汝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

汝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

2xy201． 若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3

yx,2． 设m1，在约束条件ymx,下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

xy1.A．(1,12) B．(12,) C. (1,3) D．(3,) 3． 过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到y轴的距离等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4． 把函数y=sin（2x﹣A．y=sin（2x﹣

）的图象向右平移

）

个单位得到的函数解析式为（ ） C．y=cos2x

=（2，4），

D．y=﹣sin2x

=（1，3），则

等于（ ）

） B．y=sin（2x+

5． 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，

A．（2，4） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣2，﹣4）

6． 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ） A．（0，+∞）

B．（0，2） C．（1，+∞）

D．（0，1）

，则下列结论

7． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=中错误的是（ ）

A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD

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C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

8． ∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ ）

A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0 C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0 9． 函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

，c=2，cosA=，则b=（ ）

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=A．

B．

C．2

D．3

12．下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示

xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C．不经过原点的直线都可以用方程

二、填空题

x2y21有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 13．设某双曲线与椭圆

2736(15,4)，则此双曲线的标准方程是 . 第 2 页，共 19 页

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14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ． 15．若不等式组

16．若关于x，y的不等式组k= ．

17．【南通中学2018届高三10月月考】定义在

对

恒成立，则

的取值范围是__________________.

上的函数

满足

，

为

的导函数，且

（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是 ．

18．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．

三、解答题

19．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为

相切．

，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+（Ⅰ）求椭圆C的方程；

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（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

20．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(不等式选做题)设

（几何证明选做题）如图，若

,则

，且

中，

，以

，则的最小值为

于点

，

为直径的半圆分别交

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21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为

，求角C．

，c=．

22．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：BD⊥AE．

23．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F． （1）求弦AB的中点M的轨迹方程

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（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

24．根据下列条件，求圆的方程：

（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；

（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．

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汝阳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 2． 【答案】A

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【解析】

考点：线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线zxmy截距为

z，作L:xmy0,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线mx0y01zxmy过点A时取最大值，y0mx0可求得点A的坐标可求的最大值,然后由z2,解不等式可求m的范围.

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3． 【答案】D

2

【解析】解：抛物线y=4x焦点（1，0），准线为 l：x=﹣1， 设AB的中点为E，过 A、E、B分别作准线的垂线， 垂足分别为 C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示： 则由EG为直角梯形的中位线知， EG=

=

=

=5，

∴EH=EG﹣1=4， 故选D．

则AB的中点到y轴的距离等于4．

【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．

4． 【答案】D

【解析】解：把函数y=sin（2x﹣

）的图象向右平移

）﹣

个单位，

所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣故选D． 一侧加与减．

5． 【答案】C

【解析】解：∵∴

=

]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另

，

=（﹣3，﹣5）．

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故选：C．

【点评】本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力．

6． 【答案】D

22

【解析】解：∵方程x+ky=2，即

表示焦点在y轴上的椭圆

∴故0＜k＜1

故选D．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．

7． 【答案】 D

【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确； ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确； ∵EF=

，∴△BEF的面积为定值×EF×1=

，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱

锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；

∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误； 故选D．

，∴异面

8． 【答案】C

22

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x﹣2x+3≤

0． 故选：C．

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9． 【答案】B

【解析】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于 函数y=与函数y=lnx图象交点的个数， 在同一坐标系中，作出它们的图象：

由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1 故选B

10．【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

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11．【答案】D

【解析】解：∵a=

，c=2，cosA=，

=

2

，整理可得：3b﹣8b﹣3=0，

∴由余弦定理可得：cosA==∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D．

12．【答案】B 【解析】

考

点：直线方程的形式.

【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111]

二、填空题

y2x21 13．【答案】45第 12 页，共 19 页

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【解析】

x2y21的焦点在y轴上，且c236279，故焦点坐标为0,3由双曲试题分析：由题意可知椭圆

2736线的定义可得2a150432215043224,故a2，b2945，故所求双

y2x2y2x21．故答案为：1． 曲线的标准方程为45考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．

14．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

15．【答案】 （﹣1，0） ．

【解析】解：作出不等式组

表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5） △ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化， 将直线AC绕A点旋转，可得

当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形， 当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形， 当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形， 而点C在其它的位置不能构成三角形

综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0

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即k的取值范围是（﹣1，0） 故答案为：（﹣1，0）

【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

16．【答案】 ﹣1或0 ．

【解析】解：满足约束条件

的可行域如下图阴影部分所示：

kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点） 由关于x，y的不等式组

（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，

可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0

【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．

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17．【答案】

【解析】点

睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

18．【答案】 9 ．

【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 椭圆的离心率为

，即有=

，即a=

c，b=

=c，

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222

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x+y=b，

直线y=x+即有a=

与圆相切，则有，

+y2=1；

=1=b，

则椭圆C的方程为

（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0）， 由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称， 即有

+

=0，即

+

=0，

即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①

设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得

222

（1+2k）x+4ktx+2t﹣2=0，

2222

判别式△=16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）＞0， 22

即为t﹣2k＜1②

x1+x2=，x1x2=，③

y1=kx1+t，y2=kx2+t，

代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0， 将③代入，化简可得t=2k，

则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）． 即有直线l恒过定点（﹣2，0）．

2

将t=2k代入②，可得2k＜1，

解得﹣＜k＜0或0＜k＜．

，0）∪（0，

）．

则直线l的斜率k的取值范围是（﹣

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．

20．【答案】 【解析】A

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B

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=则

=

，

，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，

所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB， 由正弦定理，a=b，则=1；… （Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为

2

所以S=absinC=asinC=

，a=b、c=，

，则

=

，① ，② ）=1，sin（C+=

，

）=，

由余弦定理得，由①②得，cosC+又0＜C＜π，则解得C=

…．

sinC=1，则2sin（C+C+

＜

，即C+

【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．

22．【答案】

【解析】

【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF． （Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．

【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点， ∴O为BD的中点， 又∵F为BE中点，

∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF， 又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF， ∴DE∥平面ACF．

（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC， ∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD， ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．

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23．【答案】

2222

【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1﹣y1=2，x2﹣y2=2， 两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0， ∴

=，

22

∵双曲线C：x﹣y=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

∴，

22

化简可得x﹣2x﹣y=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x﹣2） 由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0， ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

，

所以

2

联立①②得：k+1=0无解

2

（k≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

24．【答案】

【解析】解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，

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∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|=

22

∴所求圆的方程为x+（y﹣2）=2；

=×=，

（2）由圆与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）可知，圆心在直线y=﹣3上， 由

，解得

，

，

∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=

22

∴所求圆的方程为（x﹣2）+（y+3）=5．

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