2018年上海高考数学试卷

2018 年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷

时间 120 分钟，满分 150 分

一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1～ 6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）

1.行列式

4 1 2 5

的值为 _________.

2.双曲线

x2

y2 1的渐近线方程为_________.

4

3.在(1 x)7 的二项展开式中， 4.设常数a

x2 项的系数为 _________.（结果用数值表示）

log 2 ( x a) 。若f ( x)的反函数的图像经过点

R ，函数 f ( x) (3,1)，则

a _________.

5.已知复数z满足(1

i )z 1 7i （ i 是虚数单位），则 z

_________.

_________.

6.记等差数列{ an}的前n项和为Sn，若a3 0 ， a6 a7 14 ，则 S7

x 为奇函数，且在

7.已知

2, 1,

1

2

,1,2,3 。若幂函数 f (x)

(0, ) 上递减，则

_________.

A( 1,0) B(2,0)

，

E F

， 、

8.在平面直角坐标系中， 已知点

uuur

是 y 轴上的两个动点， 且EF 2 ，

uuuruuur

则 AE ? BF 的最小值为_________.

9.有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个。从中随机

选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 _________.（结果用最简分数表示）

10.设等比数列{ an}的通项公式为an

qn 1（ n N* ），前 n 项和为 Sn。若 lim

n

Sn 1 ，

a

n 1

2

则 q_________.

11. 已 知 常 数a

0 ， 函 数 f ( x)

2x

的图像经过点 P

p,

6

、 Q q,

2x ax

5

1 。 若 5

2p

q

36 pq ，则 a _________.

12.已知实数 x1、 x2 、 y1 、 y2满足： x1 2

y1 2 1 ， x2

2

y2 2 1 ，x1x2

y1 y2

1 ，则 2

x1

y1 1

2

x2 y2 2

1

的最大值为 _________.

二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）

13.设P是椭圆

x2

5

（A）2 2

y2 1 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ 3

（B）2 3

）

（C）2 5

（D）4 2

14.已知a R，则“a

1”是“

1 a

1”的（

）

A1

（ A ）充分非必要条件 （ C）充要条件

（B ）必要非充分条件

（D ）既非充分又非必要条件

15.《九章算术》 中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为

阳马。 设 AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图。 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ （A）4

（B）8

A

若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以

）

（C）12

AA1

（D）16

16.设D是含数 1 的有限实数集， f (x) 是定义在 D 上的函数。 若 f ( x) 的图像绕原点逆时针

旋转后与原图像重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（）

6

（A）3

（ B）

3 2

（ C）

3 3

（D）0

三、解答题（本大题共有

5 题，满分 76 分）

17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分）

已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.

（ 1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（ 2）设PO4 ， OA 、 OB 是底面半径，且AOB 90， M 为线段 AB 的中点，如

图，求异面直线PM 与OB所成的角的大小。

P

OB

M

A

18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分）

设常数 a

R ，函数 f ( x) a sin 2x2cos 2 x 。

（ 1）若f ( x)为偶函数，求a 的值；

（ 2）若f ()3 1 ，求方程f ( x) 12 在区间[,] 上的解。

4

19.（本题满分

14 分，第

6 分，第

1 小题满分

8 分）

2 小题满分

某群体的人均通勤时间，

是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。

某

地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤。 员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

分析显示： 当 S 中 x%（ 0

x 100 ）的成

f (x)

30, 2x

1800

x

0 x

90, 30 x

30, 100

（单位：分钟）

而公交群体的人均通勤时间不受

x 影响，恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题：

（ 1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（ 2）求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g( x)的单调性，并说明其实际意义。

16 分，第

2 小题满分

6 分）

3 小题满分

t

4 分，第

20.（本题满分

1 小题满 6 分， 分

第

平面直角坐标系

F (2,0)

l ： x ，曲线 设常数

2

，xOy 在

中，已知点 ，直线

t

，

l

x 轴交于A ，与

别是曲

: y 8x （ 02

0 与 点

x

，

）

B。 P、 线

t y

交于点

Q分

与线段 AB 上的动点。

（ 1）用t表示点B到点F的距离；

（ 2）设t 3，FQ 2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP的面积；

3

FP

FQ

FPEQ

E

（ ）设 t

8 ，是否存在以

、

为邻边的矩形

，使得点

在

上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由。

21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）

给定无穷数列 { an } ，若无穷数列 { bn } 满足：对任意 n N * ，都有bn

an 1 ，则称

{ bn} 与 { an } “接近 ”。

（ 1）设{ an}是首项为 1，公比为

1 2

的等比数列，bn

a

n 1

1 ， n

N * 。判断数列

{ bn} 是否与 { an } 接近，并说明理由；

（ 2）设数列{

} 的前四项为： an

M { x | x

， ， ， ，

是一个与

a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 { bn }

{ an }

接近的数列，记集合

bi , i 1,2,3, 4} ，求M中元素的个数 m ；

（ 3）已知{ an}是公差为 d 的等差数列。 若存在数列 { bn} 满足： { bn } 与 { an } 接近， 且

在 b2 b1， b3 b2，⋯， b201

b200中至少有100个为正数，求 d 的取值范围。