2017-2019高考文数真题分类解析---坐标系与参数方程

----坐标系与参数方程

1t2x，21t1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以y4t1t2坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

y2【答案】（1）x1(x1)；l的直角坐标方程为2x3y110；（2）7．

4221t24t2y1t21，且x【解析】（1）因为11，所以C的直角坐标方程为2221t221t1t22y2x1(x1)．

42l的直角坐标方程为2x3y110．

（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）．

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为．

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．

33【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

2．O为极点，【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．

1

（1）当0=



时，求0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos2； 3（2）4cos,,．

42【解析】（1）因为M0,0在C上，当0由已知得|OP||OA|cos时，04sin23． 332． 3|OP|2， 3设Q(,)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，cos经检验，点P(2,)在曲线cos32上． 3所以，l的极坐标方程为cos2． 3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos, 即 4cos． 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,．

42所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,．

42【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,4)，D(2,)，4»，CD»所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,)，曲线M1是弧»»，弧»AB，BCAB，曲线M2是弧BC»． 曲线M3是弧CD（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|23，求P的极坐标．

2

【答案】（1）M1的极坐标方程为2cos0π，M2的极坐标方程为42sinπ43π3π2cosπM，的极坐标方程为3．

44ππ2π5π3,3,3,3,（2）或或或． 6336»,CD»所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，【解析】（1）由题设可得，弧»AB,BC2cos．

所以M1的极坐标方程为2cos0π3ππM2sin，的极坐标方程为2，M3

444的极坐标方程为2cos3ππ． 4（2）设P(,)，由题设及（1）知

ππ，则2cos3，解得； 46π3ππ2π若，则2sin3，解得或； 44333π5π若． π，则2cos3，解得46若0综上，P的极坐标为3,ππ2π5π3,3,3,或或或．

6336【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A3,,B2,，直线l的方程为42sin3．

4（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

3

【答案】（1）5；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，

），B（2，）， 42)5． 24由余弦定理，得AB=32(2)2232cos(（2）因为直线l的方程为sin()3，

4则直线l过点(32,)，倾斜角为

23． 43)2． 42又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(322)sin(2【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2．以坐标原点为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

22【答案】（1）C2的直角坐标方程为(x1)y4．；（2）C1的方程为y4|x|2． 322【解析】（1）由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)y4．

（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为

l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有

两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k点．

4

|k2|2，故k4或k0．

3k214时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k综上，所求C1的方程为y|k2|2，故k0或k4．

3k214时，l2与C2没有公共点． 34|x|2． 3x2cosθ，6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），

y4sinθx1tcosα，直线l的参数方程为（t为参数）．

y2tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

x2y2【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为（2）l的斜率为2． 1，l的直角坐标方程为x1；

416x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为1．

416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20． 又由①得t1t24(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2．

13cos2xcos，7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），

ysin过点0，2且倾斜角为的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

5

2xsin2,2(【答案】（1）的取值范围是(,)．；（2）点P的轨迹的参数方程是44y22cos222为参数，

)． 4422【解析】（1）eO的直角坐标方程为xy1．

当当时，l与eO交于两点． 22|1，解时，记tank，则l的方程为ykx2．l与eO交于两点当且仅当|221k)． 2442综上，的取值范围是(,)．

44得k1或k1，即(,)或(,xtcos,(t为参数，)． （2）l的参数方程为44y2tsin设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPtAtB，且tA，tB满足t222tsin10． 2xtPcos, 于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标(x,y)满足y2tsin.P2xsin2,2(为参数，)． 所以点P的轨迹的参数方程是44y22cos2228．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为sin()2，曲线C的方程为π64cos，求直线l被曲线C截得的弦长．

【答案】直线l被曲线C截得的弦长为23． 【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos， 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

π6π则直线l过A（4，0），倾斜角为，

6因为直线l的极坐标方程为sin()2，

6

所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB=

π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=所以AB4cosπ23． 6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．

x3cos,9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），

ysin,xa4t,（t为参数）直线l的参数方程为．

y1t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a． 【答案】（1）(3,0)，(2124,)；（2）a8或a16． 2525x2y21． 【解析】（1）曲线C的普通方程为9当a1时，直线l的普通方程为x4y30．

21x,x4y30,x3,225由x解得或 224y0y.y1925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(2124,)． 2525（2）直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为

d|3cos4sina4|．

177

当a4时，d的最大值为a9． 17由题设得a917，所以a8； 17a1． 17当a4时，d的最大值为由题设得a117，所以a16． 17综上，a8或a16．

【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值．

10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 【答案】（1）x2y24x0；（2）23．

【解析】（1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为(1,)(10)， 由题设知OP=,OM=1=23

4． cos由OMOP16得C2的极坐标方程4cos(0)． 因此C2的直角坐标方程为x2y24x0． （2）设点B的极坐标为B,B0，

由题设知OA2,B4cos，于是△OAB的面积

2S13OABsinAOB4cos|sin()|2|sin(2)|23. 23328

当时，S取得最大值23，所以△OAB面积的最大值为23． 12【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．

x2+t,11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直

ykt,x2m,线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3:cossin20，M为l3与C的交点，求M的极径．

22【答案】（1）xy4y0；（2）5 【解析】（1）消去参数t得l1的普通方程l1:ykx2；消去参数m得l2的普通方程l2:y1 x2．

kykx222设Px,y，由题设得，消去k得xy4y0． 1yx2k所以C的普通方程为xy4y0．

22（2）C的极坐标方程为2cos2sin2402π,π．

222cossin4,联立得cossin2cossin．

cossin20191故tan，从而cos2,sin2．

310102代入2cos2sin24得5，所以交点M的极径为5．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

x8t12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参考方程为（t为参数），ty29

2x2s曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小

y22s值． 【答案】45 5【解析】直线l的普通方程为x2y80． 因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)， 从而点P到直线l的的距离d|2s242s8|12(2)22(s2)24，

5当s2时，dmin45． 545． 5因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

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