高中一轮复习导学案006

一：基础知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1①若 ，则f(x)在区间D上是增函数． ②若 ，则f(x)在区间D上是减函数． (2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是 或

，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．

思考：单调区间与函数定义域有何关系？

【思考·提示】 单调区间是定义域的子区间． 2．函数的最值

(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最大值．

(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最小值．

思考：.函数的最值与函数值域有何关系？

【思考·提示】 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有了函数的最大 (小)值，未必能求出函数的值域． 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 偶函数 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 思考：奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性． 4．奇偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内，

①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ； ②两个偶函数的和、积是 ；③一个奇函数，一个偶函数的积是 ．

1

二：三基能力强化

1.函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（ ） A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤－5 2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 3. ．函数f（x）＝2x2－3｜x｜的单调减区间是___________．

4．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________． 三：课堂互动讲练

考点一函数单调性的判断与证明

函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小的规律．在定义区间上任取x1、x2，且x1f(x2)，这一过程就是实施不等式的变换过程．

ax例1：试讨论函数f(x)2,在x(1,1)的单调性（其中a0）。

x1

互动探究

若例1中x∈(－1,1)改为x∈R，a≠0改为a＞0，结果如何？

考点二函数奇偶性的判定

判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数． 例2：判断下列函数的奇偶性。

x3x22（1）f(x)xx[1,2] （2）f(x)

x111（3）f(x)x4 （4）f(x)x5 （5）f(x)x （6）f(x)2

xx12x1(x0)2（7）f(x)lg(4x)g(4x) （8）g(x)

1x21(x0)2

2

例3：已知f(x)xa是奇函数。

x2bx1(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间，并加以证明； (3)求f(x)(x＞0)的最值．

考点四抽象函数的性质

抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数性质的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑．

例4：(解题示范)(本题满分12分)

函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

高考检阅 (本题满分12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

3

规律方法总结

1.函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，但是不能说在这个定义域上是增（减）函数。 2．理解函数的奇偶性应注意的问题

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

（2）奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数化简，或应用定义的等价形式：f(x)f (x)f(x)f(x)0

f(x)1(f(x)0)

f(x)(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真． ②若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.

③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．

课后巩固：

1．对于定义在R上的任何奇函数，均有( ) A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0

2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是( )

3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( ) A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

4

A．－1 B．1 C．6 D．12

5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )

A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1

x

2x＋1，x≥0e，x≥0

C．y＝3 D．y＝－x

x＋1，x＜0e，x＜0

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有( )

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1) B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1) C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)

7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围为________．

1＋x

10．求证：f(x)＝在(0,1]上是减函数．

x

11．已知函数f(x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．

－x2＋2x，x＞0



12．已知函数f(x)＝0， x＝0

x2＋mx， x＜0

是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

5

高中一轮复习导学案（006）----函数的基本性质

一：基础知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1①若 ，则f(x)在区间D上是增函数． ②若 ，则f(x)在区间D上是减函数． (2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是 或

，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．

思考：单调区间与函数定义域有何关系？

【思考·提示】 单调区间是定义域的子区间． 2．函数的最值

(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最大值．

(2)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有 . ②存在x0∈I，使得 . 则称M是f(x)的最小值．

思考：.函数的最值与函数值域有何关系？

【思考·提示】 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有了函数的最大 (小)值，未必能求出函数的值域． 3．函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 偶函数 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 思考：奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性． 4．奇偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内，

①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ； ②两个偶函数的和、积是 ；③一个奇函数，一个偶函数的积是 ．

6

二：三基能力强化

1.函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（ ） A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤－5

2

解析：本题作出函数f（x）＝－x＋2（a－1）x＋2的图象，可知此函数图象的对称轴是x＝a－1，由图象可知，当a－1≥4，即当a≥5时，函数f（x）＝－x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数．答案：A

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 3. ．函数f（x）＝2x2－3｜x｜的单调减区间是___________．

33 答案：［0，］，（－∞，－）

444．(教材习题改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[a2＋1,4]的最大值为________． 答案：8

三：课堂互动讲练

考点一函数单调性的判断与证明

函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小的规律．在定义区间上任取x1、x2，且x1f(x2)，这一过程就是实施不等式的变换过程．

ax例1：试讨论函数f(x)2,在x(1,1)的单调性（其中a0）。

x1【思路点拨】 利用定义进行判断，主要判定f(x2)－f(x1)的正负． 【规律小结】 用定义证明函数单调性的一般步骤：

(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.

(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．

(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论． 互动探究

若例1中x∈(－1,1)改为x∈R，a≠0改为a＞0，结果如何？

考点二函数奇偶性的判定

判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数． 例2：判断下列函数的奇偶性。

x3x22（1）f(x)xx[1,2] （2）f(x)

x111（3）f(x)x4 （4）f(x)x5 （5）f(x)x （6）f(x)2

xx12x1(x0)2（7）f(x)lg(4x)g(4x) （8）g(x)

1x21(x0)2

【思路点拨】 可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．

7

考点三函数的奇偶性与单调性

因为奇函数的图象关于原点对称，所以结合图象可得奇函数在(a，b)与(－b，－a)上的单调性相同．因为偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数在(a，b)与(－b，－a)上的单调性相反．

xa例3：已知f(x)2是奇函数。

xbx1(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间，并加以证明； (3)求f(x)(x＞0)的最值．

【思路点拨】 利用f(－x)＝－f(x)求a，b的值

【规律小结】 (1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．

(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值． 考点四抽象函数的性质

抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数性质的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑．

例4：(解题示范)(本题满分12分)

函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

【思路点拨】 (1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义．

(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值．

【解】 (1)证明：设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1. 2分 f(x2)－f(x1)

＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0. 5分 ∴f(x2)>f(x1)．

即f(x)是R上的增函数. 6分

(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3，8分 ∴原不等式可化为 f(3m2－m－2)4解得1m

3故m的解集为m1m43。12分

【思维总结】 在解答过程中易出现不能正确构造f(x2－x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)，从而不能应用函数的单调性求解，导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义，没弄清如何利用题目中的已知条件，不能正确地将抽象不等式进行转化．

8

高考检阅 (本题满分12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解：(1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. 4分 (2)令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

1f(1)f(1)0。5分

2令x1＝－1，x2＝x有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)．

∴f(x)为偶函数. 7分

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*) 9分 ∵f(x)为偶函数，

∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64. 解上式，得

7113x5或x或x3

333711∴x的取值范围是3x5或x或x3 12分

333

规律方法总结

1.函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，但是不能说在这个定义域上是增（减）函数。 2．理解函数的奇偶性应注意的问题

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

（2）奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数化简，或应用定义的等价形式：f(x)f (x)f(x)f(x)0

f(x)1(f(x)0)

f(x)(3)①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真． ②若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.

③若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．

9

课后巩固：

1．对于定义在R上的任何奇函数，均有( ) A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0 解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.

2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是( )

解析：选B.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x>0的图象保留，x<0部分的图象关于y轴对称而得到的．

3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( ) A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 解析：选B.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．

A．－1 B．1 C．6 D．12

解析：选C.由题意知 当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2， 又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数， ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

10

5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )

A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1

x

2x＋1，x≥0e，x≥0

C．y＝3 D．y＝－x

x＋1，x＜0e，x＜0

解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；

2x＋1，x≥0，y＝3在(－2,0)上为增函数． x＋1，x＜0

x

e，x≥0，y＝－x在(－2,0)上为减函数，故选C. e，x＜0

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有( )

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1) B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1) C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n) 解析：选C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．

7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)

即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 答案：－－x－1

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________． 解析：y＝－(x－3)|x|

2

－x＋3x，x＞0，＝2 x－3x，x≤0.

3

作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，2]．答案：[0，32] 9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围为________．

解析：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)＜0⇒f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－x⇒xm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f(m)＝xm＋x－2，此时只f(－2)＜02需即可，解之得－2＜x＜3. f(2)＜0

2

答案：(－2，3)

1＋x

10．求证：f(x)＝在(0,1]上是减函数．

x

证明：设x1，x2∈(0,1]，且x111

1＋x11＋x2

－ x1x2

x2＋x1x2－x1－x2x1＝

x1·x2

x2－x1＋x1x2(x1－x2)＝

x1·x2

(x2－x1)(1－x1x2)＝. x1x2

∵x1，x2∈(0,1]，且x10,1－x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

1＋x

所以f(x)＝在(0,1]上是减函数．

x

11．已知函数f(x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围． 解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，

－2≤1－m≤2，∴有 2

－2≤1－m≤2，则f(x1)－f(x2)＝

解得－1≤m≤3，①

又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1， 即－2综合①②可知，－1≤m<1.



12．已知函数f(x)＝0， x＝0

x2＋mx， x＜0

－x2＋2x，x＞0

是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x， 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

a－2＞－1，

结合f(x)的图象知

a－2≤1，

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

12