2006年高考湖南卷

数学（理工农医类）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3.考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数ylog2x2的定义域是

A．(3,) B．[3,) C．(4,) D．[4,) 2. 若数列{an}满足: a1n1, 且对任意正整数m,n都有amnaman, 则 3lim(a1a2an)

A．

123 B． C． D．2 2323. 过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB1D1平行的直线共有

A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 4. “a1”是“函数f(x)|xa|在区间[1,)上为增函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知|a|2|b|0, 且关于x的方程x2|a|xab0有实根, 则a与b的夹角的取值范围是 A．[0,2] B．[,] C．[,] D．[,] 633366. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2

个, 则该外商不同的投资方案有

A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种

y27. 过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l, 若l与双曲线M的两条渐

b2当前第 1 页共13页

近线分别相交于点B,C, 且|AB||BC|, 则双曲线M的离心率是

A． 10 B．5 C．8. 设函数f(x)105 D． 32xa, 集合M{x|f(x)0},P{x|f(x)0}, 若MP, x1则实数a的取值范围是

A．(,1) B．(0,1) C．(1,) D．[1,) 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截 面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是

A．

23 B． C．2 D．3 22 图110. 若圆x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离

为22,则直线l的倾斜角的取值范围是 A． [5，] B．[，] C．[，] D．[0，] 1241212632

注意事项：

请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

5311. 若（ax1)的展开式中x的系数是80, 则实数a的值是__________.

x112. 已知xy10 则x2y2的最小值是_____________.

2xy2013. 曲线y12和yx在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 x ___________. 14. 若f(x)asin(x4)bsin(x4)(ab0)是偶函数, 则有序实数对(a,b)可以

是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图2, OM//AB, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动, 且

MPBO 图2A当前第 2 页共13页

OPxOAyOB,则x的取值范围是__________; 当x__________.

1时, y的取值范围是2三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分）

如图3, D是直角ABC斜边BC上一点, ABAD,记CAD,ABC. (Ⅰ)证明: sincos20; (Ⅱ)若AC3DC,求的值.

17. （本小题满分12分）

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01);

(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .

18. （本小题满分14分）

如图4, 已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2, AB4 (Ⅰ) 证明: PQ平面ABCD ;

DPB图3DCA(Ⅱ) 求异面直线AQ与PQ所成的角;

ABC(Ⅲ) 求点P到平面QAD的距离. 19．（本小题满分14分）

Q 图4 已知函数f(x)xsinx, 数列{an}满足: 0a11, an+1=f(an)，n1,2,3,

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证明： (Ⅰ) 0an1an1 ;

(Ⅱ) an1

20．（本小题满分14分）

对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:

13an . 61污物质量）为0.8, 要求清洗完后的清洁度为0.99. 有两种方案可供选择,

物体质量（含污物）x0.8(xa1), 用x1方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1a3). 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

洗后的清洁度.

yac, 其中c(0.8c0.99)是该物体初次清ya(Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21．（本小题满分14分）

x2y21, 抛物线C2:(ym)22px(p0), 且C1,C2的公共弦 已知椭圆C1:43当前第 4 页共13页

AB过椭圆C1的右焦点 .

(Ⅰ) 当ABx轴时, 求m,p的值, 并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上; (Ⅱ) 是否存在m,p的值, 使抛物线C2的焦点恰在直线AB上? 若存在, 求出符合条件的m,p的值; 若不存在, 请说明理由 .

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）参考答案

1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.C 10.B 11.2 12.5 13.16、

解 (I)如图, 因为313 14.(1，1) 15.(,0) ,(,) 4222BAD2(2)22，

所以 sinsin(22)cos2，

即 sincos20。

（II）在ADC中,由正弦定理得

DCACDC3DC，即。 sinsin()sinsin所以sina3sin。

is由（I），nacos2，所以sina3cos23(12sin2)。

即23sin2sin30， 解得sin33或sin。 23因为0从而2，所以sin3， 23。

17、

解（I）每家煤矿必须整改的概率是1—0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好

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有两家煤矿必须整改的概率是 P1C5(10.5)0.522350.31。 16（II）由题设，必须整改的煤矿数服从二项公布B(5,0.5)，从而的数学期望是

E50.52.5，即平均有2.50家煤矿必须整改。

（III）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被

关闭的概率是P2(10.5)(10.8)0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是

3P310.90.41

18.

解法一（Ⅰ）连接AC、BD，设ACBD＝O 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所以PO平面ABCD，QO平面ABCD

从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD

（II）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD．由（I），PQ平面ABCD，故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0,0,1)，Q(0,0,2)，B(0,22,0)

所以AQ(22,0,2), PB(22,0,1),AQPB3于是cosAQ,PB AQPB9从而异面直线AQ与PB所成的角是

arccos3 9（Ⅲ）由（Ⅱ），点D的坐标是(0,22,0),AD(0,22,22,0)， PQ(0,0,3)，

nAQ02xz0得设n＝（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由 xy0nAQ0当前第 6 页共13页

取x1,得n(1,1,2)PQn32 所以点P到平面QAD得距离d2n

解法二（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM,QM, 因为

P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADOM

所以AQ(2,0,2),PB(0,22,1),AQPB3于是cosAQ,PB, 9AQPB从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39 （Ⅲ

D的坐标是

PQ.n32设n(x,y,z)是平面QAD的距离d2n

解法二（Ⅱ），点D的坐标是

(0,22,0),AD(22,22,0),PQ(0,0,3),nAQ2xz设n(x,y,z)是平面QAD的一个法向量,由得

xy0nAD取x1,得n(1,1,2).PQ.n32所以点P到平面QAD的距离d.2n解法二（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM，QM.

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM,ADQM 从而AD平面ABCD。

（Ⅱ）连接AC,BD,设ACBD＝0，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上，从而P，A，Q，C.

(0,22,0),AD(22,22,0),PQ(0,0,3)当前第 7 页共13页

取OC的中点N，连接PN

因为PO1NONO1,所以OQ2OAOC2

PONO,从而AQ//PN,BPNOQOC（或其补角）是异面直线，AQ与PB所成的角

连接BN，

因为PBOB2OP2(22)213．

PNON2OP2(2)213 BNOB2ON2(22)2(2)210

19.（本小题满分14分）

已知函数f(x)xsinx，数列an满足：0a11，an1f(an),n1,2,3„„ 证明：（Ⅰ）0an1an1 （Ⅱ）an113an 6证明 （Ⅰ）先用数学归纳法证明0an1,n1,2,3,„„ 当n1时，由已知，结论成立。

（iii）假设当nk时结论成立，即0an1 因为0x1时f'(x)1cosx0，

所以f(x)在（0，1）上是增函数，又f(x)在[0，1]上连续， 从而f(0)f(a1)f(1)，即0an11sin11， 故当nk1时，结论成立

由（i）、（ii）可知，0an1对一切正整数都成立 又因为0an1时，an1anansinansinan0 所以an1an，综上所述0an1an1

13x,0x1 6由（Ⅰ）知，当0x1时，sinxx

（Ⅱ）设函数g(x)sinxx当前第 8 页共13页

x2x2x2x22x2sin2()0 从而g'(x)cosx122222所以g(x)在（0，1）上是增函数，又g(x)在[0，1]上连续，且g(0)0， 所以当0x1时，g(x)0成立。于是g(an)0，即sinanan故an1

20.

解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有

13an0， 613an 6x0.80.99，解得x19 x1由c0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程

y0.95a0.99，解得y4a，故z4a3

ya即两种方案的用水量分别为19与4a3。

因为当1a3时，xz4(4a)0，即xz，

故方案乙的用水量较少

（Ⅱ）设初次与第二次清晰的用水辆分别为x与y，类似（Ⅰ）得

x5c4,ya(99100c) （*）

5(1c)5c41a(99100c)100a(1c)a1

5(1c)5(1c)于是xy当a为定值时，xy1100a(1c)a1a45a1

5(1c)当且仅当

11100a(1c)时等号成立，此时c1（不合题意，舍去）

5(1c)105a或c11（0.8，0.99）

105a1代入（*）式得x251a1,y25a

105a1时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为251与25a，

105a当前第 9 页共13页

将c1故c1最少总用水量是T(a)a451 当1a3时，T'(a)25故T(a)是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）。10，

a这说明，随着a的值的增加，最少总用量增加。 21

解： (I)当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程x＝1，从而

33）或（1，）。 22999因为点A在抛物线上，所以2p，即p。此时C2的焦点坐标为(,0)，该焦点不

4816点A的坐标为（1，

在直线AB上。

（II）解法一 假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由(I)知道直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为yk(x1)。

yk(x1)

由 消去y得(34k2)x28k2x4k2120...........................①

x2y21 43设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

8k2则x1、x2是方程①的两根，x1x2，

34k2 (y-m)2=2px

由 消去y得 y=k(x-1)

（kx－k－m）2＝2px 因为C2的焦点F'( ..........................②

p,m)在yk(x1)上， 2pkpkp2所以mk(1),即mk。代入②有(kx)2px 。

222k2p20。 即kxp(k2)x4222 ..........................③

p(k22)由x1，x2 也是方程③的两根， 所以x1x2。

k2当前第 10 页共13页

8k2p(k22)8k4从而，p。

34k2k2(4k23)(k22)又AB过C1,C2的焦点。 所以AB(x1 ..........................④

pp11)(x2)x1x2p(2x1)(2x2)， 2222

..........................⑤

312k24k212则p4(x1x2)4。 22224k34k38k44k212由④，⑤得。 222(4k3)(k2)4k3即k5k60。解得k2＝6。 于是k6,p424。 32323因为C2得焦点F'(,m)在直线y6(x1)上，所以m6(1)。即m6或3m6 。 3466或m，p

333由上知，满足条件得m、p存在，且m

解法二 设A、B得坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)

P,m)。 2pp11所以AB(x1)(x2)x1x2p(2x1)(2x2)。

22222即x1x2(4p)。 ..........................①

3yy1mo2m由（I）知x1x2，p2，于是直线AB的斜率k2。 px2x1p212因为AB即过C1得右焦点F（1，0），又过C2得焦点F'(

..........................②

且直线AB的方程是y2m(x1)。 p2

..........................③

所以y1y22m4m(1p)(x1x22)。 p23(p2)当前第 11 页共13页

3x124y1212

，所以3(x1x2)4(y1y2)又因为 y2y10。..........................④

x2x1

3x224y2212

23(p4)(p2)2将①，②，③代入④得m。

16(1p)

3x224y2212

， 所以y1y22m2p 3x224y2212

..........................⑤

因为

x2x1。

y2y1..........................⑥

3p(p2)2将②、③代入⑥得m。

1610p2 ..........................⑦

3(p4)(p2)23p(p2)32由⑤、⑦得，即3p20p320。 16(1p)1610p解得P4或P8（舍去）。 3将P42662代入○5得m，所以m或m。

3333466或m，P

333由上知，满足条件的m、p存在，且m

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当前第