2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷(附答案解析)

2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）

1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（ ） A．－2

B．1

C．2

D．3

2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ）

A．1.09×103

B．1.09×104

C．10.9×103

D．0.109×105

3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．（2分）下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5

B．a2•a3＝a6

C．（2a）3＝8a3

D．a3÷a＝a3

5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）

A．65°

B．55°

C．45°

D．35°

6．（2分）不等式2x≤6的解集是（ ） A．x≤3

B．x≥3

C．x＜3

D．x＞3

7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

8．（2分）一元二次方程x2－2x+1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（－3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝画弧交边BC于点E，连接AE，则

，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径

的长为（ ）

A．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：2x2+x＝ ． 12．（3分）二元一次方程组

的解是 ．

B．π

C．

D．

13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为 ．

15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 ．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．（6分）计算：2sin60°+（－）2+（π－2020）0+|2－

－

|．

18．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．

19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．

（1）求证：△AOM≌△CON；

（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为 ．

四、（每小题8分，共16分）.

20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ ，n＝ ； （2）根据以上信息直接补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？

五、（本题10分）

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．

（1）求证：DC＝AC；

（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为 ．

六、（本题10分）

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．

（1）填空：AO的长为 ，AB的长为 ； （2）当t＝1时，求点N的坐标；

（3）请直接写出MN的长为 （用含t的代数式表示）；

（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为 ．

七、（本题12分）

24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．

（1）如图1，当α＝60°时， ①求证：PA＝DC； ②求∠DCP的度数；

（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝

，请直接写出点D到CP的距离为 ．

八、（本题12分）

25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，－3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．

①直接写出△MBN的形状为 ；

②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标； （3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE

绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2请直接写出点G的坐标为 ．

时，

【试题答案】

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）

1．A

【解答】解：由于－2＜0＜1＜2＜3． 2．B

【解答】解：将10900用科学记数法表示为1.09×104． 3．D

【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形． 4．C

【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，不合题意； B、a2•a3＝a5，故此选项错误； C、（2a）3＝8a3，正确； D、a3÷a＝a2，故此选项错误． 5．B

【解答】解：∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝180°－90°－∠BAC＝90°－35°＝55°， ∵直线AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD＝55°． 6．A

【解答】解：不等式2x≤6， 左右两边除以2得：x≤3． 7．A

【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件； B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；

D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件． 8．B

【解答】解：由题意可知：△＝（－2）2－4×1×1＝0． 9．D

【解答】解：（方法一）将A（－3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：

，

解得：，

∴一次函数解析式为y＝x+2． ∵k＝＞0，b＝2＞0，

∴一次函数y＝x+2的图象经过第一、二、三象限， 即该图象不经过第四象限． 故选：D．

（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．

观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限． 10．C

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠B＝90°， ∴AE＝AD＝2， ∵AB＝

，

＝

，

∴cos∠BAE＝

∴∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝60°， ∴

二、填空题（每小题3分，共18分）

11． x（2x+1）

【解答】解：原式＝x（2x+1）．

的长＝

＝

．

12．

，

【解答】解：①+②得：3x＝6， 解得：x＝2，

把x＝2代入①得：y＝3， 则方程组的解为13．乙 【解答】解：∵∴S甲2＞S乙2， ∴乙的成绩比较稳定． 14． 6

【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB， ∴OC＝BC＝2， ∵AC＝3， ∴A（2，3），

把A（2，3）代入y＝，可得k＝6． 15． 8

【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点， ∴EF是△BCM的中位线， ∵EF＝6， ∴BC＝2EF＝12，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝12， ∵AM＝2MD， ∴AM＝8． 16．

或1

甲

．

＝7＝

乙

，S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，

【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8， ∴OH∥AB， ∴

，

∴OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，

∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴∠APO＝∠EPO＝45°， 又∵OH⊥AD，

∴∠OPH＝∠HOP＝45°， ∴OH＝HP＝3， ∴PD＝HD－HP＝1； 当∠PFD＝90°时，

∵AB＝6，BC＝8， ∴BD＝

＝

＝10，

∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴∠DAO＝∠ODA，

∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，

又∵∠OFE＝∠BAD＝90°， ∴△OFE∽△BAD， ∴∴

， ，

∴OF＝3， ∴DF＝2，

∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB， ∴△PFD∽△BAD， ∴∴

， ，

∴PD＝，

综上所述：PD＝或1．

三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式＝2×＝

+12－

+9+1+2－

＝12．

18．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出抽出的两名学生性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3， 所以抽出的两名学生性别相同的概率＝＝．

19．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可得到判定△AOM≌

△CON的条件；

（2）连接CE，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长．

【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠M＝∠N，

在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS）； （2）如图所示，连接CE，

∵MN是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE，

设AE＝CE＝x，则DE＝6－x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3， ∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2， 即32+（6－x）2＝x2， 解得x＝

，

． ．

即AE的长为故答案为：

四、（每小题8分，共16分）.

20．【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得m的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到n的值；

（2）根据统计图中的数据，可以得到可回收物的吨数，然后即可将条形统计图补充完整；

（3）根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝故答案为：100，60；

（2）可回收物有：100－30－2－8＝60（吨）， 补全完整的条形统计图如右图所示；

（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×故答案为：108； （4）2000×

＝1200（吨），

＝108°，

×100%＝60%，

即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．

21．【分析】求的是工效，工作总量是3000m，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间－实际用时＝2，根据等量关系列出方程．

【解答】解：设原计划每天修建盲道xm， 则

－

＝2，

解得x＝300，

经检验，x＝300是所列方程的解， 答：原计划每天修建盲道300米．

五、（本题10分）

22．【分析】（1）如图，连接OD，由切线的性质可得∠ODC＝90°，可得∠BDO+∠ADC

＝90°，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可证∠A＝∠ADC，可得DC＝AC；

（2）由等腰三角形的性质可得∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，由三角形内角和定理可求∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，由直角三角形的性质可求解．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OD， ∴∠ODC＝90°， ∴∠BDO+∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＝∠ADC， ∴CD＝AC； （2）∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，

∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°， ∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°， ∴DC＝

OD＝

．

，

故答案为：

六、（本题10分）

23．【分析】（1）利用两点间距离公式求解即可．

（2）求出直线AB的解析式，利用待定系数法即可解决问题． （3）求出PN，PM即可解决问题．

（4）如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4－m．构建二次函

数利用二次函数的性质即可解决问题．

【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0）， ∴OA＝故答案为4

＝4，2

，AB＝．

，

＝2

．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，解得

，

∴直线AB的解析式为y＝－2x+12， 由题意点N的纵坐标为1， 令y＝1，则1＝－2x+12， ∴x＝∴N（

， ，1）．

，

（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝－2x+12，得到x＝∴N（

，t），

∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°， ∴OP＝PM＝t， ∴MN＝PN－PM＝故答案为

．

－t＝

．

（4）．如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4－m．

由题意S1•S2＝•m×4×（4－m）×4＝－4m2+16m＝－4（m－2）2+16， ∵－4＜0，

∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16．

故答案为16．

七、（本题12分）

24．【分析】（1）①证明△PBA≌△DBC（SAS）可得结论． ②利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）证明△CBD∽△ABP，可得

＝

＝

解决问题．

（3）分两种情形，解直角三角形求出AD即可解决问题． 【解答】（1）①证明：如图①中，

∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°， ∴△ABC，△PBD是等边三角形， ∴∠ABC＝∠PBD＝60°， ∴∠PBA＝∠DBC， ∵BP＝BD，BA＝BC， ∴△PBA≌△DBC（SAS）， ∴PA＝DC．

②解：如图①中，设BD交PC于点O． ∵△PBA≌△DBC， ∴∠BPA＝∠BDC， ∵∠BOP＝∠COD，

∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°． （2）解：结论：CD＝理由：如图②中，

PA．

∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°， ∴BC＝

BA，BD＝

BP，

∴＝＝，

∵∠ABC＝∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△CBD∽△ABP， ∴

＝

＝PA．

，

∴CD＝

（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N． 如图3－1中，当△PBA是钝角三角形时，

在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°， ∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3∵PN＝

∴PA＝3－2＝1， 由（2）可知，CD＝∵∠BAP＝∠BDC， ∴∠DCA＝∠PBD＝30°， ∵DM⊥PC， ∴DM＝CD＝

，DM＝CD

PA＝

，

＝

＝2，

，

如图3－2中，当△ABN是锐角三角形时，同法可得PA＝2+3＝5，CD＝5＝

，

综上所述，满足条件的DM的值为故答案为

八、（本题12分）

或

．

或．

25．【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求抛物线的表达式；

（2）①如图2，过点D作DH⊥OB，由旋转的性质可得OD＝3，∠COD＝30°，由直角三角形的性质可得OH＝OH＝，DH＝

OH＝

，由锐角三角函数可求∠HBD＝

30°，由对称性可得BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，可证△BMN是等边三角形；

②由三角形面积公式可求S2，S1，由等边三角形的面积公式可求MN的长，由对称性可求MR＝NR＝

，由直角三角形的性质可求BR＝3，可得OR＝3，即可求点M坐标；

（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．想办法证明△BFK是等边三角形，推出BG⊥x轴即可解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，－3）， ∴

，

解得：，

∴抛物线解析式为：y＝x2－

；

（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，

∵点B（6，0）和点C（0，－3）， ∴OC＝3，OB＝6，

∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD， ∴OD＝3，∠COD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵DH⊥OB， ∴∠ODH＝30°， ∴OH＝OH＝，DH＝∴BH＝OB－OH＝，

OH＝

，

∵tan∠HBD＝＝＝，

∴∠HBD＝30°，

∵点M关于x轴的对称点为点N， ∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°， ∴∠MBN＝60°， ∴△BMN是等边三角形， 故答案为：等边三角形；

②∵△ODB的面积S2＝×OB×DH＝×6×∴S1＝×

＝3

，

＝

，且S1＝S2，

∵△BMN是等边三角形， ∴S1＝∴MN＝2

MN2＝3，

，

∵点M关于x轴的对称点为点N， ∴MR＝NR＝

，MN⊥OB，

∵∠MBH＝30°， ∴BR＝

MR＝3，

∴OR＝3，

∵点M在第四象限， ∴点M坐标为（3，－

）；

（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．

由题意BE＝BF＝6，FK∥OB， ∴∠ABK＝∠FKB＝60°，

∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，

∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH＝在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°， ∴BF2＝BH2+FH2， ∴62＝（2解得a＝

+a）2+（或－2

，

a）2，

a，

（不符合题意舍弃），

∴FG＝BG＝2

∴∠GBF＝∠GFB＝30°， ∴∠FBK＝∠BFK＝60°，

∴△BFK是等边三角形，此时F与K重合，BG⊥KF， ∵KF∥x轴， ∴BG⊥x轴， ∴G（6，－2

）．