一、单选题
1.已知集合A{xN|x7},B{x|(2x3)(4x17)0},则AB( ) A.0,1,6 【答案】D
【分析】先求得集合A{0,1,2,3,4,5,6},B{x即可求解.
【详解】由集合A{xN|x7}{0,1,2,3,4,5,6}, B{x|(2x3)(4x17)0}{x173或x},
24173或x},结合集合的交集的运算,
24B.2,3,4 C.1,5,6 D.0,1,5,6
所以AB{0,1,5,6}. 故选:D. 2.设复数zA.12i 【答案】C
【分析】由复数的除法运算可得z12i,进而可得共轭复数. 【详解】z故选:C.
3.已知向量a(6,2),b(1,m),且ab,则a2b( ) A.8 【答案】B
【分析】由ab得ab62m0,从而得a2b(4,8),再求模长即可. 【详解】向量a(6,2),b(1,m),且ab,
所以ab62m0,解得m3,所以b(1,3),a2b(4,8),
22所以a2b4(8)45,
i3,则z( ) 1iB.12i
C.12i
D.12i
(i3)(1i)24i12i,z12i. 22B.45 C.10 D.82 故选:B.
第 1 页 共 16 页
y04.设x,y满足约束条件xy10,则zx3y的最大值为
xy30A.3 【答案】A
B.5
C.1
D.1
【详解】
y011画出不等式组xy10表示的区域如图,则问题转化为求动直线yxz在y上
33xy30111的截距z的最小值的问题,结合图形可知:当动直线yxz经过点A(3,0)时,
333zmax3303,应选答案A.
5.某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组17.5,20,20,22.5,
22.5,25,25,27.5,27.5,30.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的
人数是
A.380 【答案】A 【详解】解:
B.360 C.340 D.320
由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为: 2.5=0.95, (0.08+0.04+0.16+0.1)×
第 2 页 共 16 页
∴这400名大学生中每周的自习时间不少于25小时的人数为: 400×0.95=380. 点睛:
由频率分布直方图求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率,由此能求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数. 6.直线yx2被圆x2y24x2y10所截得的弦长为( ) A.4 【答案】D
【分析】先将圆的方程转化为标准方程,求得圆心到直线yx2的距离,再利用弦长公式求解.
【详解】圆的标准方程为x2y14, 圆心到直线yx2的距离为2B.32 C.23 D.14 2212, 222所以所求弦长为24.
214故选:D
7.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC5:7:9,则cosC( ) A.3 35B.1 141C.
5D.1 10【答案】D
【分析】根据条件sinA:sinB:sinC5:7:9,由正弦定理得a:b:c5:7:9,可令a5t,b7t,c9t(t0),再利用余弦定理求解.
【详解】由正弦定理:
abc2R sinAsinBsinC得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC
又因为sinA:sinB:sinC5:7:9,所以a:b:c5:7:9 令a5t,b7t,c9t(t0)
a2b2c225t249t281t21 cosC所以2ab25t7t10故选:D.
8.在等比数列an中,a36,前三项和S318,则公比q( )
第 3 页 共 16 页
A.-1或2 【答案】C
11B.-1或
21C.1或
2D.1或2
1【分析】分类当q1符合题意,当q1时,可得a1和q的方程组,解方程组即可. 【详解】当q1时,各项均为6,可得S318,符合题意; 1a3a1q26q2, 当q1时,,解得2Saaqaq181113a1241综上可得公比q的值为:1或
2故选:C
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了分类讨论的思想,属于基础题. 9.已知sincos1A.
912,则cos( )
421B.
8C.
38D.
29【答案】B
【分析】由已知利用两角差的余弦公式即可化简求解. 【详解】解:因为sincos则cos2()(41, 2221111cossin)2(sincos)2()2. 222228故选:B.
10.函数f(x)Asin(x)A0,0,的部分图象如图所示,则f(x)22( )
A.2sin2x
12【答案】C
B.2sin2x
6C.2sin2x
12D.2sin2x
6【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得到函数的解析式.
第 4 页 共 16 页
【详解】由图像可得A2, 由T193T,可得T 242442,可得2
1919192sin22sin所以fx2sin2x,由f2
2424121932k,kZ,解得2k,kZ 所以12212由22,所以12
所以fx2sin2x
12故选:C
11.关于函数f(x)ln|x1|ln|x1|有下列结论,正确的是( ) A.函数f(x)的图象关于原点对称 C.函数f(x)的最小值为0 【答案】D
A.由函数的奇偶性判断;B.利用特殊值判断;C.利用对数函数的值域求解判断;【分析】
D.利用复合函数的单调性判断.
【详解】f(x)ln|x1|ln|x1|ln|x21|,
x10由,解得x1,所以函数的定义域为x|x1,
x10B.函数f(x)的图象关于直线x1对称 D.函数f(x)的增区间为(1,0),(1,)
因为f(x)ln|x1|ln|x1|ln|x1|ln|x1|f(x),所以函数为偶函数,故A错误.
因为f(0)ln|1|0,f(3)ln8,所以f(0)f(3),故B错误;
2因为 |x1|0,,所以f(x)R,故C错误;
令t|x21|,如图所示:
t在,1,[0,1),
上递减,在(1,0],1,上递增,又ylnt在0,递增,所以函数f(x)的增区间为
第 5 页 共 16 页
(1,0),(1,),故D正确;
故选:D
x2y212.已知双曲线C:221(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,直线l1,l2为
ab双曲线C的两条渐近线,过点F的直线l与渐近线l1平行,且l与双曲线C交于点P,若1直线OP的斜率为直线l2的斜率的,则双曲线C的离心率为( )
3A.3 【答案】B
B.2 C.5 D.2
【分析】将直线l于双曲线联立,得点P的坐标,再由坐标表示斜率列方程求解即可.
a2c2x2y2x1ba2b22c【详解】不妨设直线l1的方程为yx,联立,解得, 3aby(xc)yba2ac有kOPb3b3bb32ac22,得3b2a2c2,有2222,有3aaacacaac2cc2. a3c23a2a2c2,有c2a,e故选:B.
二、填空题
13.x(ax)5的展开式中x3的系数为1250,则实数a的值为__________. 【答案】5
【分析】根据二项式定理求出答案即可.
2323【详解】展开式中x3的系数为C5a(1)10a1250,a5.
故答案为:5
14.在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,从该正方形区域内任取一点,若该点落在阴影区域内的概率为【答案】16.
【分析】由几何概型公式得
4S,从而得解. 96,则阴影区域的面积为________. 9【详解】设阴影区域的面积为S, 由几何概型公式得
4S,S16.故阴影部分的面积为16. 966第 6 页 共 16 页
故答案为:16.
15.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等,圆锥的母线长是底面半径的2倍,若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍,则圆柱的高是底面半径的__________倍. 【答案】22 h【详解】设圆柱的高为h,底面半径为r,圆柱的外接球的半径为R,则Rr2.
222母线长l2r, ∴圆锥的高为3r,
∴圆锥的侧面积为rl2r2, h22∴4R4r62r2,
22h2∴r23r2,整理得h28r2, 4∴
h22. r答案:22 点睛:
与球有关的组合体问题,一种是几何体的内切球,一种是几何体的外接球.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 16.如图,已知抛物线C:y24x的焦点为F,抛物线C的准线l与x轴相交于点A,点Q(Q在第一象限)在抛物线C上,射线FQ与准线l相交于点B,BQ2QF,直线AQ与抛物线C交于另一点P,则
|PQ||BP|________. |AQ||PF|第 7 页 共 16 页
【答案】3
3123【分析】由BQ2QF,可得Q(,),再由直线AQ的方程为:y(x1),与抛
332物线y24x联立,可得P(3,23),从而得PBAB,结合抛物线定义及平行性质可得解.
【详解】抛物线C:y24x的焦点为F(1,0),A(1,0)
1123由BQ2QF,可得xQ12(1xQ),解得xQ,可得Q(,),
333由2323yB2(0),解得yB23, 33直线AQ的方程为:y325332(x1),与抛物线y4x联立,可得xx0,
4242由xPxQ1,得xP3,则P(3,23),所以PBAB, 由抛物线定义得PBPF, 且PB//AF,所以
|PQ||BQ|2, |AQ||QF||PQ||BP|213 所以
|AQ||PF|故答案为:3.
123【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由BQ2QF得Q(,),再由直线和抛物
33123线联立得Q(,),进而得PBAB,从而可利用抛物线的性质处理比值.
33
三、解答题
n17.已知正项等比数列an满足a2n139,bnlog3an,且bn,cn,n4成等差数列.
(1)求数列cn的通项公式;
第 8 页 共 16 页
1(2)求数列的前100项和T100.
cnbnn【答案】(1)cnn2;(2)
50. 101【分析】(1)先由题设求得数列an的公比q,进而求得an与bn,再由bn,cn,n4成等差数列求得cn; (2)先由(1)求得
1cnnbn,再利用裂项相消法求得其前100项和.
na53929,∵a2n139,∴q 【详解】解:(1)设公比为qq0,解得:q3,1a3392∴ana3qn33913n33n,
∵bnlog3ann,且bn,cn,n4成等差数列, ∴cnbnn4n2; 2(2)由(1)可得:
11111,
cnnbn2n(n1)2nn111501. 2101101111111∴T10012223100101【点睛】结论点睛:
裂项相消法求数列和的常见类型: (1)等差型
1111,其中an是公差为dd0的等差数列; anan1danan1(2)无理型1nnknkn; knn1n(3)指数型a1aaa;
(4)对数型logaan1logaan1logaan. an18.如图,在四棱锥PABCD中,ACBD,ACBDO,POAB,POD是以PD11为斜边的等腰直角三角形,且OBOCODOA1.
23
(1)证明:平面PAC平面PBD.
第 9 页 共 16 页
(2)求二面角APDB的余弦值. 【答案】(1)详见解析(2)
22 11【详解】试题分析:(1)通过证明AC平面PBD来证明平面PAC平面PBD.(2)由OP、OA、OB两两垂直,所以建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角. 试题解析:(1)证明:POD是以PD为斜边的等腰直角三角形, ∴PODO.
又POAB,ABDOB,∴PO平面ABCD, 则POAC,又ACBD,BDPOO, ∴AC平面PBD,
又AC平面PAC,∴平面PAC平面PBD.
(2)解:以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则A3,0,0,D0,2,0,P0,0,2, 则DA3,2,0,DP0,2,2, 设nx,y,z是平面ADP的法向量,
n•DA03x2y0则,即,
2y2z0n•DP0令y3得n2,3,3.
由(1)知,平面PBD的一个法向量为OC1,0,0, ∴cosn,OCn•OCnOC222. 1122由图可知,二面角的平面角为锐角, 故二面角APDB的平面角的余弦值为22. 11
【点睛】证明面面垂直,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直; 利用平面的法向量求二面角的大小时,二面角是锐角或钝角由图形决定.由图形知二面
第 10 页 共 16 页
角是锐角时cos θ=
n1n2n1n2|;由图形知二面角是钝角时,cos θ=-
n1n2n1n2|.当图形不能确
定时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部).
19.从2017年1月18日开始,支付宝用户可以通过“AR扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福,敬业福),除夕夜
户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大
学生,就除夕夜
22:1822:18是否集齐五福 是 否 ,每一位提前集齐五福的用
之前是否集
齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动,则也等同于未集齐五福),得到具体数据如下表:
合计 性别 男 女 合计 30 35 10 5 15 40 40 80 65 (1)根据如上的列联表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“集齐五福与性别有关”?
(2)计算这80位大学生集齐五福的频率,并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数;
(3)以(2)中的频率作为概率,从该校的10000名在读大学生中随机选取16名,记这
16名大学生集齐五福的人数为X,求X的数学期望E(X)及方差D(X).
第 11 页 共 16 页
n(adbc)2(nabcd). 参考公式:K(ab)(cd)(ac)(bd)2附表: P(K2k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)答案见解析,(2)8125,(3)EX13,DX39. 16【分析】(1)根据列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论; (2)根据频率、频数与样本容量的关系,计算所求的人数; (3)由题意知随机变量服从二项分布,从而易得结果. 【详解】(1)根据列联表中的数据,得到K2的观测值为 80(3053510)280k3.841,
4040651539故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“集齐五福与性别有关”; (2)这80位大学生集齐五福的频率为
303513, 8016138125; 1613, 16据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为10000(3)从该校的10000名在读大学生中随机选取16名,每个学生集齐五福的概率为13B16,, 1613131339∴EX1613,DX161,
16161616随机变量X综上所述,EX13,DX39, 16【点睛】方法点睛:性检验的一般步骤:(I)根据样本数据制成22列联表;(II)根据公式K2nadbc2abadacbd计算K2的值;(III) 查表比较K2与临界值的
大小关系,作统计判断.
2x2y21,20.已知椭圆C:221(ab0)过点A,短轴长为2. 2ab(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M,N,且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值.
第 12 页 共 16 页
x22. 【答案】(1)y21;(2)22【分析】(1)点A的坐标代入椭圆C的方程,结合给定的b值求出a即可得解; (2)设出直线l的方程,联立l的方程与C的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,由韦达定理借助弦长公式,点到直线距离公式,列出三角形面积的函数关系,求其最大值即得.
【详解】(1)依题意:(1)a22(2211111)2 ,而b=1,则2121a2,21a2a22b2x2所以椭圆C的标准方程为y21;
2(2)因直线l不与x轴垂直,则l的斜率k存在,l的方程为:y=kx+2,
ykx2由x2得(2k21)x28kx60,因直线l与椭圆C交于不同的两点M,N, 2y123662222则有(8k)4(2k1)616k240k,即k或k,
222设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x28k6,xx, 122k212k21所以|MN|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2 28k268(2k23)22222k31k(2)421k1k, 2k12k1(2k21)22k212而原点O到直线l:kx-y+2=0的距离d2k21,△MON的面积S,
2112222k232222k3S|MN|d1k, 22222k212k1k1令t2k232k2t23(t0),
S22t22t24t4,
t因t47441422t4,当且仅当t,即t=2时取“=”,此时,k,即k,2ttt2符合要求, 从而有S222214. ,故在k时,△MON的面积的最大值为2422【点睛】结论点睛:直线l:y=kx+b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离
|AB|1k2|x1x2|;
直线l:x=my+t上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离|AB|1m2|y1y2|. 21.已知函数f(x)xalnx. (1)讨论函数f(x)的单调性;
第 13 页 共 16 页
(2)当a0时,若f(x)12xe,求实数a的取值范围. a+上单调递增,当a0时,f(x)在0,a上单调【答案】(1)当a0时,f(x)在0,递减,在a,上单调递增;(2)0ae 【分析】(1)先求出fx1论,即可得到答案.
(2)先取特殊值说明a0时不成立,再设(x)axa+,再分a0与a0两类讨,由定义域为0,xx121xalnxxe,f(x)x2e恒
aa+上恒成立,所以只需(x)min0,求出(x)的导数得出其最成立,即(x)0在0,小值,即可得到答案.
【详解】(1)由题意得fx1axax0 xx+ 上fx0恒成立,所以f(x)在0,+上单调递增. 当a0时,在0,当a0时,由fx0得xa,fx0得0xa
a上单调递减,在a,上单调递增. 所以此时f(x)在0,+上单调递增. 综上所述:当a0时,f(x)在0,a上单调递减,在a,上单调递增. 当a0时,f(x)在0,(2)当a0时,取xea
eeeaae则f(e)ealneeaeaee
aeaeae而
121xee,显然f(x)x2e不成立,故a为正数. aa当a0时,设(x)12xalnxxe a2a2x2axa2xa2xa x0 则(x)x1axaxax令(x)0得xa,(x)0得0xa,
所以(x)在0,a上单调递减,在a,上单调递增. 所以(x)min(a)aalnaaealnae 若f(x)12+上恒成立, xe恒成立,即(x)0在0,a所以只需(x)min0,即alnae0恒成立,也即alnae
第 14 页 共 16 页
当0a1时,alna0,所以alnae成立. 当a1时,设gaalna,则ga1lna
当a1时ga0恒成立,所以ga在1,上单调递增,且gee 所以此时由alnae,即gage,故1ae 综上可得满足条件的a的范围是0ae
【点睛】关键点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立求参数的范围,解答本题的关键是设(x)1212xalnxxe,要使得f(x)xe恒成立,即(x)0aa+上恒成立,所以只需(x)min0,转化为求函数的最值问题,属于中档题. 在0,1x2t222.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原
3yt2x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点O为极点,已知曲线C的极坐标方程为4cos. (1)将直线l的参数方程化为普通方程,并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(0,02). 5【答案】(1)l:y3x2,C:x24xy20;(2)2,323,, 6【分析】(1)根据参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程的方法直接化简可得结果;
(2)将直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程联立可求得交点的直角坐标,化直角坐标为极坐标即可.
【详解】(1)l的参数方程消去t,得到l的普通方程为:y3x2,
4cos,24cos,x2y24x,即x24xy20,
曲线C的直角坐标方程为:x24xy20.
y3x2(2)由2得:x24x30,解得:x11,x23, 2x4xy0交点的直角坐标为1,3,3,3, 交点的极坐标为2,5323,,. 6【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程的相关问题,属于常考题型.
第 15 页 共 16 页
23.已知函数f(x)x4x13. (1)求不等式f(x)2的解集;
(2)若直线ykx2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围. 1【答案】(1)[0,5];(2)(,2)[,).
2【详解】试题分析:(1)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,(2)先将函数化为分段函数,而动直线过定点,结合图像可得k的取值范围.
1x4x4x1试题解析:解:(1)由fx2,得或或,
2x820222x2解得0x5,故不等式fx2的解集为0,5.
22x,x1(2)fxx4x13 0,1x4,
2x8,x4作出函数fx的图象,如图所示,
直线ykx2过定点C0,2, 当此直线经过点B4,0时,k1; 2当此直线与直线AD平行时,k2. 1故由图可知,k,2,.
2
第 16 页 共 16 页
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- huatuo0.com 版权所有 湘ICP备2023021991号-1
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务