初中数学反比例函数知识点及经典例题

初中数学反比例函数知识点及经典例题

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初中数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如可以写成ykx1

ykkyx（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。x还

2. 反比例函数解析式的特征:

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比

例系数k），分母中含有自变量x,且指数为1。 ⑵比例系数k0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。 ⑷函数y的取值是一切非零实数. 3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序)

③ 连线(从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，

y0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

x）。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是yx或y⑷反比例函数

ykkyx(k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线x （k0)

ykx(k为常数，k0）中自变量x0，函数值

上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k. 4．反比例函数性质如下表： k的取值 图像所在象函数的增减性 限 ko 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小 ko 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大 5。 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）

6．“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数7. 反比例函数的应用

ykx中的两个变量必成反比例关系。

二、例题

【例1】如果函数ykx2k2k2的图像是双曲线，且在第二,四象限内，那么的值是多

初中数学反比例函数知识点及经典例题

少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数(k0）又在第二，四象限内，则k0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：

1k1或k2k2k212k0k0解得

ykx，(k0）即ykx1k1

2kk2k1时函数ykx为

2y1x

【例2】在反比例函数

y1x的图像上有三点x1，y1，x2，y2，x3,y3 。若

xx0x123则下列各式正确的是（ ）

yyyyyyyy312 B．y321 C．y123 D．y132 A．y【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

111y1y2y3x1,x2，x3 解法一：由题意得

xx0x123yyy312所以选A ，y1x的图像

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出

x0xyy123观察图像直接得到y312选A 描出三个点，满足x解法三：用特殊值法

1xx0x,令x2,x1,x1yy1,y1,yyy1231231,233122

13nm，2ymxnm0与反比例函数y的图像x【例3】如果一次函数相交于点（2），

那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】

1m23nm1mn2直线ymxn与双曲线yx相交于，2，解得2n1x23nm1

y2x11直线为y2x1,双曲线为y解方程组y1xxx1得1y111x22y22

另一个点为1，1

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m与双曲线AOB中，点A是直线yx【例4】 如图,在Rtymx在第一象限的交

点，且SAOB2，则m的值是_____.

图

m与双曲线解：因为直线yxmym,yAxAAxxA.所以mAyA. 则有

ymx过点A，设A点的坐标为xA,yA。

xx,AByyAAAA. 又点A在第一象限,所以OB111SOB•ABxymAOBAA2。 222.而已知SAOB 所以

所以m4.

三、练习题

1.反比例函数

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

y2x的图像位于（ ）

2。若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长y（ )

cm与宽xcm之间的函数图象大致为

4。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变气球内气体的气压P ( kPa ） 是气体体积V 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积

时， （ m3 ) 大于120 应（ ）

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5A、不小于45m3 B、小于4m3

4 C、不小于5m3

4 D、小于5m3

5．如图 ，A、C是函数

y1 x的图象上的任意两点,

yA过A作x轴的记

x垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ）

A． S1 ＞S2 B． S1 〈S2

CRtΔAOB

ODBC． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定

n16．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=x的图象都经过点A（—2，1)。

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3)△AOB的面积．

7。 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝错误!的图象交于A、B两点,与x轴交于点C．已知点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为（错误!,m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

AOCB

8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．

（1)蓄水池的容积是多少?

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(2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少？ （5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

。9。某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y（件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.

（1)请写出y关于x的函数关系式；

（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元?

10．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数图象交于A(-2，1)、B(1，n）两点。

(1）求上述反比例函数和一次函数的表达式； （2)求△AOB的面积。

ymx的

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四、课后作业

1．对与反比例函数

A．点（2,1）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限

y2x,下列说法不正确的是( ）

随x的增大而增大 C．当x0时，y随x的增大而减小 D．当x0时,y2。已知反比例函数（ ）

A、（2,1) B、（2，—1） C、（2，4） D、（—1，-2） 3．在同一直角坐标平面内，如果直线yk1x与双曲线的关系一定是（ ）

A。 k1+k2=0 B。 k1·k2〈0 C。 k1·k2〉0 D。k1=k2

4。 反比例函数y＝错误!的图象过点P（－1。5,2),则k＝________．

5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝错误!的图象上，则m＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________． 7。 已知反比例函数

y1y2，则m的取值范围是？

y12m0xx,y,Bx,yx的图象上两点A12时，有1122,当xyk2x没有交点，那么k1和k2ykk0x的图象经过点(1，—2)，则这个函数的图象一定经过

8.已知y与x—1成反比例,并且x＝—2时y＝7，求:

(1）求y和x之间的函数关系式； （2）当x=8时，求y的值； (3）y＝—2时,x的值。

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1bx的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,

9。 已知b3,且反比例函数如果点a,3在双曲线上

yy1bx，求a是多少？