察图形的变化可知：

第1个图案中有6根小棒，即5×1+1＝6； 第2个图案中有11根小棒，即5×2+1＝11； 第3个图案中有16根小棒，即5×3+1＝16； …，

则第6个图案中有：5×6+1＝31（根）小棒． 故答案为：31．

三．解答题（共8小题，满分62分） 18．先化简，再求值：（

）÷

，其中x＝﹣1．

解：原式＝•＝x+2，

当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．

19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：

AE＝CD．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°， 在△ABE与△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AE＝CD．

20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．

解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）； 重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人）， 补全条形统计图如图：

（2）画树状图如下：

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个， ∴恰好抽到同性别学生的概率为

＝．

21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元． （1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？

解：（1）设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件， 依题意得：解得：

．

，

答：A种防疫物品12元/件，B种防疫物品16元/件．

（2）设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买（300﹣m）件， 依题意得：12m+16（300﹣m）≤4000， 解得：m≥200．

答：A种防疫物品最少购买200件．

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐 标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ面积的最大值．

解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，

，解得，

，

∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4， 当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2， ∴点C（3，2），

∵点C在反比例函数的图象上， ∴k＝3×2＝6，

∴反比例函数的关系式为y＝，

答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝； （2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，

∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4）， ∴PQ＝﹣（2n﹣4），

∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4， ∵﹣1＜0，

∴当n＝1时，S最大＝4， 答：△DPQ面积的最大值是4．

23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E． （1）求证：OA∥BC；

（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．

【解答】证明：（1）如图，连接OB，

∵PA与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°， ∴∠ABE+∠OBE＝90°， ∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠PAO＝∠PDB， ∴∠PAO＝∠OBD， ∴∠ABE+∠PAO＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵CD是直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝∠AEB， ∴OA∥BC；

（2）∵CD＝2OD＝20，BC＝8 ∴BD＝∵OE⊥BD， ∴BE＝DE＝2

， ＝

＝4

，

∵∠BAE＝∠D，∠AEB＝∠CBD＝90° ∴△ABE～△DCB， ∴∴

∴AE＝21．

24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标． 解：（1）对于y＝a（x+1）（x﹣3），

令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3a， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a）， ∵OB＝OC＝3，

∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）由点BC的坐标得：直线BC解析式为y＝﹣x+3，

∴设D（m，﹣m2+2m+3），K（m，﹣m+3）， ∴d＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；

（3）连接EH，

∵QH平行y轴，Q点的纵坐标为4，QD＝TH， ∴QT＝DH＝4，

∴QD＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1， ∵ED＝2m﹣2， ∴tan∠QED＝∴tan∠EHD＝∴∠QED＝∠EHD， ∴∠QEH＝90°，

过E作y轴平行线l，过R、H分别作直线l的垂线交l于M和N，连接EH，

， ，

∵∠QEH＝90°， ∴∠REM+∠HEN＝90°， ∵∠EHN+∠HEN＝90°， ∴∠REM＝∠EHN， ∴Rt△RME∽Rt△ENH， ∴

＝tan∠ERH＝2，

∵NH＝DE＝2m﹣2， ∴ME＝m﹣1， ∴RF＝﹣m2+3m+2， ∵EN＝DH＝4， ∴RM＝2，

∴FT＝NH﹣MR＝2m﹣4， ∴OF＝OT﹣OF＝4， ∴R（4﹣m，﹣m2+3m+2），

将R点代入抛物线表达式得：﹣m2+3m+2＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3， 解得：m＝，

当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝∴D（

，

）．

），将

，

25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2

矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G． （1）求证：△BGO是等腰三角形； （2）求点E的坐标；

（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y式

，

OO

′

＝

x

，

求

y

关

于

x

的

函

数

关

系．

解：（1）由题意知：tan∠CBO＝∴∠CBO＝30°， ∵AO∥BC，

∴∠BOA＝∠CBO＝30°， ∵∠GOB＝∠GBO＝30°， ∴GO＝GB，

∴△BGO是等腰三角形； （2）在Rt△BCO中，OC＝2∴OB＝OE＝作EH⊥x轴于点H， ∵∠BOA＝∠EOB＝30°， ∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°， 在Rt△EOH中，OE＝4∴OH＝2

，EH＝6，

，6）；

， ＝4

，

，BC＝OA＝6， ，

故E点坐标为（2

（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4令F'O'与CO交点为点M．， E'D'与CB交点为点N，

﹣x﹣6，

S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，

当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，

当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，

当，y＝．